2022屆【創(chuàng)新設(shè)計】數(shù)學(xué)一輪(人教A版-理科)-第四章-階段回扣練4

階段回扣練4三角函數(shù)、解三角形(建議用時：90分鐘)一、選擇題1．下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是 ()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))解析y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－cos2x為偶函數(shù)，且周期是π，故選A.答案A2．(2022·包頭市測試)已知sin2α＝eq\f(2,3)，則sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝ ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,6)解析依題意得sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,2)(1＋sin2α)＝eq\f(5,6)，故選D.答案D3．(2021·合肥檢測)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x圖象的一條對稱軸方程是()A．x＝－eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,3)C．x＝eq\f(5π,12) D．x＝eq\f(2π,3)解析依題意得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝－2，因此其圖象關(guān)于直線x＝eq\f(2π,3)對稱，故選D.答案D4．(2021·天津南開模擬)當(dāng)0＜x＜eq\f(π,4)時，函數(shù)f(x)＝eq\f(cos2x,cosxsinx－sin2x)的最小值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C．2 D．4解析當(dāng)0＜x＜eq\f(π,4)時，0＜tanx＜1，f(x)＝eq\f(cos2x,cosxsinx－sin2x)＝eq\f(1,tanx－tan2x).設(shè)t＝tanx，則0＜t＜1，y＝eq\f(1,t－t2)＝eq\f(1,t（1－t）)≥eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t＋1－t,2)))\s\up12(2))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1－t，即t＝eq\f(1,2)時，等號成立．答案D5．(2022·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝cosωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的圖象，只要將y＝f(x)的圖象()A．向左平移eq\f(π,8)個單位長度 B．向右平移eq\f(π,8)個單位長度C．向左平移eq\f(π,4)個單位長度 D．向右平移eq\f(π,4)個單位長度解析依題意得eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2，f(x)＝cos2x，g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))))，因此只需將y＝f(x)＝cos2x的圖象向右平移eq\f(π,8)個單位長度．答案B6．某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1000m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0°，則山的高度BC為()A．500(eq\r(3)＋1)m B．500mC．500(eq\r(2)＋1)m D．1000m解析過點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E，由于∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理，得AB＝eq\f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq\f(1000sin150°,sin15°)＝500(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(eq\r(3)＋1)(m)．答案A7．(2021·湖北七市(州)聯(lián)考)將函數(shù)g(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))圖象上全部點(diǎn)向左平移eq\f(π,6)個單位，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，得到函數(shù)f(x)，則 ()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞減B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))上單調(diào)遞減C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))上單調(diào)遞增解析依題意，將函數(shù)g(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度得到的曲線方程是y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝3cos2x，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，得到的曲線方程是y＝3cos4x，即f(x)＝3cos4x，易知函數(shù)f(x)＝3cos4x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞減，故選A.答案A8．(2022·烏魯木齊診斷)在△ABC中，AC·cosA＝3BC·cosB，且cosC＝eq\f(\r(5),5)，則A＝ ()A．30° B．45° C．60° D．120°解析由題意及正弦定理得sinBcosA＝3sinAcosB，∴tanB＝3tanA，∴0＜A，B＜eq\f(π,2)，又cosC＝eq\f(\r(5),5)，故sinC＝eq\f(2\r(5),5)，∴tanC＝2，而A＋B＋C＝180°，∴tan(A＋B)＝－tanC＝－2，即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－2，將tanB＝3tanA代入，得eq\f(4tanA,1－3tan2A)＝－2，∴tanA＝1或tanA＝－eq\f(1,3)，而0°＜A＜90°，則A＝45°，故選B.答案B9．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x－m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有兩個零點(diǎn)，則m的取值范圍是 ()A．(1，2) B．[1，2) C．(1，2] D．[1，2]解析利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化一下，得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－m，它的零點(diǎn)是函數(shù)y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))和y2＝m的交點(diǎn)所對應(yīng)的x的值，∴要在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有兩個零點(diǎn)，y1和y2就要有兩個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的圖象，知當(dāng)y2＝m在[1，2)上移動時，兩個函數(shù)有兩個交點(diǎn)．答案B10．(2022·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點(diǎn)中，若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為eq\f(π,3)，則f(x)的最小正周期為 ()A.eq\f(π,2) B.eq\f(2π,3) C．π D．2π解析f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，由2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＝1，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，設(shè)x1，x2分別為距離最小的相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則ωx1＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,6)，ωx2＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，兩式相減，得x2－x1＝eq\f(2π,3ω)＝eq\f(π,3)，所以ω＝2，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期為π，故選C.答案C二、填空題11．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則cosα＝________．解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7\r(2),10)))\s\up12(2))＝－eq\f(\r(2),10)，∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)12．(2022·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a，2sinB＝3sinC，則cosA的值為________．解析由已知及正弦定理得2b＝3c，由于b－c＝eq\f(1,4)a，不妨設(shè)b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)13．如圖所示的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是________．解析由圖象知A＝1，eq\f(T,4)＝eq\f(π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\f(π,2)，得T＝2π，則ω＝1，所以y＝sin(x＋φ)．由圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))，可得φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，所以所求函數(shù)解析式是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).答案y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))14．(2022·江蘇卷)若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，則cosC的最小值是________．解析由已知sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋eq\r(2)b＝2c.又由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))\s\up12(2),2ab)＝eq\f(3a2＋2b2－2\r(2)ab,8ab)≥eq\f(2\r(6)ab－2\r(2)ab,8ab)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝2b2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(6),3)時等號成立，所以cosC的最小值為eq\f(\r(6)－\r(2),4).答案eq\f(\r(6)－\r(2),4)15．(2022·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為________．解析由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時，等號成立，即bc≤4，故S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，則△ABC面積的最大值為eq\r(3).答案eq\r(3)三、解答題16．(2022·福建卷)已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－eq\f(1,2).(1)若0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(\r(2),2)，求f(α)的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．解法一(1)由于0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以cosα＝eq\f(\r(2),2).所以f(α)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)由于f(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.法二f(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(1)由于0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以α＝eq\f(π,4)，從而f(α)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(3π,4)＝eq\f(1,2).(2)T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.17．(2022·北京卷)如圖，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．解(1)在△ADC中，由于cos∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49.所以AC＝7.18．(2022·浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB.(1)求角C的大??；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．解(1)由題意得eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6))).由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5).由a<c，得A<C，從而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以，△ABC的面積為S＝eq\