隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法

隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前面研究的函數(shù)都可以表示為y=f（x）的形式，例如y=x＋x2，y=arctan（lnx）等.用這種方式表達(dá)的函數(shù)叫作顯函數(shù)．在實(shí)際問(wèn)題中，常常碰到一些函數(shù)是由方程F（x，y）=0確定的．例如，方程3x＋y2＋5=0表示一個(gè)函數(shù).這樣的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)．把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫作隱函數(shù)的顯化．例如，從方程3x＋y2＋5=0解出y=±-5-3x，就把隱函數(shù)化成顯函數(shù)．隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的，甚至是不可能的．例如，ey=y＋x在x的一定變化范圍內(nèi)雖然也能確定一個(gè)隱函數(shù)y=f（x），卻無(wú)法將它顯化.因此有必要介紹隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.設(shè)y=f（x）是由F（x，y）=0所確定的隱函數(shù)，則F（x，f（x））=0．由于此式左端是將y=f（x）代入F（x，y）所得到的復(fù)合函數(shù)，因此，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t將等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，便可得到所求的導(dǎo)數(shù)．我們通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這種方法．√一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

求方程xy-ex＋ey=0所確定的隱函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)．解方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得【例1】一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

求由方程ey=xsiny所確定的隱函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)．解方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得若平面曲線Ｃ由方程F（x，y）=0給定，則用上面的方法可求得曲線Ｃ上任一點(diǎn)處的切線與法線．【例2】一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例3】一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

下面，我們來(lái)介紹一種重要的求導(dǎo)方法——對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，這是一種利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)計(jì)算的方法．它適合于由幾個(gè)因子通過(guò)乘、除、乘方、開(kāi)方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo)．這種方法是先在y=f（x）的兩邊取對(duì)數(shù)，得到隱函數(shù)lny=lnf（x）；然后按照隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的思路，求出y對(duì)x的導(dǎo)數(shù).下面舉幾個(gè)例子.一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)y=xx（x>0）的導(dǎo)數(shù)．

解

這是冪指函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)時(shí)，既不能用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，也不能用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=xlnx，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得【例4】一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例5】一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)關(guān)系除了用顯式和隱式表示外，還可以用參數(shù)方程來(lái)表示．一般的，如果參數(shù)方程x=φ（t），確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)系所表示的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)．對(duì)于參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)，通常不需要由參數(shù)方程消去參數(shù)t化為y與x之間的直接函數(shù)關(guān)系后再求導(dǎo)．如果函數(shù)φ（t）和ψ（t）都可導(dǎo)，φ′（t）≠0且x=φ（t）存在反函數(shù)t=φ-1（x），則y為x的復(fù)合函數(shù)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得以后把上式作為參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例6】二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

已知拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向．解先求速度的大?。捎谒俣鹊乃椒至繛?/p>

【例7】二、由