多元函數(shù)微分學(xué)的

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面定義1

設(shè)M0是空間曲線Γ上的一點(diǎn)，M是Γ上的另一點(diǎn)（見(jiàn)圖8-16）．則當(dāng)點(diǎn)M沿曲線Γ趨向于點(diǎn)M0時(shí)，割線M0M的極限位置M0T（如果存在），稱為曲線Γ在點(diǎn)M0處的切線．過(guò)點(diǎn)M0且與切線垂直的平面，稱為曲線Γ在點(diǎn)M0處的法平面．圖8-16一、空間曲線的切線與法平面下面根據(jù)曲線方程不同的形式，建立空間曲線Γ的切線與法平面方程．(1)設(shè)曲線Γ的參數(shù)方程為當(dāng)t=t0時(shí)，曲線Γ上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M0(x0,y0,z0)．假定x(t)，y(t)，z(t)可導(dǎo)，且x′(t0)，y′(t0)，z′(t0)不同時(shí)為零．給t0以增量Δt，對(duì)應(yīng)地在曲線Γ上有一點(diǎn)M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，則割線M0M的方程為一、空間曲線的切線與法平面

上式中各分母除以Δt，得當(dāng)點(diǎn)M沿曲線Γ趨向于點(diǎn)M0時(shí)，有Δt→0，對(duì)上式取極限，因?yàn)樯鲜椒帜父髭呄蛴趚′(t0)，y′(t0)，z′(t0)，且不同時(shí)為零，所以割線的極限位置存在，且為一、空間曲線的切線與法平面

（8-11）這就是曲線Γ在點(diǎn)M0處的切線M0T的方程．切線的方向向量T可取為{x′(t0),y′(t0),z′(t0)}．容易知道，曲線Γ在點(diǎn)M0處的法平面的方程為x′(t0)(x－x0)+y′(t0)(y－y0)+z′(t0)(z－z0)=0．（8-12）一、空間曲線的切線與法平面

(2)設(shè)空間曲線Γ的方程以的形式給出，取x為參數(shù)，它就可以表示為參數(shù)方程的形式若φ(x),ψ(x)都在x=x0處可導(dǎo)，那么，根據(jù)上面的討論可知T={1,φ′(x0),ψ′(x0)}．因此，曲線Γ在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切線方程為一、空間曲線的切線與法平面

（8-13）曲線Γ在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的法平面方程為

（8-14）一、空間曲線的切線與法平面所以于是，由式（8-11）可得螺旋線在對(duì)應(yīng)于

的點(diǎn)處的切線方程為即一、空間曲線的切線與法平面求螺旋線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)

處的切線與法平面方程．

解當(dāng)因?yàn)椤纠?】一、空間曲線的切線與法平面求曲線在對(duì)應(yīng)于

的點(diǎn)處的切線與法平面方程．

解令x=t，得曲線Γ的參數(shù)方程為當(dāng)時(shí)，y=4,z=3．因?yàn)椤纠?】一、空間曲線的切線與法平面又由式（8-12）可得螺旋線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法平面方程為即一、空間曲線的切線與法平面所以，由式（8-13）可得曲線Γ在對(duì)應(yīng)于

的點(diǎn)處的切線方程為由式（8-14）可得曲線Γ在對(duì)應(yīng)于

的點(diǎn)處的法平面方程為即2x+32y+24z－201=0．二、曲面的切平面與法線定義2

設(shè)M0為曲面∑上的一點(diǎn)，若在曲面∑上過(guò)點(diǎn)M0的任何曲線在M0處的切線均在同一個(gè)平面上，則稱該平面為曲面∑在點(diǎn)M0處的切平面，過(guò)點(diǎn)M0且垂直于切平面的直線，稱為曲面∑在點(diǎn)M0處的法線．設(shè)曲面∑的方程為F(x,y,z)=0，M0(x0,y0,z0)是∑上的一點(diǎn)，F(xiàn)′x，F(xiàn)′y，F(xiàn)′z在點(diǎn)M0處連續(xù)且不同時(shí)為零．則可以證明，曲面上過(guò)點(diǎn)M0的任何曲線的切線都在同一個(gè)平面上．二、曲面的切平面與法線在曲面∑上，通過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)任意引一條曲線Γ（見(jiàn)圖8-17）．假定曲線Γ的參數(shù)方程為

（8-15）t=t0對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，且φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)不全為零，則曲線Γ的切線方程為二、曲面的切平面與法線圖8-17二、曲面的切平面與法線定義2

現(xiàn)在要證明的是，在曲面∑上通過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處具有切線的任何曲線Γ，它們?cè)邳c(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的切線都在同一個(gè)平面上．事實(shí)上，因?yàn)榍€Γ完全在曲面∑上，所以有恒等式F［φ(t),ψ(t),ω(t)］≡0．又因?yàn)镕(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)存在，所以，這恒等式左邊的復(fù)合函數(shù)在t=t0時(shí)有全導(dǎo)數(shù)，且這全導(dǎo)數(shù)等于零．二、曲面的切平面與法線

既有引入向量二、曲面的切平面與法線定義2

則式（8-16）表示曲線式（8-15）在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的切向量T={φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)}與向量n垂直．因?yàn)榍€式（8-15）是曲面∑上通過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)的任意一條曲線，它們?cè)邳c(diǎn)M0(x0,y0,z0)的切線都與同一個(gè)向量n垂直，所以，曲面∑上通過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)的任何曲線Γ，它們?cè)邳c(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的切線都在同一個(gè)平面上．該平面就是曲面∑在點(diǎn)M0處的切平面，其方程為二、曲面的切平面與法線定義2

（8-17）曲面∑在點(diǎn)M0處的法線方程為

（8-18）若曲面方程由顯函數(shù)z=f(x,y)給出，令F(x,y,z)=f(x,y)－z，于是F(x,y,z)=f(x,y)－z=0．二、曲面的切平面與法線因?yàn)镕′x=f′x,F′y=f′y,F′z=－1，所以曲面∑在點(diǎn)M0處的切平面方程為z－z0=f′x(x0,y0)(x－x0)+f′y(x0,y0)(y－y0)．（8-19）法線方程為

（8-20）二、曲面的切平面與法線由切平面的方程（8-19）可以看到，方程的右端恰好是函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，而左端是切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量．因此，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全微分，在幾何上表示曲面z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0,z0)處的切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量．這就是二元函數(shù)全微分的幾何意義．二、曲面的切平面與法線如果用α，β，γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸的正向所成的角γ是一銳角，則法向量的方向余弦為其中f′x=f′x(x0,y0),f′y=f′y(x0,y0)．二、曲面的切平面與法線求圓錐面

在點(diǎn)(3,4,5)處的切平面與法線方程．

解設(shè)因?yàn)樗砸虼耍桑?-19）式可得圓錐面在點(diǎn)(3,4,5)處的切平面方程為【例3】二、曲面的切平面與法線即3x+4y－5z=0．由式（8-20）可得圓錐面在點(diǎn)(3,4,5)處的法線方程為即二、曲面的切平面與法線球面x2+y2+z2=104上哪一點(diǎn)的切平面與平面3x+4y+z=2平行？并求此切平面方程．

解因?yàn)镕(x,y,z)=x2+y2+z2－104，所以F′x=2x,F′y=2y,F′z=2z．又因?yàn)榍蛎鎥2+y2+z2=104上點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的切平面平行于平面3x+4y+z=2，所以有【例4】二、曲面的切平面與法線所以有故有解得x0=3z0,y0=4z0．又點(diǎn)M0(x0,y0,z0)在球面x2+y2+z2=104上，所以有x20+y20+z20=104，即9z20+16z20+z20=104．二、曲面的切平面與法線解得z0=±2，于是有x0=±6,y0=±8．又因?yàn)樵谠撉蛎嫔系狞c(diǎn)(6,8,2)及(－6,－8,－2)處的切平面都平行于平面