二重積分的應(yīng)用

二重積分的應(yīng)用一、在幾何上的應(yīng)用體積1.由第一節(jié)的內(nèi)容可知，當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x,y)≥0時(shí)，以xOy面上的閉區(qū)域D為底，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積V為一般地，當(dāng)z=z1(x,y),z=z2(x,y)連續(xù)時(shí)，由它們所圍成的立體Σ的體積為這里D表示立體Σ在xOy面上的投影.一、在幾何上的應(yīng)用求曲面在任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體Σ的體積V.

解曲面S1在點(diǎn)x0,y0,z0的切平面方程為它與曲面的交線在xOy面上的投影為【例1】一、在幾何上的應(yīng)用于是，立體Σ在xOy面上的投影所以令，則在極坐標(biāo)系中，區(qū)域D可表示為一、在幾何上的應(yīng)用曲面面積2.設(shè)曲面S的方程為z=f(x,y),曲面S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy,函數(shù)f(x,y)在Dxy上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)和fy(x,y).在Dxy上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ(它的面積也記為dσ),在dσ內(nèi)取一點(diǎn)P(x,y),在曲面S上對(duì)應(yīng)著點(diǎn)M(x,y,f(x,y)),π為曲面S在點(diǎn)M處的切平面(見(jiàn)圖9-35).以dσ的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面,截曲面S為dS,截切平面π為dA,由于dσ的直徑很小,所以dA近似地等于dS.曲面S在點(diǎn)M處的法向量(指向朝上)為它與z軸正向所成夾角γ的方向余弦為一、在幾何上的應(yīng)用圖9-35一、在幾何上的應(yīng)用又dσ為dA在xOy面上的投影，所以，因此這就是曲面S的面積元素,故一、在幾何上的應(yīng)用即

若曲面的方程為x=g(y,z)或y=h(x,z)，可分別把曲面投影到y(tǒng)Oz面上（記投影區(qū)域?yàn)镈yz）或xOz面上（記投影區(qū)域?yàn)镈xz）.類(lèi)似地，可得

或一、在幾何上的應(yīng)用求球面含在柱面內(nèi)部的面積A.

解所求曲面在xOy面的投影區(qū)域,曲面方程為

，則【例2】一、在幾何上的應(yīng)用據(jù)曲面的對(duì)稱(chēng)性,有

其中.在極坐標(biāo)系中，D可用不等式來(lái)表示.于是一、在幾何上的應(yīng)用求錐面被柱面z2=2x所割下部分的曲面面積A.

解將割下部分的曲面在xOy面上投影，得

而所以【例3】二、在物理上的應(yīng)用

重積分在物理上的應(yīng)用是很廣泛的，這里主要介紹求物體的質(zhì)量、質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．二、在物理上的應(yīng)用物體的質(zhì)量1.設(shè)有一平面薄板占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，這里ρ(x,y)>0且在D上連續(xù)，則平面薄板的質(zhì)量上述公式可以推廣到空間物體的質(zhì)量其中ρ(x,y,z)為物體在點(diǎn)(x,y,z)處的密度，Ω為物體占有的空間．二、在物理上的應(yīng)用設(shè)平面薄板所占的閉區(qū)域是由直線x+y=2,y=x和x軸所圍成的，它的面密度ρ(x,y)=x2+y2，求該薄板的質(zhì)量．

解如圖9-36所示，區(qū)域D可表示為【例4】圖9-36二、在物理上的應(yīng)用

所以二、在物理上的應(yīng)用球體內(nèi)各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，求球體的質(zhì)量．

解根據(jù)題意可知球體的密度函數(shù)為則球體的質(zhì)量【例5】二、在物理上的應(yīng)用物體的質(zhì)心2.設(shè)平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其位置分別為(xi,yi)(i=1,2,…,n)，質(zhì)量分別為m1,m2,…,mn，由力學(xué)知識(shí)可知，該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為二、在物理上的應(yīng)用其中為該質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，分別是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸，y軸的靜力矩．設(shè)有一平面薄板，占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，假定ρ(x,y)在D上連續(xù)，現(xiàn)在要找該薄板的質(zhì)心．由于ρ(x,y)在D上連續(xù)，把薄板分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域Δσi直徑很小，在Δσi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi)，則可以近似看作第i小塊的質(zhì)量，若把每一小塊看作質(zhì)量集中在點(diǎn)(ξi,ηi)的質(zhì)點(diǎn)時(shí)，整個(gè)薄板就可看成是n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，因此，由二重積分的定義知，薄板的質(zhì)心坐標(biāo)二、在物理上的應(yīng)用如果薄板是均勻的，即面密度為常數(shù)，則質(zhì)心坐標(biāo)為二、在物理上的應(yīng)用其中

為閉區(qū)域D的面積．同理可得到空間非均勻物體Ω的質(zhì)心坐標(biāo)的計(jì)算公式為其中ρ(x,y,z)為物體在點(diǎn)(x,y,z)處的密度，ρ為連續(xù)函數(shù)．二、在物理上的應(yīng)用設(shè)半徑為R的半圓形平面薄板D，各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到圓心的距離，求它的質(zhì)心坐標(biāo)．

解取坐標(biāo)系如圖9-37所示．由題意，薄板面密度為，由于薄板關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故所以，質(zhì)心坐標(biāo)為【例6】圖9-37二、在物理上的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.先討論平面薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．設(shè)xOy平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)處，質(zhì)量分別為m1,m2,…,mn，由力學(xué)知識(shí)知道，該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于x軸與y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為設(shè)有一平面薄板，占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，假定ρ(x,y)在D上連續(xù)，現(xiàn)在求該薄板對(duì)于x軸與y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix和Iy．二、在物理上的應(yīng)用由于ρ(x,y)在D上連續(xù)，把薄板分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域Δσi直徑很小，在Δσi上任取一點(diǎn)(xi,yi)，則可以看作第i小塊質(zhì)量，若把每一小塊看作質(zhì)量集中在點(diǎn)(xi,yi)的質(zhì)點(diǎn)時(shí)，整個(gè)薄板就可看成是n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，所以，由二重積分的定義知，平面薄板對(duì)于x軸與y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為二、在物理上的應(yīng)用半徑為R的均勻半圓形薄板，面密度為常數(shù)ρ，求其對(duì)于直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．

解如圖9-37所示，區(qū)域D可表示為所求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄板對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix.【例7】二、在物理上的應(yīng)用其中

為半圓薄板的質(zhì)量．類(lèi)似地，若ρ(x,y,z)為空間物體在點(diǎn)(x,y,z)處的密度，Ω為物體占有的空間，則物體對(duì)于x,y,z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為二、在物理上的應(yīng)用求密度為ρ的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．

解取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸與軸l重合，又設(shè)球的半徑為a，則球體所占空間閉區(qū)域所求轉(zhuǎn)