2022屆【創(chuàng)新設計】數(shù)學一輪(北師大版-文科)-第四章-課時作業(yè)-4-5

第5講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及應用基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期為 ()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π解析最小正周期為T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.答案D2．(2021·寶雞模擬)將函數(shù)y＝cos2x＋1的圖像向右平移eq\f(π,4)個單位，再向下平移1個單位后得到的函數(shù)圖像對應的表達式為 ()A．y＝sin2x B．y＝sin2x＋2C．y＝cos2x D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))解析將函數(shù)y＝cos2x＋1的圖像向右平移eq\f(π,4)個單位得到y(tǒng)＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋1＝sin2x＋1，再向下平移1個單位得到y(tǒng)＝sin2x，故選A.答案A3．(2022·浙江卷)為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖像，可以將函數(shù)y＝eq\r(2)cos3x的圖像 ()A．向右平移eq\f(π,12)個單位 B．向右平移eq\f(π,4)個單位C．向左平移eq\f(π,12)個單位 D．向左平移eq\f(π,4)個單位解析∵y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，將y＝eq\r(2)cos3x的圖像向右平移eq\f(π,12)個單位即可得到y(tǒng)＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))的圖像，故選A.答案A4．(2022·成都診斷)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的部分圖像如圖所示，則ω，φ的值分別是 ()A．2，－eq\f(π,3) B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6) D．4，eq\f(π,3)解析由圖像知f(x)的周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)－\f(5π,12)))＝π，又T＝eq\f(2π,ω)，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的一個最高點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))，故有2×eq\f(5π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq\f(π,3)，又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，選A.答案A5．(2022·福建卷)將函數(shù)y＝sinx的圖像向左平移eq\f(π,2)個單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖像，則下列說法正確的是 ()A．y＝f(x)是奇函數(shù)B．y＝f(x)的周期為πC．y＝f(x)的圖像關于直線x＝eq\f(π,2)對稱D．y＝f(x)的圖像關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))對稱解析將函數(shù)y＝sinx的圖像向左平移eq\f(π,2)個單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖像，則y＝f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx．此函數(shù)為偶函數(shù)，周期為2π.由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\f(π,2)＝0，所以y＝f(x)的圖像關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))對稱，故選D.答案D二、填空題6．(2022·重慶卷)將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))圖像上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移eq\f(π,6)個單位長度得到y(tǒng)＝sinx的圖像，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________．解析eq\o(→,\s\up10(縱坐標不變),\s\do10(橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)7．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖像關于直線x＝eq\f(π,3)對稱，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝0，則ω的最小值為________．解析由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝0知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))是f(x)圖像的一個對稱中心，又x＝eq\f(π,3)是一條對稱軸，所以應有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω>0，,\f(2π,ω)≤4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,12)))，))解得ω≥2，即ω的最小值為2.答案28．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的圖像上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2eq\r(2)，且過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，則函數(shù)解析式f(x)＝________．解析據(jù)已知兩個相鄰最高和最低點距離為2eq\r(2)，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))\s\up12(2)＋（1＋1）2)＝2eq\r(2)，解得T＝4，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋φ))，又函數(shù)圖像過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，故f(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×2＋φ))＝－sinφ＝－eq\f(1,2)，又－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).答案sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6)))三、解答題9．(2021·景德鎮(zhèn)測試)已知函數(shù)f(x)＝4cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋a的最大值為2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)在坐標系上作出f(x)在[0，π]上的圖像．解(1)f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋a＝4cosx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))＋a＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x＋a＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1＋a的最大值為2，∴a＝－1，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)列表：x0eq\f(π,6)eq\f(5π,12)eq\f(2π,3)eq\f(11π,12)π2x＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(13π,6)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))120－201畫圖如下：10．(2022·湖北卷)某試驗室一天的溫度(單位：°C)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0，24)．(1)求試驗室這一天上午8時的溫度；(2)求試驗室這一天的最大溫差．解(1)f(8)＝10－eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×8))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×8))＝10－eq\r(3)coseq\f(2π,3)－sineq\f(2π,3)＝10－eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－eq\f(\r(3),2)＝10.故試驗室上午8時的溫度為10℃.(2)由于f(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，又0≤t＜24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)＜eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.當t＝2時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；當t＝14時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故試驗室這一天最高溫度為12°C，最低溫度為8°C，最大溫差為4°C.力氣提升題組(建議用時：25分鐘)11．(2022·遼寧卷)將函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖像向右平移eq\f(π,2)個單位長度，所得圖像對應的函數(shù) ()A．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上單調(diào)遞減B．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上單調(diào)遞增C．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞減D．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增解析將y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖像向右平移eq\f(π,2)個單位長度后得到y(tǒng)＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))的圖像，當eq\f(π,12)≤x≤eq\f(7π,12)時，－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(2π,3)≤eq\f(π,2)，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上單調(diào)遞增，故選B.答案B12．(2022·東北三省三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))向左平移eq\f(π,6)個單位后是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為 ()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))向左平移eq\f(π,6)個單位后得到函數(shù)為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))，由于此時函數(shù)為奇函數(shù)，所以eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)．由于|φ|＜eq\f(π,2)，所以當k＝0時，φ＝－eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).當0≤x≤eq\f(π,2)時，－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，即當2x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)時，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))有最小值為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2).答案A13．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無最大值，則ω＝______________________________.解析依題意，x＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,4)時，y有最小值，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)·ω＋\f(π,3)))＝－1，∴eq\f(π,4)ω＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．∴ω＝8k＋eq\f(14,3)(k∈Z)，由于f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無最大值，所以eq\f(π,3)－eq\f(π,4)≤eq\f(π,ω)，即ω≤12，令k＝0，得ω＝eq\f(14,3).答案eq\f(14,3)14．已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2sin2x－1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖像上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)，再把所得到的圖像向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖像，求函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－