【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版必修五導學案：《余弦定理》

第2課時余弦定理1.了解向量法證明余弦定理的推導過程.2.把握余弦定理及其推論.3.能夠利用余弦定理及其推論解三角形.如圖,某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道,需要測算隧道通過這座山的長度.工程技術人員先在地面上選一適當?shù)奈恢肁,量出A到山腳B、C的距離,其中AB=3km,AC=1km,再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC(即線段BC)的張角∠BAC=150°,你能通過計算求出山腳的長度BC嗎?問題1:上述問題中,山腳BC長度的求解用的是余弦定理,余弦定理的內(nèi)容是什么?余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍,這個定理是余弦定理,可以用式子表示為a2=、b2=、c2=.

問題2:余弦定理的推論:cosA=;cosB=;cosC=.

問題3:余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律,也是解三角形的重要工具:(1)在余弦定理中,每一個等式均含有四個量,利用的觀點,可以知三求一.

(2)利用余弦定理可以完成三種情形的斜三角形,分別是:①已知,解三角形;②已知,解三角形;③已知,解三角形.

問題4:△ABC的三邊為a,b,c,對角分別為A,B,C,則:(1)若,則角C是直角;

(2)若,則角C是鈍角;

(3)若,則角C是銳角.

1.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,則△ABC的最大角為().A.100° B.135° C.120° D.150°2.設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若c=3,b=2a,C=π3,則邊a等于()A.12 B.1 C.32 D3.(1)以7,24,25為各邊長的三角形是三角形;

(2)以2,3,4為各邊長的三角形是三角形;

(3)以4,5,6為各邊長的三角形是三角形.

4.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,求角A.已知三角形的三邊解三角形在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶6∶(3+1),求△ABC各角的度數(shù).已知兩邊及其中一邊的對角解三角形在△ABC中,a=33,b=3,B=30°,解這個三角形.利用余弦定理判定三角形外形已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(4,-1),n=(cos2A2,cos2A),且m·n=7(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=23,試推斷△ABC的外形.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶19.則該三角形的最大內(nèi)角為.

在△ABC中,a=3,b=1,B=30°,解這個三角形.在鈍角△ABC中,a=1,b=2,則最大邊c的取值范圍是.

1.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,則cosC等于().A.-23 B.-14 C.14 2.在△ABC中,已知a4+b4+c4=2c2(a2+b2),則角C等于().A.60° B.45°或135° C.120° D.30°3.在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2+c2=b2+ac,則cosB=.

4.已知在△ABC中,a=8,b=7,B=60°,求c.(2021年·新課標全國卷)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b等于().A.10 B.9 C.8 D.5考題變式(我來改編):第2課時余弦定理學問體系梳理問題1:b2+c2-2bccosAc2+a2-2accosBa2+b2-2abcosC問題2:b2+c2問題3:(1)方程(2)三邊兩邊及其夾角兩邊及其一邊的對角問題4:(1)a2+b2=c2(2)a2+b2<c2(3)a2+b2>c2基礎學習溝通1.C設三邊分別為3k,5k,7k,則角C為最大角,依據(jù)余弦定理:cosC=a2+b2-c222.BcosC=a2+b2-c22ab3.(1)直角(2)鈍角(3)銳角(1)72+242=252,∴三角形為直角三角形;(2)22+32-42<0,∴三角形為鈍角三角形;(3)42+52-62>0,∴三角形為銳角三角形.4.解:由已知得b2+c2-a2=-bc,∴cosA=b2+c又∵0<A<π,∴A=2π重點難點探究探究一:【解析】∵a∶b∶c=2∶6∶(3+1),∴令a=2k,b=6k,c=(3+1)k(k>0),由余弦定理有:cosA=b2+c2-a22cosB=c2+a2-b22∴C=180°-45°-60°=75°.【小結】已知三角形三邊求角,可先用余弦定理求一個角,再用正弦定理(也可連續(xù)用余弦定理)求另一個角,進而求出第三個角.探究二:【解析】依據(jù)余弦定理得:b2=c2+a2-2cacosB,即c2-9c+18=0,解得:c=3或c=6.當c=3時,cosA=b2+c∴A=120°,故C=180°-120°-30°=30°;當c=6時,cosA=b2+c∴A=60°,故C=180°-60°-30°=90°.綜上可知:A=60°,C=90°,c=6或A=120°,C=30°,c=3.【小結】已知三角形的兩邊與一角求第三邊,必需先推斷該角是給出兩邊中一邊的對角,還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角,可以由余弦定理求第三邊;若是給出兩邊中一邊的對角,可以應用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三邊(也可以兩次應用正弦定理求出第三邊).探究三:【解析】(1)∵m=(4,-1),n=(cos2A2,cos2A∴m·n=4cos2A2-cos2A=4·1+cosA2-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos又∵m·n=72,∴-2cos2A+2cosA+3=72,解得cosA=12.∵0<A<π,(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,且a=3,∴(3)2=b2+c2-2bc·12=b2+c2又∵b+c=23,與①共同解得bc=3,∴b+c=2于是a=b=c=3,即△ABC為等邊三角形.【小結】依據(jù)已知條件中的邊角關系推斷三角形的外形時,主要有如下兩種方法:(1)利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系,通過因式分解、配方等得出邊的相應關系,從而推斷三角形的外形;(2)利用正、余弦定理把已知條件轉化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關系,通過三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關系,從而推斷出三角形的外形,此時要留意應用A+B+C=π這個結論.思維拓展應用應用一:2π3在△ABC中,依據(jù)正弦定理及已知得a∶b∶c=2∶3∶19.設a=2x(x>0),則b=3x,c=19x.明顯∴C是最大角.∴cosC=a2+b2-c22應用二:(法一)依據(jù)余弦定理得:b2=c2+a2-2cacosB,即c2-3c+2=0,解得:c=1或2.當c=1時,C=B=30°,∴A=120°;當c=2時,△ABC為直角三角形,C=90°,∴A=60°.(法二)可由正弦定理bsinB=asinA得sinA=asinBb=當A=60°時,C=90°,∴c=2;當A=120°時,C=30°,∴c=1.應用三:(5,3)依據(jù)余弦定理得:cosC=a2+b∵C為最大角,∴C為鈍角,即cosC=5-c24∈(-解得:5<c<3.基礎智能檢測1.B由正弦定理得a∶b∶c=3∶2∶4,cosC=a2+b2.B∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),∴a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2=0,即(a2+b2-c2)2=2a2b2,∴a2+b2-c22ab=±22,即cos3.12cosB=a2+c24.解:∵b2=c2+a2-2accosB,∴72=c2+82-2×8cc