方向?qū)?shù)與梯度

方向?qū)?shù)與梯度第六節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

鯊魚在海洋里發(fā)現(xiàn)血腥味時(shí)，總能立即向氣味最濃的方向連續(xù)前進(jìn)，但結(jié)果表明它前進(jìn)的路線從不是直線，這是什么原因呢？在了解梯度的概念之后，再來嘗試著解釋這種現(xiàn)象.一、數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)的概念場(chǎng)是物理學(xué)中最重要的概念之一.已知磁鐵周圍有磁場(chǎng)，電荷周圍有電場(chǎng)，而它周圍區(qū)域內(nèi)點(diǎn)隨位置不同，場(chǎng)強(qiáng)也隨之變化.為了以量化的形式描述場(chǎng)的特征，將引入場(chǎng)函數(shù)的概念.若對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M，都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)與之對(duì)應(yīng)，則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng).一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可由一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來確定.像溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)這樣與方向無關(guān)的量所構(gòu)成的場(chǎng)都是數(shù)量場(chǎng).一、數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)的概念若對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M，都有一個(gè)確定的向量F(M)與之對(duì)應(yīng)，則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng).一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)向量函數(shù)F(M)來確定，即F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k,其中P(M),Q(M),R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù).像靜電場(chǎng)，速度場(chǎng)這樣與方向有關(guān)的量所構(gòu)成的場(chǎng)都是向量場(chǎng).本節(jié)所涉及的梯度，以及后面即將學(xué)習(xí)到的散度、旋度都屬于場(chǎng)的概念.二、方向?qū)?shù)已知偏導(dǎo)數(shù)所反映的是函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率，但在實(shí)際應(yīng)用中這顯然是不夠的，如在熱傳導(dǎo)問題中，對(duì)于溫度場(chǎng)，就需要研究它對(duì)應(yīng)的數(shù)量函數(shù)f(M)在各個(gè)方向上的變化率，所以下面討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿任一指定方向的變化率.二、方向?qū)?shù)定義1

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域U(P0)內(nèi)有定義，l為從點(diǎn)P0出發(fā)的射線，P(x,y)為l上且含于U(P0)內(nèi)的任一點(diǎn)，以ρ表示P,P0兩點(diǎn)間的距離.若極限存在，則稱這極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)，記為

二、方向?qū)?shù)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處沿方向l的方向?qū)?shù)就是f(x,y)在點(diǎn)P0處沿方向l的變化率.函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)反映了f(x,y)在點(diǎn)P0處沿坐標(biāo)軸方向的變化率，所以函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于特定指向的方向?qū)?shù).容易看出，若f(x,y)在點(diǎn)P0存在關(guān)于x(或y)的偏導(dǎo)數(shù)，則f(x,y)在點(diǎn)P0沿x(或y)軸正向的方向?qū)?shù)為二、方向?qū)?shù)當(dāng)l的方向?yàn)閤(或y)軸的負(fù)方向時(shí)，有沿任一方向的方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系由下述定理給出.二、方向?qū)?shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在,且有其中cos

α,cos

β是方向l的方向余弦.定理二、方向?qū)?shù)設(shè)l上的另一點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x0+Δx,y0+Δy).因?yàn)楹瘮?shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可微分，所以f(P)－f(P0)=f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+o(ρ),其中為線段PP0的長(zhǎng)度.由題意，l與x軸，y軸正向的夾角分別為α，β，故Δx=x－x0=ρcos

α,Δy=y－y0=ρcos

β（見圖8-18），于是f(P)－f(P0)=fx(x0,y0)ρcos

α+fy(x0,y0)ρcos

β+o(ρ),證明二、方向?qū)?shù)圖8-18兩邊同除以ρ并取極限，得二、方向?qū)?shù)求函數(shù)處沿向量l=(3,4)方向的方向?qū)?shù)．

解易知，與向量l同向的單位向量，因此，向量l的方向余弦又由于【例1】二、方向?qū)?shù)故對(duì)于三元函數(shù)u=f(x,y,z)來說，它在空間一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)沿著方向l(設(shè)方向l的方向余弦為cos

α,cos

β,cos

γ)的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為二、方向?qū)?shù)其中當(dāng)函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處可微分時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向l的方向?qū)?shù)為二、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)，求在點(diǎn)1,2,3沿方向l的方向?qū)?shù)，其中與l同向的單位向量

解由已知可得l的方向余弦因此【例2】三、梯度定義2

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)(x0,y0)∈D，都可定出一個(gè)向量這向量稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的梯度，記為gradf(x0,y0).由定義2可見，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的梯度為一個(gè)向量，其大小三、梯度而方向要結(jié)合方向?qū)?shù)來分析.若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可微分，el=(cos

α,cos

β)是與方向l同向的單位向量，則這里θ是梯度向量gradf(x0,y0)與el的夾角.因此，當(dāng)取得最大值gradf(x0,y0).這就是說，當(dāng)f(x,y)在點(diǎn)P0

可微分時(shí)，f(x,y)在點(diǎn)P0的梯度方向是f(x,y)的值增長(zhǎng)最快的方向，且沿這一方向的變化率就是梯度的模.三、梯度這個(gè)梯度方向究竟指向哪里呢？首先介紹等值線的概念.一個(gè)二元函數(shù)z=f(x,y)通常在幾何上可表示為一個(gè)曲面，當(dāng)用平面z=c(c是常數(shù))去截這個(gè)曲面時(shí)，截線L的方程為那么這條水平截線L上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值顯然都為c，為表現(xiàn)這個(gè)特點(diǎn)，設(shè)這條截線L在xOy面上的投影曲線為L(zhǎng)*，則L*為xOy面上一條面曲線，它在xOy面上的方程為f(x,y)=c,三、梯度將曲線L*上的所有點(diǎn)(x,y)，代入z=f(x,y)所得的函數(shù)值都是c，所以稱平面曲線L*為函數(shù)z=f(x,y)的等值線(見圖8-19).圖8-19三、梯度下面分析等值線f(x,y)=c上任一點(diǎn)P0(x0,y0)處的一個(gè)法向量.若fx(x0,y0),fy(x0,y0)不同時(shí)為零，由隱函數(shù)存在定理，可得它在點(diǎn)P0(x0,y0)處的切線斜率k=，于是法線斜率為，由此即可寫出點(diǎn)P0(x0,y0)處的一個(gè)單位法向量三、梯度這表明梯度gradf(x0,y0)方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同，而沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)即由此得如下結(jié)論：函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同，它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線，且為增長(zhǎng)最快的方向.梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).二、方向?qū)?shù)設(shè)某金屬板上的電壓分布為V=50－2x2－4y2,求在點(diǎn)(1,－2)處沿哪個(gè)方向電壓升高得最快?上升的速率為多少?

解因?yàn)橛谑荲在點(diǎn)(1,－2)處的梯度為即電壓沿－i+4j方向升高得最快.【例3】三、梯度設(shè)梯度方向的向量為n，即n=－i+4j，于是電壓上升的速率的最大值為與方向?qū)?shù)類似，梯度概念同樣可以推廣到三元函數(shù)的情形.設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)∈G,都可定出一個(gè)向量三、梯度這向量稱為函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的梯度，記為gradf(x0,y0,z0).對(duì)于三元函數(shù)的梯度，有與二元函數(shù)相類似的結(jié)論：把f(x,y,z)=c稱為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面，則函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的梯度作為一個(gè)向量，方向?yàn)槿〉米畲蠓较驅(qū)?shù)的方向，與過點(diǎn)P0的等量面f(x,y,z)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面.其模為方向?qū)?shù)的最大值，等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).二、方向?qū)?shù)求函數(shù)在點(diǎn)A(2,－1,1)處的梯度.

解因?yàn)橛谑怯?/p>

由向量場(chǎng)的概念，可以說由梯度給出的向量場(chǎng)稱為梯度場(chǎng).【例4】二、方向?qū)?shù)設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)O，質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)的梯度場(chǎng).

解同理可得，從而【例5】三、梯度用er表示方向上的單位向量，有因此它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力，方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn)，大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比，與它們的距離平方成反比.因此，引力場(chǎng)是數(shù)量函數(shù)

的梯度場(chǎng)，而函數(shù)

稱為引力勢(shì).三、梯度引例說明試驗(yàn)表明，海水中血液的濃度近似為其中x