【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修二導(dǎo)學(xué)案：《平行關(guān)系的判定》

第8課時(shí)平行關(guān)系的判定1.理解直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理,能用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述這些定理,并能加以證明.2.能運(yùn)用直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)潔問(wèn)題.若一個(gè)平面內(nèi)的全部直線與另一個(gè)平面平行,這兩個(gè)平面明顯無(wú)公共點(diǎn),所以它們是相互平行的,用這種方法來(lái)推斷兩個(gè)平面平行明顯格外繁瑣,那么能不能用一個(gè)平面內(nèi)最少的直線與另一個(gè)平面平行來(lái)推斷這兩個(gè)平面平行呢?若一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另一個(gè)平面平行,這兩個(gè)平面是否平行?若有兩條呢?問(wèn)題1:推斷平面外的一條直線與平面平行只需在平面找出一條直線與該直線平行即可;推斷兩個(gè)平面平行,只需在一個(gè)平面找出與另一個(gè)平面平行即可,它們分別是直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理.

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.符號(hào)語(yǔ)言:若a?α,b?α,a∥b,則a∥α.

若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.符號(hào)語(yǔ)言:若a?α,b?α,a∩b=A,a∥β,b∥β,則α∥β.

問(wèn)題2:證明直線和平面平行的方法歸納:(1)定義法:依據(jù)條件推斷已知直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn),但要說(shuō)明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)往往比較困難,所以一般不接受定義法.

(2)判定定理:在已知平面內(nèi)找出一條直線,而這條直線與已知直線平行,從而符合判定定理的條件,進(jìn)而可判定已知直線和已知平面平行.找“線線平行”常用以下方法:

①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法;②三角形中位線法;③平行四邊形法;④成比例線段法.問(wèn)題3:證明平面和平面平行的方法歸納:證明兩個(gè)平面平行除了可以用兩個(gè)平面平行的判定定理外,還可以用以下兩種方法:(1)假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個(gè)平面平行;

(2)假如兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行,即平面平行具有傳遞性.

這兩個(gè)結(jié)論都可以用兩個(gè)平面平行的判定定理推導(dǎo)得出,可以看作該定理的推理.問(wèn)題4:證明直線和平面平行、平面和平面平行的基本思路.(1)證明直線和平面平行的基本思路:直線和平面平行的判定可轉(zhuǎn)化為直線和平面內(nèi)的一條直線平行,即“若線線平行,則線面平行”.由此可以看出,要證明平面外的一條直線和這個(gè)平面平行,可轉(zhuǎn)化為在這個(gè)平面內(nèi)找出一條直線和已知直線平行,就可以判定已知直線和這個(gè)平面平行.

(2)欲證兩個(gè)平面平行,只需證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線同另一個(gè)平面平行,而證明線面平行則需要證明線線平行,由此可見(jiàn),證明面面平行的基本思路為線線平行、線面平行、面面平行.

1.下列條件中,能得出直線a與平面α平行的條件是().A.a?α,b?α,a∥bB.b?α,a∥bC.b?α,c∥a,a∥b,c∥αD.b?α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD2.下列說(shuō)法正確的是().A.若平面α內(nèi)的很多條直線分別與平面β平行,則α∥βB.兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行線,則這兩個(gè)平面平行C.過(guò)已知平面外一條直線,必能作出與該平面平行的平面D.平面外的兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行,則另一條也與此平面平行3.已知直線l1,l2,平面α,且l1∥l2,l1∥α,則l2與α的位置關(guān)系是.

4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別是A1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:EF∥平面ABC1.直線與平面平行的判定正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是面對(duì)角線A1B、B1C的中點(diǎn).求證:EF∥平面ABCD.平面與平面平行的判定如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,點(diǎn)E、D分別是B1C1、BC的中點(diǎn).求證:平面A1EB∥平面C1AD.線面平行,面面平行的開(kāi)放性問(wèn)題如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H、N分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD、BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M滿足什么條件時(shí),有MN∥平面B1BDD1(填上一個(gè)正確的條件即可)?在四棱錐P—ABCD中,E、F分別是PD、AB的中點(diǎn).那么EF與平面PBC的位置關(guān)系如何?請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,分別過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)作平面AB1D1、平面C1DB,求證:平面AB1D1∥平面C1DB.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、P分別是CC1、C1D1的中點(diǎn),作出過(guò)MP且與截面A1BD平行的截面.1.在圍成正方體ABCD-A1B1C1D1的面中,與平面AC平行的平面是().A.平面A1C1 B平面AD1C.平面AB1 D.平面BC12.已知a、b、c為三條不重合的直線,α、β、γ為三個(gè)不重合平面,現(xiàn)給出六個(gè)命題:①a∥cb∥c?a∥b;②a∥γb∥γ?a④α∥γβ∥γ?α∥β;⑤α∥ca∥c?其中正確的命題是().A.①②③ B.①④⑤ C.①④ D.①③④3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E是PC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PE=PC時(shí),PA∥平面BDE.

第3題圖第4題圖4.如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是棱AB、CD、A1B1、C1D1的中點(diǎn).求證:平面A1EFD1∥平面BCHG.(2021年·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷改編)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點(diǎn).證明:BC1∥平面A1CD.考題變式(我來(lái)改編):第8課時(shí)平行關(guān)系的判定學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:兩條相交直線a?α,b?α,a∥ba?α,b?α,a∩b=A,a∥β,b∥β問(wèn)題2:(1)沒(méi)有公共點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)(2)平行問(wèn)題3:(1)平行(2)傳遞性問(wèn)題4:(1)線線線面一條直線(2)相交線線平行線面平行面面平行基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.A選項(xiàng)B、C、D都缺條件a?α.2.D選項(xiàng)A、B中兩平面還可能相交.選項(xiàng)C中,當(dāng)直線與平面相交時(shí),不能作出與該平面平行的平面.3.l2∥α或l2?α由于l1平行于平面α,所以在α內(nèi)存在直線b與l1平行.由于l2∥l1,所以l2∥b,所以l2∥α或l2?α.4.解:由于E,F分別是A1C1,B1C1的中點(diǎn),所以EF∥A1B1,又由于在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以EF∥AB,又EF?平面ABC1,AB?平面ABC1,所以EF∥平面ABC1.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】分別取AB、BC的中點(diǎn)G、H,連接EG,FH,GH.則由三角形中位線性質(zhì)知:EG∥FH,且EG=FH,∴四邊形EGHF是平行四邊形,∴EF∥GH.∵EF?平面ABCD,而GH?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.【小結(jié)】本題利用中點(diǎn)關(guān)系構(gòu)造平行四邊形,從而在平面ABCD內(nèi)確定了與EF平行的直線.利用中點(diǎn)關(guān)系確定線線平行是一種格外重要的技巧.探究二:【解析】連接DE.由DE∥BB1,又BB1∥AA1,∴DE∥AA1.由DE=BB1,又BB1=AA1,∴DE=AA1,∴四邊形A1EDA是平行四邊形,A1E∥AD.∵A1E?平面C1AD,AD?平面C1AD,∴A1E∥平面C1AD.易證得EB∥C1D,EB?平面C1AD,C1D?平面C1AD,∴EB∥平面C1AD.又A1E∩EB=E,平面A1EB經(jīng)過(guò)A1E和EB,∴平面A1EB∥平面C1AD.【小結(jié)】要證明面面平行,關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面平行,再利用線面平行的判定方法進(jìn)行證明.該問(wèn)題還可利用“一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行,則這兩個(gè)平面平行”的方法證明.探究三:【解析】M在FH上.理由:(1)當(dāng)M為H點(diǎn)時(shí).∵H、N為棱CD、BC的中點(diǎn),∴HN∥BD.∵BD?平面B1BDD1,HN?平面B1BDD1,∴HN∥平面B1BDD1,即MN∥平面B1BDD1.(2)當(dāng)M為F點(diǎn)時(shí),取BD的中點(diǎn)P,連接PN、FN、D1P,∵N為BC中點(diǎn),F為D1C1中點(diǎn),∴PN∥D1F,PN=D1F,∴四邊形D1PNF為平行四邊形,∴FN∥D1P.∵D1P?平面B1BDD1,FN?平面B1BDD1,∴FN∥平面B1BDD1,即MN∥平面B1BDD1.(3)當(dāng)M為FH上任一點(diǎn),作MQ∥D1C1,交D1D于點(diǎn)Q,P為BD的中點(diǎn),易知四邊形MQPN為平行四邊形,∴MN∥PQ.∵PQ?平面B1BDD1,MN?平面B1BDD1,∴MN∥平面B1BDD1.綜上可知,M在線段FH上.【小結(jié)】這類問(wèn)題常將幾個(gè)特殊點(diǎn)作為突破口,探究它們適合的條件,然后說(shuō)明該條件下的一般點(diǎn)也滿足題意,從而可確定問(wèn)題的答案.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:平行,理由如下:取PC中點(diǎn)G,連接EG、GB.由EG∥DC,FB∥DC,可知EG∥FB,又EG=12DC,FB=12可知EG=FB,得四邊形EGBF為平行四邊形,∴EF∥GB.∵EF?平面PBC,而GB?平面PBC,∴EF∥平面PBC.應(yīng)用二:∵DC1∥AB1,而DC1?平面C1DB,AB1?平面C1DB,∴AB1∥平面C1DB.同理可知:AD1∥平面C1DB,又AD1∩AB1=A,∴平面AB1D1∥平面C1DB.應(yīng)用三:取B1C1的中點(diǎn)N,連接PN、MN,截面PMN即為所求的截面.證明如下:連接D1C,∵M(jìn)、P分別是CC1、C1D1的中點(diǎn),∴PM∥D1C.∵A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四邊形A1D1CB為平行四邊形,∴A1B∥D1C,∴PM∥A1B,同理PN∥BD.∵PM?平面PMN,PN?平面PMN,PM∩PN=P,A1B?平面A1BD,BD?平面A1BD,∴平面A1BD∥平面PMN.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.A如圖所示,由平面平行的判定定理知,平面A1C1內(nèi)有兩條相交直線A1D1、C1D1都平行于平面AC.2.C①④正確;②錯(cuò)在a、b還可能相交或異面;③錯(cuò)在α與β可能相交;⑤⑥錯(cuò)在a可能在α內(nèi).3.12問(wèn)題轉(zhuǎn)化為E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),平面BDE中能找到與PA平行的直線,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接EO,則PA,EO是共面直線,由于O是AC的中點(diǎn),所以E是