2025年人教版八年級數(shù)學寒假預習 第02講 二次根式的乘除（4個知識點+6大考點舉一反三+過關(guān)測試）

第02講二次根式的乘除模塊一思維導圖串知識

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測1.掌握二次根式的乘法法則：，能利用其進行計算，并能逆用法則進行化簡；2.掌握二次根式的除法法則：，能利用其進行計算，并能逆用法則進行化簡；3．理解最簡二次根式的概念，會進行二次根式的乘除法混合運算，并能將二次函數(shù)化為最簡形式。知識點1：二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)。知識點2：二次根式的乘法法則的逆用1.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）2.二次根式的乘法法則的逆用的推廣知識點3：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣a≥0，b＞0時，才有意義；a≥0，b＞0時，才有意義；如果被開方數(shù)時帶分數(shù)，應先化成假分數(shù)知識點4：最簡二次根式的概念

1.最簡二次根式的概念被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式2.化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，先將被開方數(shù)化成假分數(shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分數(shù)若被開方數(shù)時分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號?？键c一：二次根式的乘法例1.計算：20×5(3)48×12【變式1-1】計算∶(1)23×515；(2)2a【變式1-2】計算：(1)13×【變式1-2】計算：(1)217×【變式1-3】計算：(1)2a?8a；(2)考點二：二次根式的除法例2.化簡：(1)179；(2)81×121144【變式2-1】計算：(1)186；(2)?12【變式2-1】計算：(1)72÷32；(2)?123÷【變式2-2】計算：(1)1255；(2)45÷210．(3)3ab考點三：二次根式的乘除混合運算例3.計算：5×2×2(3)xxy2【變式3-1】計算：27×50÷(3)323×【變式3-2】計算：(1)23334×考點四：最簡二次根式的判斷例4.下列選項中的式子，是最簡二次根式的是（

）A．12 B．243 C．36m D．【變式4-1】下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A．30 B．12 C．13 D．【變式4-2】下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A．12 B．0.2 C．7 D．【變式4-3】請寫出一個正整數(shù)m的值使得2m是最簡二次根式，m=．考點五：化為最簡二次根式,例5.化簡32的結(jié)果是（

）A．52 B．42 C．32【變式5-1】將20化成最簡二次根式為（）A．210 B．45 C．25【變式5-2】下列各組式子中，化簡后被開方數(shù)相同的一組是（

）A．18與13 B．12與C．27與23 D．45與【變式5-3】將108化成最簡二次根式的結(jié)果為．考點六：已知最簡二次根式求參數(shù)例6.12與最簡二次根式m+1是同類二次根式，則m=（

）A．2 B．3 C．6 D．11【變式6-1】若8和最簡二次根式3m?7是同類二次根式，則m的值為（

）A．m=4 B．m=3 C．m=5 D．m=6【變式6-2】若最簡二次根式a+2與3a?4是同類二次根式，則a=．【變式6-3】若27與最簡二次根式1?a能合并成一項，則a=．一、單選題1．化簡28×17A．2 B．5 C．6 D．32．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A．12 B．5 C．4 D．3．化簡20的結(jié)果是（

）A．210 B．25 C．454．化簡?42的結(jié)果為（A．2 B．2 C．4 D．?45．下列運算錯誤的是（

）A．?4×?9=6C．33×6二、填空題6．化簡：?8=7．計算2228．計算：1239．二次根式的乘法在生活和高科技領(lǐng)域中有著廣泛的應用，如圖，在“神舟八號”中要將某一部件的一個長方形變化成等面積的一個圓形，已知長方形的長是140πcm，寬是35π

三、解答題10．計算：(1)312×?111．計算：(1)331212．計算：3x

第02講二次根式的乘除模塊一思維導圖串知識

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測1.掌握二次根式的乘法法則：，能利用其進行計算，并能逆用法則進行化簡；2.掌握二次根式的除法法則：，能利用其進行計算，并能逆用法則進行化簡；3．理解最簡二次根式的概念，會進行二次根式的乘除法混合運算，并能將二次函數(shù)化為最簡形式。知識點1：二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)。知識點2：二次根式的乘法法則的逆用1.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）2.二次根式的乘法法則的逆用的推廣知識點3：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣a≥0，b＞0時，才有意義；a≥0，b＞0時，才有意義；如果被開方數(shù)時帶分數(shù)，應先化成假分數(shù)知識點4：最簡二次根式的概念

1.最簡二次根式的概念被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式2.化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，先將被開方數(shù)化成假分數(shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分數(shù)若被開方數(shù)時分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號。考點一：二次根式的乘法例1.計算：(1)20×5(3)48×12【答案】(1)10(2)12(3)24(4)3【分析】本題考查了二次根式的乘法，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘法運算法則計算，再化簡即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法運算法則計算，再化簡即可（3）根據(jù)二次根式的乘法運算法則計算，再化簡即可；（4）根據(jù)二次根式的乘法運算法則計算，再化簡即可．【詳解】（1）解：20×（2）解：8×（3）解：48×（4）解：6a【變式1-1】計算∶(1)23×515；(2)2a【答案】(1)30(2)2a(3)2【分析】本題考查二次根式的乘法：（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可；【詳解】（1）解：原式=2×5×3×15（2）原式=2a（3）原式=2a3bc【變式1-2】計算：(1)13×【答案】(1)5(2)?135【分析】本題考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘法運算法則求解，結(jié)果要為最簡；（2）根據(jù)二次根式的乘法運算法則求解，結(jié)果要為最簡；【詳解】（1）1===5；（2）5=5×(?3)×=?15×9=?135【變式1-2】計算：(1)217×【答案】(1)?4(2)5【分析】本題考查了二次根式的乘法法則，熟練運用法則進行化簡是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可求解．【詳解】（1）2=2×=?6=?6×=?4；（2）15=2×=5【變式1-3】計算：(1)2a?8a；(2)【答案】(1)4a(2)63【分析】本題考查二次根式的乘法運算：（1）根據(jù)乘法法則進行計算即可；（2）利用乘法法則進行計算即可．【詳解】（1）解：原式=2×8（2）原式====63．考點二：二次根式的除法例2.化簡：(1)179；(2)81×121144【答案】(1)4(2)33(3)5b【分析】本題考查了二次根式乘的除法及二次根式的化簡．（1）直接利用二次根式的除法運算法則計算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案；（3）直接利用二次根式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】（1）解：原式=16（2）解：原式===33（3）解：原式==5b【變式2-1】計算：(1)186；(2)?12【答案】(1)3(2)?3(3)6【分析】本題主要考查了二次根式的除法，根據(jù)二次根式的除法法則逐個計算即可．【詳解】（1）186（2）?1（3）63x【變式2-1】計算：(1)72÷32；(2)?123÷【答案】(1)4(2)?3(3)3a【分析】（1）根據(jù)二次根式的除法計算法則求解即可；（2）根據(jù)二次根式的除法計算法則求解即可；（3）根據(jù)二次根式的除法計算法則求解即可．【詳解】（1）解：原式=272÷3=2=46（2）解：原式=?=?=?=?32（3）解：原式=3ab÷===3a．【點睛】本題主要考查了二次根式的除法，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】計算：(1)1255；(2)45÷210．(3)3ab【答案】(1)5(2)2(3)3(4)6aa【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接化簡即可；（2）根據(jù)二次根式的除法運算法則直接化簡即可；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接化簡即可；（4）根據(jù)二次根式的除法運算法則直接化簡即可．【詳解】（1）解：125==＝5；（2）4==2=（3）原式==3（4）原式=2×==6aa【點睛】題目主要考查二次根式的除法運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．考點三：二次根式的乘除混合運算例3.計算：(1)5×2×2(3)xxy2【答案】(1)2(2)?4(3)?(4)?【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計算，熟知二次根式的乘除法計算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計算二次根式乘法，再計算二次根式除法即可得到答案；（2）直接根據(jù)二次根式乘法計算法則求解即可；（3）把根號外面的式子進行乘除法計算，再把根號里面的式子根據(jù)二次根式的乘除法計算法則計算，據(jù)此可得答案；（4）把根號外面的式子進行乘除法計算，再把根號里面的式子根據(jù)二次根式的乘除法計算法則計算，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解：原式==4=2；（2）解：原式==?43（3）解：原式==?=?=?3（4）解：原式=?=?=?=?=?=?n【變式3-1】計算：(1)27×50÷(3)323×【答案】(1)15(2)20(3)?(4)4a【分析】本題考查了二次根式的混合運算（1）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可；（3）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可；（4）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可．【詳解】（1）解：原式=3（2）原式=3×=2×600（3）原式3×(?1（4）原式=4a【變式3-2】計算：(1)23334×【答案】(1)?45(2)?(3)?3【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，（1）根據(jù)二次根式的乘法運算即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式的乘除運算法則即可求出答案．（3）根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：2====?453（2）1====?2（3）6a=?3a=?3a=?3=?3=?3b考點四：最簡二次根式的判斷例4.下列選項中的式子，是最簡二次根式的是（

）A．12 B．243 C．36m D．【答案】D【分析】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．【詳解】A、12B、243=9C、36m=6D、m2故選：D．【變式4-1】下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A．30 B．12 C．13 D．【答案】A【分析】本題考查最簡二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式的定義：“被開方數(shù)中不含有分母，且被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式”進行判斷即可．【詳解】解：∵12=23，13∴30是最簡二次根式，故選：A．【變式4-2】下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A．12 B．0.2 C．7 D．【答案】C【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：A、12B、0.2=C、7是最簡二次根式，符合題意；D、12=2故選：C【變式4-3】請寫出一個正整數(shù)m的值使得2m是最簡二次根式，m=．【答案】1【分析】本題考查的是最簡二次根式的含義，根據(jù)最簡二次根式的定義可得m=1或m=3等，從而可得答案．【詳解】解：∵2m是最簡二次根式，m為正整數(shù)，∴正整數(shù)m的值可以為1或3等，故答案為：1（答案不唯一）．

考點五：化為最簡二次根式,例5.化簡32的結(jié)果是（

）A．52 B．42 C．32【答案】B【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行求解．【詳解】解：32=故選B．【變式5-1】將20化成最簡二次根式為（）A．210 B．45 C．25【答案】C【分析】本題主要考查了化簡二次根式，直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：20=故選：C．【變式5-2】下列各組式子中，化簡后被開方數(shù)相同的一組是（

）A．18與13 B．12與C．27與23 D．45與【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡二次根式，進而即可得到答案．【詳解】A．18=32，B．12=23，C．27=33，與D．45=35，故選C．【變式5-3】將108化成最簡二次根式的結(jié)果為．【答案】6【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化為最簡二次根式，即可求解．【詳解】解：108=故答案為：63

考點六：已知最簡二次根式求參數(shù)例6.12與最簡二次根式m+1是同類二次根式，則m=（

）A．2 B．3 C．6 D．11【答案】A【分析】此題主要考查了同類二次根式，正確把握同類二次根式的定義是解題關(guān)鍵．直接化簡二次根式，進而利用同類二次根式的定義分析得出答案．【詳解】解：∵12=23與最簡二次根式∴m+1=3，解得：m=2．故選：A．【變式6-1】若8和最簡二次根式3m?7是同類二次根式，則m的值為（

）A．m=4 B．m=3 C．m=5 D．m=6【答案】B【分析】把8化成最簡二次根式，由最簡二次根式的含義：被開方數(shù)相同，可得關(guān)于m的方程，解方程即可．【詳解】∵8=22，而最簡二次根式3m?7與∴3m?7=2，解得：m=3；故選：B．【點睛】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．但要注意，要把8化成最簡二次根式．【變式6-2】若最簡二次根式a+2與3a?4是同類二次根式，則a=．【答案】3【分析】本題主要考查的是同類二次根式的定義，由同類二次根式的定義可知a+2=3a?4，從而可求得a的值．【詳解】解：∵最簡二次根式a+2與3a?4是同類二次根式，∴a+2=3a?4，解得：a=3．故答案為：3【變式6-3】若27與最簡二次根式1?a能合并成一項，則a=．【答案】-2【分析】先化簡27，因為它與最簡二次根式1?a能合并成一項，所以它們是同類二次根式，被開方數(shù)相同，列出方程即可得到a的值．【詳解】解：∵27=33，它與最簡二次根式∴1-a=3，∴a=-2，故答案為：-2．【點睛】本題考查了同類二次根式的概念，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式，牢記同類二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．化簡28×17A．2 B．5 C．6 D．3【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次根式的乘法運算法則．利用二次根式的乘法進行計算即可得到答案．【詳解】解：28×故選：A．2．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A．12 B．5 C．4 D．【答案】B【分析】本題考查最簡二次根式的判別．最簡二次根式必須滿足兩個條件：①被開方數(shù)中不能含有分母；②被開方數(shù)不能含有開得盡的因數(shù)或因式．根據(jù)最簡二次根式的定義，依次作出判斷即可．【詳解】解：A．12B．5是最簡二次根式，故該選項正確；C．4被開方數(shù)含有開的盡的因數(shù)4，故該選項錯誤；D．0.8被開方數(shù)含有分母，故該選項錯誤．故選：B．3．化簡20的結(jié)果是（

）A．210 B．25 C．45【答案】B【分析】本題考查化最簡二次根式，掌握化最簡二次根式的方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)20=【詳解】解：20=故選B．4．化簡?42的結(jié)果為（A．2 B．2 C．4 D．?4【答案】C【分析】本題考查了二次根式的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法．根據(jù)乘方可得：?4【詳解】解：?4故選：C．5．下列運算錯誤的是（

）A．?4×?9=6C．33×6【答案】A【分析】本題考查了二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性質(zhì)逐項判斷即可得解，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】