2025年人教版八年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第03講 二次根式的加減（3個知識點+7大考點舉一反三+過關(guān)測試）

第03講二次根式的加減模塊一思維導(dǎo)圖串知識

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測1.理解同類二次根式的定義；2.掌握二次根式的加減法則，會運用法則進(jìn)行二次根式的加減運算；

3．掌握分母有理化，能應(yīng)用運算律及乘法公式熟練地進(jìn)行二次根式的混合運算。知識點1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點3：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）考點一：同類二次根式例1.下列各式中，與2是同類二次根式的是（

）A．24 B．12 C．8 D．4【變式1-1】下列二次根式中，能與3合并的二次根式的是（

）A．18 B．13 C．24 D．【變式1-2】若8能與二次根式a+1合并，則a的值可以為（

）A．1 B．2 C．3 D．11【變式1-3】若12與最簡二次根式m+2可以合并，則m=．考點二：二次根式的加減運算例2.計算：(1)35?【變式2-1】計算32【變式2-2】計算(1)8+32?2；(2)【變式2-3】計算：348考點三：二次根式的混合運算例3.計算：(1)8+322【變式3-1】計算：(1)3(2?【變式3-2】計算(1)945÷35(3)3+【變式3-3】計算：(1)27?12+考點四：分母有理化例4.觀察下列各式的計算過程，尋找規(guī)律：121314利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題．(1)化簡式子1n?1(2)直接寫出式子的值：12+1(3)計算：13+1+【變式4-1】計算25+1的結(jié)果是【變式4-2】閱讀材料：規(guī)定初中考試不能使用計算器后，小明是這樣解決問題的：已知a=12+3他是這樣分析與解的：∵a=1∴a?2=?3，∴(a?2)∴a2?4a=?1請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)若a=12?1(2)化簡：13【變式4-3】小明在解決問題：已知a=12+3∵a=∴請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)填空：111+10=______(2)計算：12(3)若a=110?3考點五：化簡求值例5-1.已知a=13+2(1)求a+b的值；(2)求a2例5-2.先化簡，再求值：2+a2?a+a?22【變式5-1】已知：x=23?1(1)1x+1【變式5-2】先化簡，再求值：a+5a?5【變式5-3】已知，x=13?(1)x+y和xy的值；(2)求x2

考點六：比較二次根式的大小例6.比較大?。?725；3?1212（填“>”或“<【變式6-1】比較大小7?6【變式6-2】比較大小8135【變式6-3】比較大?。?+31

考點七：二次根式的應(yīng)用例7.如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊長方形廣場，廣場長為2108米，寬為298米，廣場中間有兩塊大小相同的長方形綠地（陰影部分），每塊小長方形綠地的長為(213+2)(1)求廣場的周長；(2)除綠地部分，廣場其它部分都要鋪上地磚，已知鋪地磚的費用為50元/平方米，求這個廣場鋪地磚的費用為多少？【變式7-1】已知剎車距離的計算公式為v=16df,v表示車速（單位：kmh），d表示剎車距離（單位：m），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中測得d=16【變式7-2】有一塊矩形木板ABCD，木工甲采用如圖的方式，將木板的長AD增加23cm，寬AB增加73cm，得到一個面積為(1)求矩形木板ABCD的面積；(2)木工乙想從矩形木板ABCD中裁出一個面積為12cm2，寬為62(3)木工丙想從矩形木板ABCD中截出長為2.0cm、寬為1.5【變式7-3】如圖，有一塊矩形木板，木工沿虛線在木板上截出兩個面積分別為18dm2和(1)求原矩形木板的面積；(2)求剩余木料的周長．一、單選題1．下列計算正確的是（

）A．3+22=52C．23×332．最簡二次根式3m+n與324m?2是同類二次根式，則m?n=（A．2 B．1 C．?1 D．33．化簡50?18的結(jié)果為（A．33 B．23 C．224．計算2?12+1A．2+1 B．2?1 C．25．已知m=6+2，n=6?2，則A．6 B．62 C．12 二、填空題6．計算：8?417．已知數(shù)軸上的兩點A、B所對應(yīng)的數(shù)分別是?3和23，那么A、B兩點的距離等于8．若最簡二次根式3a?1與2a+3可以合并，則a的值為．9．如圖，矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，其面積分別為4和16，則圖中陰影部分的面積和為．10．電流通過導(dǎo)線時會產(chǎn)生熱量．電流I（單位：A）、導(dǎo)線電阻R（單位：Ω）、通電時間t（單位：s）與產(chǎn)生的熱量Q（單位：J）滿足：Q=I2Rt．已知導(dǎo)線的電阻5Ω，1min的時間導(dǎo)線產(chǎn)生2400J三、解答題11．計算：(1)8+2712．已知x=3(1)x2(2)113．認(rèn)真閱讀下列解答過程，并解答下列各題：比較15?14與解：1514因為15+所以1即：15(1)試比較6?5與(2)嘗試計算：1

第03講二次根式的加減模塊一思維導(dǎo)圖串知識

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測1.理解同類二次根式的定義；2.掌握二次根式的加減法則，會運用法則進(jìn)行二次根式的加減運算；

3．掌握分母有理化，能應(yīng)用運算律及乘法公式熟練地進(jìn)行二次根式的混合運算。知識點1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點3：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）考點一：同類二次根式例1.下列各式中，與2是同類二次根式的是（

）A．24 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】本題考查了同類二次根式的判定，二次根式的性質(zhì)化簡，掌握二次根式的性質(zhì)化簡，同類二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．同類二次根式是指“幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式”，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)同類二次根式的概念判定即可求解．【詳解】解：A、24=26，與B、12=23，與C、8=22，與D、4=2，與2故選：C．【變式1-1】下列二次根式中，能與3合并的二次根式的是（

）A．18 B．13 C．24 D．【答案】B【分析】本題考查同類二次根式和化簡二次根式為最簡二次根式，先將每個二次根式化為最簡二次根式，判斷是否為3的同類二次根式，即可判斷各選項．【詳解】解：A.18=32，不能與3B.13=33，能與C.24=26，不能與3合并，故該選項不符合題意；D.0.3=3010，不能與故選：B．【變式1-2】若8能與二次根式a+1合并，則a的值可以為（

）A．1 B．2 C．3 D．11【答案】A【分析】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同類二次根式的定義，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：∵8=22，a+1為二次根式，且能夠與∴a+1可以為2，∴a可以是1，故選：A．【變式1-3】若12與最簡二次根式m+2可以合并，則m=．【答案】1【分析】本題考查了最簡二次根式以及同類二次根式，先整理得12=23，因為23與最簡二次根式m+2【詳解】解：依題意，12=2∵23與最簡二次根式m+2∴m+2=3，∴m=1，故答案為：1．考點二：二次根式的加減運算例2.計算：(1)3(2)2【答案】(1)4(2)7【分析】本題考查了二次根式的加減混合運算，掌握二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵；（1）直接合并同類二次根式即可；（2）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式=3=45（2）解：原式==7【變式2-1】計算32【答案】3【分析】本題主要考查實數(shù)的混合運算，原式分別根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)和立方根的定義化簡各項后再合并即可．【詳解】解：32=4=【變式2-2】計算(1)8+32?2；(2)【答案】(1)5(2)14(3)?4?【分析】本題考查了二次根式的加減運算和實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（3）利用乘方的意義、二次根式的性質(zhì)、絕對值的代數(shù)意義以及立方根定義計算即可求出答案．【詳解】（1）解：8=2=52（2）3=6=14（3）?1=?1+3=?4?2【變式2-3】計算：348【答案】7【分析】本題考查的知識點是化為最簡二次根式、二次根式的加減運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的加減運算．先都化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減運算法則進(jìn)行運算即可．【詳解】解：348=123=73考點三：二次根式的混合運算例3.計算：(1)8+322【答案】(1)6?2(2)5【分析】本題考查二次根式的混合運算：（1）先進(jìn)行除法運算，化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先進(jìn)行乘法運算，再合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式=2+4?23（2）原式=3【變式3-1】計算：(1)3(2?【答案】(1)?3(2)11?4【分析】本題考查二次根式的混合運算：（1）先計算二次根式的乘法，化簡二次根式、絕對值，再合并同類二次根式即可；（2）先計算二次根式的乘除，再進(jìn)行二次根式的加減運算．【詳解】（1）解：3==?33（2）解：(3?=9?2×3=9?6=11?42【變式3-2】計算(1)945÷35(3)3+【答案】(1)42(2)32(3)11【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘除進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)二次根式的加減以及零次方冪進(jìn)行計算；（3）根據(jù)平方差公式以及完全平方公式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：原式=9×3=9×=42（2）解：原式=3=32（3）解：原式==3+2=3+2=11【變式3-3】計算：(1)27?12+【答案】(1)4(2)8+4【分析】本題考查了二次根式的混合運算，正確進(jìn)行運算是解題的關(guān)鍵；（1）先化簡各二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）分別用完全平方公式與平方差公式展開，再合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式=3=4（2）解：原式=4+4=4+4=8+43考點四：分母有理化例4.觀察下列各式的計算過程，尋找規(guī)律：121314利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題．(1)化簡式子1n?1(2)直接寫出式子的值：12+1(3)計算：13+1+【答案】(1)n?(2)2023；(3)2n+1?1【分析】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，式子規(guī)律，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干的式子，總結(jié)規(guī)律，即可作答．（2）先運用式子規(guī)律化簡括號內(nèi)，再運算二次根式的乘法運算，即可作答．（3）先把原式的每個項進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行二次根式的加法運算，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，1n?1故答案為：n?（2）解：1====2023．故答案為：2023，（3）解：依題意，1====2n+1【變式4-1】計算25+1的結(jié)果是【答案】5【分析】本題主要考查了分母有理化，分子分母同時乘以5?1【詳解】解：25故答案為：5?1【變式4-2】閱讀材料：規(guī)定初中考試不能使用計算器后，小明是這樣解決問題的：已知a=12+3他是這樣分析與解的：∵a=1∴a?2=?3，∴(a?2)∴a2?4a=?1請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)若a=12?1(2)化簡：13【答案】(1)10(2)5【分析】本題主要考查分母有理化及乘法公式，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）根據(jù)題中所給方法可進(jìn)行求解；（2）先分母有理化，再根據(jù)相互抵消計算．【詳解】（1）解：∵a=1∴a?1=2∴a?12=2，即∴a2∴8a（2）解：原式=====5．【變式4-3】小明在解決問題：已知a=12+3∵a=∴請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)填空：111+10=______(2)計算：12(3)若a=110?3【答案】(1)11?10(2)2020(3)11【分析】本題考查分母有理化，二次根式的混合運算，掌握平方差公式(a+b)(a?b)=a（1）利用平方差公式進(jìn)行二次根式的分母有理化計算即可；（2）把原式分母有理化，再計算即可；（3）由a=110?3【詳解】（1）解：1111(（2）解：1===2021?1=2020．（3）解：∵a===10∴a?3=10∴(a?3)2=10∴a∴a2考點五：化簡求值例5-1.已知a=13+2(1)求a+b的值；(2)求a2【答案】(1)2(2)7【分析】本題考查了二次根式的化簡求值和分母有理化．（1）先根據(jù)分母有理化求出a=3?2，b=（2）由a+b=23，ab=1，將原式整理成a+b【詳解】（1）解：a=3b=3∴a+b=3（2）解：∵ab=3∴a===12?5=7．例5-2.先化簡，再求值：2+a2?a+a?22【答案】?4a+8，4【分析】本題考查的是整式的化簡求值以及實數(shù)運算，根據(jù)平方差公式、完全平方公式的運算法則把原式化簡，把a(bǔ)的值代入計算即可．【詳解】解：2+a=4?=?4a+8，當(dāng)a=2?3時，原式=?4(2?【變式5-1】已知：x=23?1(1)1x+1【答案】(1)3；(2)6．【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，熟練掌握二次根式的混合運算及分母有理化是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)x=23?1，y=（2）先由x=23?1，y=23+1，求得x+y=23【詳解】（1）解：∵x=23?1∴1∴1x（2）解：∵x=23?1∴x+y=3+1+3∴x====6【變式5-2】先化簡，再求值：a+5a?5【答案】4a+9，4【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，先根據(jù)平方差公式、單項式乘以多項式的運算法則把原式化簡，再把a(bǔ)的值代入計算即可，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：a+==4a+9，當(dāng)a=6?2時，原式【變式5-3】已知，x=13?(1)x+y和xy的值；(2)求x2【答案】(1)x+y=23；(2)9【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式．熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先將已知x和y的值進(jìn)行分母有理化，得到x=3+2（2）根據(jù)完全平方公式將原式變?yōu)閤+y2【詳解】（1）解：∵x=1y=1∴x+y=3xy=3（2）解：由（1）可知，x+y=23，xy=1∴===12?3=9．

考點六：比較二次根式的大小例6.比較大?。?725；3?1212（填“>”或“<【答案】<<【分析】本題主要考查了二次根式比較大小，根據(jù)17<20可得第一空答案；根據(jù)3<4=2【詳解】解：∵17<20，∴17<2∵3<∴3?1∴3故答案為：<；<．【變式6-1】比較大小7?6【答案】>【分析】本題主要考查了二次根式比較大小，先根據(jù)分母有理化的方法得到17?6=7+6，122?7【詳解】解：1712∵6<∴7?6>0∴17∴22故答案為：>．【變式6-2】比較大小8135【答案】<【分析】本題主要考查了二次根式比較大小，可求出813+12=【詳解】解：813∵292∴2926∴813故答案為：<．【變式6-3】比較大?。?+31【答案】=【分析】本題考查分母有理化，二次根式的大小比較，掌握相應(yīng)的法則是解題的關(guān)鍵．把12?【詳解】解：1===2+3故答案為：=．考點七：二次根式的應(yīng)用例7.如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊長方形廣場，廣場長為2108米，寬為298米，廣場中間有兩塊大小相同的長方形綠地（陰影部分），每塊小長方形綠地的長為(213+2)(1)求廣場的周長；(2)除綠地部分，廣場其它部分都要鋪上地磚，已知鋪地磚的費用為50元/平方米，求這個廣場鋪地磚的費用為多少？【答案】(1)(243(2)(84006【分析】本題考查二次根式的混合運算的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)長方形的周長公式列式求解即可得到答案；（2）先用大長方形面積減去小長方形的面積，再乘以單價即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得，廣場的周長為：22∴廣場的周長為(243（2）解：鋪地磚的面積為：2108∴這個廣場鋪滿地磚的費用為：1686【變式7-1】已知剎車距離的計算公式為v=16df,v表示車速（單位：kmh），d表示剎車距離（單位：m），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中測得d=16【答案】89.6km【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，把d=16m,f=1.96，代入【詳解】解：v=1616×1.96∵89.6km∴肇事汽車違規(guī)行駛．【變式7-2】有一塊矩形木板ABCD，木工甲采用如圖的方式，將木板的長AD增加23cm，寬AB增加73cm，得到一個面積為(1)求矩形木板ABCD的面積；(2)木工乙想從矩形木板ABCD中裁出一個面積為12cm2，寬為62(3)木工丙想從矩形木板ABCD中截出長為2.0cm、寬為1.5【答案】(1)18(2)4(3)5【分析】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，矩形面積的計算，正方形面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則．（1）先求出正方形的邊長，然后再求出長方形的各邊長，再求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)矩形面積公式列式計算即可；（3）根據(jù)632=3【詳解】（1）解：∵木板的長AD增加23cm，寬AB增加73cm，得到一個面積為∴正方形AEFG的邊長為：192=8∴AD=83?23∴矩形木板ABCD的面積為63（2）解：該矩形木料的長為：12÷6（3）解：∵63又∵5<33∴從矩形木板ABCD中截出長為2.0cm、寬為1.5【變式7-3】如圖，有一塊矩形木板，木工沿虛線在木板上截出兩個面積分別為18dm2和(1)求原矩形木板的面積；(2)求剩余木料的周長．【答案】(1)56(2)8【分析】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)分別求出兩個正方形的邊長，再求出原矩形木板的長為72dm，寬為（2）求出剩余木料的長為32dm，寬為【詳解】（1）解：（1）∵兩個正方形的面積分別為18dm2和∴這兩個正方形的邊長分別為18=32dm∴原矩形木板的長為32+42∴原矩形木板的面積為72（2）解：剩余木料的長為32dm，寬為∴剩余木料的周長為23一、單選題1．下列計算正確的是（

）A．3+22=52C．23×33【答案】C【分析】本題考查二次根式的運算，根據(jù)二次根數(shù)的運算法則，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．3和22B．2和3不是同類二次根式，不能合并，故該選項計算錯誤，不符合題意，C．23D．2÷故選：C．2．最簡二次根式3m+n與324m?2是同類二次根式，則m?n=（A．2 B．1 C．?1 D．3【答案】A【分析】本題考查最簡二次根式和同類二次根式的定義．掌握幾個最簡二次根式的被開方數(shù)相同，這幾個最簡二次根式就叫做同類二次根式是解題關(guān)鍵．根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義可得3m+n=4m?2，即可求解．【詳解】解：∵最簡二次根式3m+n與32∴3m+n=4m?2，∴m?n=2，故選：A．3．化簡50?18的結(jié)果為（A．33 B．23 C．22【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減運算等知識點，掌握二次根式的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后再合并同類二次根式即可．【詳解】解：50?故選C．4．計算2?12+1A．2+1 B．2?1 C．2【答案】A【分析】本題考查二次根式的混合運算，能正確利用平方差公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)積的乘方的逆運算對原式進(jìn)行變形，再利用平方差公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：2====2故選：A．5．已知m=6+2，n=6?2，則A．6 B．62 C．12 【答案】A【分析】此題考查分式的運算及二次根式的計算求值．先求得m+n和mn的值，再通分將原式變形，進(jìn)而整體代入計算得出答案．【詳解】解：∵m=6+2，∴m+n=6+2+6∴1m故選：A．二、填空題6．計算：8?41【答案】0【分析】本題考查了二次根式的化簡和運算．熟練掌握二次根式的性質(zhì)，合并同類二次根式法則，是解決問題的關(guān)鍵．先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】8?4故答案為：0．7．已知數(shù)軸上的兩點A、B所對應(yīng)的數(shù)分別是?3和23，那么A、B兩點的距離等于【答案】3【分析】本題考查了二次根式的減法運用，數(shù)軸上兩點之間的距離，根據(jù)兩點A、B所對應(yīng)的數(shù)分別是?3和23，則A、B兩點的距離等于【詳解】解：依題意，2=2=33故答案為：338．若最簡二次根式3a?1與2a+3可以合并，則a的值為．【答案】4【分析】本題考查了同類二次根式，根據(jù)題意得出二次根式3a?1與2a+3是同類二次根式，根據(jù)被開方數(shù)相等得出3a?1=2a+3，求解即可得解．【詳解】解：∵最簡二次根式3a?1與