【高考解碼】2021屆高三數(shù)學二輪復習(新課標)-攻略三-應(yīng)用題、最值與范圍問題

攻略三應(yīng)用題、最值與范圍問題一、應(yīng)用題應(yīng)用題是歷年高考的?？碱}型，其特點在于用文字表述，具有肯定的問題背景，考查形式機敏多變，是考查同學們的應(yīng)用意識，以及用所學基礎(chǔ)學問分析和解決問題的力量、規(guī)律推理力量、運算力量、數(shù)據(jù)處理力量等各個方面力量的有效載體．1．與函數(shù)、導數(shù)、不等式有關(guān)的應(yīng)用問題對于實際生活中的一些優(yōu)化問題，如成本最低、利潤最大、用料最省等問題，經(jīng)常需要將實際問題抽象為數(shù)學問題，然后化為函數(shù)的最值來解決，而求解函數(shù)最值最有效的方法是導數(shù)法．因此，導數(shù)被廣泛地應(yīng)用于實際活動中的一些優(yōu)化問題的求解過程，成為求解這些優(yōu)化問題的首選．【例1】某企業(yè)擬建筑如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，依據(jù)設(shè)計要求容器的容積為eq\f(80,3)π立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建筑費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建筑費用為3千元，半球形部分每平方米建筑費用為c(c>3)千元．設(shè)該容器的建筑費用為y千元．(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建筑費用最小時的r.【解】(1)設(shè)容器的容積為V，由題意知V＝πr2l＋eq\f(4,3)πr3，又V＝eq\f(80π,3)，故l＝eq\f(V－\f(4,3)πr3,πr2)＝eq\f(80,3r2)－eq\f(4,3)r＝eq\f(4,3)(eq\f(20,r2)－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建筑費用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×eq\f(4,3)(eq\f(20,r2)－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋eq\f(160π,r)，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－eq\f(160π,r2)＝eq\f(8πc－2,r2)(r3－eq\f(20,c－2))，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.當r3－eq\f(20,c－2)＝0時，r＝eq\r(3,\f(20,c－2)).令eq\r(3,\f(20,c－2))＝m，則m>0，所以y′＝eq\f(8πc－2,r2)(r－m)(r2＋rm＋m2)．①當0<m<2，即c>eq\f(9,2)時，當r＝m時，y′＝0；當r∈(0，m)時，y′<0；當r∈(m,2)時，y′>0，所以r＝m是函數(shù)y的微小值點，也是最小值點．②當m≥2，即3<c≤eq\f(9,2)時，當r∈(0,2)時，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r＝2是函數(shù)y的最小值點．綜上所述，當3<c≤eq\f(9,2)時，建筑費用最小時r＝2；當c>eq\f(9,2)時，建筑費用最小時r＝eq\r(3,\f(20,c－2)).2．與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題現(xiàn)實生活中涉及到銀行利率、分期付款、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、工作效率等實際問題，經(jīng)?？紤]用數(shù)列學問加以解決．能夠把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題，并且能夠明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，確定首項，公差(比)，項數(shù)各是什么，能分清是某一項還是某些項的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【例2】(2022·福建廈門質(zhì)檢)在一次聘請會上，應(yīng)聘者小李被甲、乙兩家公司同時意向錄用．甲公司給出的工資標準：第一年的年薪為4.2萬元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司給出的工資標準：第一年的年薪為4.8萬元，以后每年的年薪比上一年增加8%.(1)若小李在乙公司連續(xù)工作5年，則他在第5年的年薪是多少萬元？(2)為了吸引小李的加盟，乙公司打算在原有工資的基礎(chǔ)上每年固定增加交通補貼7200元那么小李在甲公司至少要連續(xù)工作幾年，他的工資總收入才不低于在乙公司工作10年的總收入？(參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.4,1.085≈1.5,1.0810≈2.2，1.0811≈2.3)【解】(1)依題意設(shè)小李在乙公司工作第n年的年薪為bn萬元．則{bn}是等比數(shù)列，b5＝4.8×(1＋8%)4＝6.72.答：小李在乙公司連續(xù)工作5年，他在第5年的年薪為6.72萬元．(2)小李在乙公司連續(xù)工作10年，總收入為(b1＋b2＋…＋b10)＋7.2＝72＋7.2＝79.2(萬元)．設(shè)小李在甲公司工作第n年的年薪為an萬元，則{an}是以4.2為首項，公差為0.6的等差數(shù)列．若小李在甲公司連續(xù)工作n年，工資總收入為Sn＝4.2n＋0.3(n－1)n＝0.3n2＋3.9n，依題意得Sn≥79.2，即n2＋13n≥264，(n－11)(n＋24)≥0，n≤－24(舍去)或n≥11.答：小李在甲公司至少要連續(xù)工作11年，他的工資總收入才不低于在乙公司工作10年的總收入．(文)3.與統(tǒng)計、概率有關(guān)的應(yīng)用題概率與統(tǒng)計以其獨特的爭辯對象和爭辯方法在高中數(shù)學中占有特殊地位，是高考中的重要內(nèi)容，不論是思維方法還是解題技巧，與其他部分都有很大的不同，它們是進一步學習數(shù)理統(tǒng)計等高等數(shù)學的基礎(chǔ)．縱觀多年考情可發(fā)覺，概率與統(tǒng)計的解答題在歷年的高考中?？汲Ｐ拢}體現(xiàn)學問交匯，留意力量立意，強調(diào)思維空間，是考查的亮點和生長點．從考查學問點看，主要考查隨機大事的概率、古典概型、幾何概型、抽樣方法、用樣本估量總體、回歸分析(以上為重點考查內(nèi)容)，各省市每年必出一道解答題，屬中檔題．【例3】(2022·廣東深圳調(diào)研)某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機抽查了某市200名網(wǎng)友在2021年11月11日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)如下圖(1)：網(wǎng)購金額(單位：千元)頻數(shù)頻率[0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08(5,6]140.07合計2001.00圖(1)圖(2)已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰好為3∶2.(1)試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖(如圖(2))；(2)營銷部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗，在這200名網(wǎng)友中，用分層抽樣方法從網(wǎng)購金額在(1,2]和(4,5]的兩個群體中抽取5人進行問卷調(diào)查．若需從這5人中隨機選取2人連續(xù)訪談，則此2人來自不同群體的概率是多少？【解】(1)依據(jù)題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋24＋x＋y＋16＋14＝200，,\f(16＋24＋x,y＋16＋14)＝\f(3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝80，,y＝50.))∴p＝0.4，q＝0.25.補全頻率分布直方圖如圖所示．(2)依據(jù)題意，“網(wǎng)購金額在(1,2]”的群體中應(yīng)抽取eq\f(24,24＋16)×5＝3人，記為a，b，c，“網(wǎng)購金額在(4,5]”的群體中應(yīng)抽取eq\f(16,24＋16)×5＝2人，記為A，B.在此5人中隨機選取2人，有以下可能狀況：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10種狀況：設(shè)“此2人來自不同群體”為大事M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6種可能，∴P(M)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，即此2人來自不同群體的概率是eq\f(3,5).(理)3.與概率、分布列、期望有關(guān)的應(yīng)用題概率與分布列、期望以其獨特的爭辯對象和爭辯方法在高中數(shù)學中占有特殊地位，是高考中的重要內(nèi)容，不論是思維方法還是解題技巧，與其他部分都有很大的不同，它們是進一步學習數(shù)理統(tǒng)計等高等數(shù)學的基礎(chǔ)．縱觀多年考情可發(fā)覺，概率與分布列、期望的解答題在歷年的高考中?？汲Ｐ?，命題體現(xiàn)學問交匯、留意力量立意，強調(diào)思維空間，是考查的亮點和生長點，從考查學問點看，主要考查古典與幾何概型，互斥大事與相互獨立大事、離散型隨機變量的分布列、期望與方差、二項分布與獨立重復試驗等，各省市每年必出一道解答題，屬中檔題，考查數(shù)據(jù)處理力量和應(yīng)用意識．【例3】(2022·福建高考)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行嘉獎，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的嘉獎額．(Ⅰ)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：(ⅰ)顧客所獲的嘉獎額為60元的概率；(ⅱ)顧客所獲的嘉獎額的分布列及數(shù)學期望；(Ⅱ)商場對嘉獎總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的嘉獎總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的嘉獎額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由．【解】(Ⅰ)設(shè)顧客所獲的嘉獎額為X.(ⅰ)依題意，得P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的嘉獎額為60元的概率為eq\f(1,2).(ⅱ)依題意，得X的全部可能取值為20,60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即X的分布列為X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顧客所獲的嘉獎額的期望為E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元)．(Ⅱ)依據(jù)商場的預算，每個顧客的平均嘉獎額為60元．所以，先查找期望為60元的可能方案．對于面值由10元和50元組成的狀況，假如選擇(10,10,10,50)的方案，由于60元是面值之和的最大值，所以期望不行能為60元；假如選擇(50,50,50,10)的方案，由于60元是面值之和的最小值，所以期望也不行能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的狀況，同理可排解(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的嘉獎額為X1，則X1的分布列為X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的期望為E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60，X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的嘉獎額為X2，則X2的分布列為X2406080Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X2的期望為E(X2)＝40×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋80×eq\f(1,6)＝60，X2的方差為D(X2)＝(40－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(80－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(400,3).由于兩種方案的嘉獎額的期望都符合要求，但方案2嘉獎額的方差比方案1的小，所以應(yīng)當選擇方案2.二、最值與范圍問題最值與范圍問題是高考命題的重點與熱點，涉及到高中數(shù)學的全部主干學問，尤其是在函數(shù)與導數(shù)、解析幾何等中情有獨鐘，特殊關(guān)愛命制試題，以此考查同學的數(shù)學思想與方法及分析問題解決問題的力量．1．與函數(shù)、導數(shù)有關(guān)的最值與范圍問題在函數(shù)與導數(shù)中，不少問題需轉(zhuǎn)化為最值與范圍有關(guān)的問題，如恒成立問題、不等式問題、方程的根與函數(shù)的零點問題等，從而構(gòu)成了各省市高考數(shù)學試題中的主流方向．【例4】(2022·山東德州一模)已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x.(1)若函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3)若a＝－eq\f(1,2)時，關(guān)于x的方程f(x)＝－eq\f(1,2)x＋b在[1,4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．【解】(1)f′(x)＝－eq\f(ax2＋2x－1,x)(x>0)∵x＝2時f(x)取得極值．∴f′(x)＝0，解得a＝－eq\f(3,4)，經(jīng)檢驗符合題意．(2)依題意f′(x)≥0在x>0時恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0時恒成立．則a≤eq\f(1－2x,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1在x>0時恒成立，即a≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1))min(x>0)．當x＝1時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1取最小值－1.∴a的取值范圍是(－∞，－1]．(3)a＝－eq\f(1,2)，f(x)＝－eq\f(1,2)x＋b?eq\f(1,4)x2－eq\f(3,2)x＋lnx－b＝0.設(shè)g(x)＝eq\f(1,4)x2－eq\f(3,2)x＋lnx－b(x>0)．則g′(x)＝eq\f(x－2x－1,2x).列表：x(0,1)1(1,2)2(2,4)g′(x)＋0－0＋g(x)極大值微小值∴g(x)min＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)max＝g(1)＝－b－eq\f(5,4)，g(4)＝2ln2－b－2.∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1≥0，,g2<0，,g4≥0，))得ln2－2<b≤－eq\f(5,4).∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(ln2－2，－\f(5,4))).2．與圓錐曲線有關(guān)的最值與范圍問題通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題．這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何學問，建立目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式學問，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決．解題時要留意函數(shù)思想的運用，要留意觀看、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來．解決圓錐曲線的最值與范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數(shù)法．若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法．在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．留意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍．【例5】如圖，已知橢圓C的離心率為eq\f(\r(3),2)，A，B，F(xiàn)分別為橢圓的右頂點、上頂點、右焦點，且S△ABF＝1－eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線l：y＝kx＋m被圓O：x2＋y2＝4所截得的弦長為2eq\r(3)，若直線l與橢圓C交于M，N兩點，求△OMN面積的最大值．【解】(1)由已知橢圓C的焦點在x軸上，設(shè)其方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則A(a,0)，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)(c＝eq\r(a2－b2))．由已知可得e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以a2＝4b2，即a＝2b，①故c＝eq\r(3)b.②S△AFB＝eq\f(1,2)×|AF|×|OB|＝eq\f(1,2)(a－c)b＝1－eq\f(\r(3),2).③把①②代入③，得eq\f(1,2)(2b－eq\r(3)b)b＝1－eq\f(\r(3),2)，解得b＝1，故a＝2，c＝eq\r(3)，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)圓O的圓心為坐標原點，半徑為2，由于l被圓O所截得的弦長為2eq\r(3)，所以圓心O到直線l的距離為d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，即eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝1，故有m2＝1＋k2.④由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))消去y得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋k2))x2＋2kmx＋m2－1＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1＋x2＝－eq\f(2km,\f(1,4)＋k2)＝－eq\f(8km,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(m2－1,\f(1,4)＋k2)＝eq\f(4m2－4,4k2＋1).所