【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2021年高考數(shù)學(xué)(四川專用-理)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破：第2篇-第7講-函數(shù)的圖象

第7講函數(shù)的圖象[最新考綱]1．在實(shí)際情境中，會(huì)依據(jù)不同的需要選擇圖象法、列表法、解析法表示函數(shù)．2．會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和爭(zhēng)辯函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式的解的問(wèn)題.知識(shí)梳理1．函數(shù)的圖象及作法2．圖象變換(1)平移變換(2)對(duì)稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)；④y＝ax(a＞0且a≠1)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于y＝x對(duì)稱))y＝logax(a＞0且a≠1)．(3)翻折變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(保留x軸上方圖象),\s\do13(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do13(關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象))y＝f(|x|)．(4)伸縮變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)a＞1或縮短0＜a＜1為原來(lái)),\s\do13(的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝af(x)(a＞0)②y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)0＜a＜1或縮短a＞1為原來(lái)),\s\do13(的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變))y＝f(ax)(a＞0)辨析感悟1．圖象變換問(wèn)題(1)為了得到函數(shù)y＝lgeq\f(x＋3,10)的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上全部的點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度．(√)(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(×)(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)(4)函數(shù)y＝2|x－1|的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(√)(5)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象．(×)2．圖象應(yīng)用問(wèn)題(6)(2021·漢中模擬改編)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)根． (√)(7)(2021·洛陽(yáng)調(diào)研改編)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(c,b)))所在的象限為其次象限． (√)

[感悟·提升]三個(gè)防范一是函數(shù)圖象中左、右平移變換可記口訣為“左加右減”，但要留意加、減指的是自變量，如(5)；二是留意含確定值符號(hào)的函數(shù)的對(duì)稱性，如y＝f(|x|)與y＝|f(x)|的圖象是不同的，如(3)；三是混淆條件“f(x＋1)＝f(x－1)”與“f(x＋1)＝f(1－x)”的區(qū)分，前者告知周期為2，后者告知圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，如(2).同學(xué)用書(shū)第28頁(yè)

考點(diǎn)一函數(shù)圖象的辨識(shí)【例1】(2021·山東卷)函數(shù)y＝xcosx＋sinx的圖象大致為()．解析函數(shù)y＝xcosx＋sinx在x＝π時(shí)為負(fù)，排解A；易知函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排解B；再比較C，D，不難發(fā)覺(jué)當(dāng)x取接近于0的正數(shù)時(shí)y>0，排解C.答案D規(guī)律方法函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排解不合要求的圖象．利用上述方法排解、篩選選項(xiàng)．【訓(xùn)練1】(1)(2022·濰坊模擬)函數(shù)y＝xsinx在[－π，π]上的圖象是()．(2)函數(shù)y＝x＋cosx的大致圖象是()．解析(1)簡(jiǎn)潔推斷函數(shù)y＝xsinx為偶函數(shù)，可排解D.當(dāng)0＜x＜eq\f(π,2)時(shí)，y＝xsinx＞0，當(dāng)x＝π時(shí)，y＝0，可排解B，C，故選A.(2)∵y′＝1－sinx≥0，∴函數(shù)y＝x＋cosx為增函數(shù)，排解C.又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，排解A，當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝eq\f(π,2)，排解D，故選B.答案(1)A(2)B考點(diǎn)二函數(shù)圖象的變換【例2】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1，,log\f(1,3)xx＞1，))則y＝f(1－x)的圖象是()．解析畫(huà)出y＝f(x)的圖象，再作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，再將所得圖象向右平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的圖象．答案C規(guī)律方法作圖象平移時(shí)，要留意不要弄錯(cuò)平移的方向，必要時(shí)，取特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證；平移變換只轉(zhuǎn)變圖象的位置，不轉(zhuǎn)變圖象的外形．【訓(xùn)練2】(2021·江南十校聯(lián)考)函數(shù)y＝log2(|x|＋1)的圖象大致是()．解析當(dāng)x＞0時(shí)，y＝log2(x＋1)，先畫(huà)出y＝log2x的圖象，再將圖象向左平移1個(gè)單位，最終作出關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，得與之相符的圖象為B.答案B考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用【例3】(1)已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lgx|的圖象的交點(diǎn)共有()．A．10個(gè)B．9個(gè)C．8個(gè)D．1個(gè)(2)直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．審題路線(1)畫(huà)出x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2的圖象?依據(jù)周期為2畫(huà)出x∈(1，＋∞)時(shí)的函數(shù)圖象?畫(huà)出函數(shù)y＝|lgx|的圖象eq\o(→,\s\up14(留意x＝10時(shí)的情形))觀看圖象，得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解析(1)依據(jù)f(x)的性質(zhì)及f(x)在[－1,1]上的解析式可作圖如下可驗(yàn)證當(dāng)x＝10時(shí)，y＝|lg10|＝1；x>10時(shí)，|lgx|>1.因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點(diǎn)知y＝f(x)與y＝|lgx|的圖象交點(diǎn)共有10個(gè)．(2)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋a，x≥0，,x2＋x＋a，x＜0，))作出圖象，如圖所示．此曲線與y軸交于(0，a)點(diǎn)，最小值為a－eq\f(1,4)，要使y＝1與其有四個(gè)交點(diǎn)，只需a－eq\f(1,4)＜1＜a，∴1＜a＜eq\f(5,4).答案(1)A(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))規(guī)律方法(1)利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問(wèn)題，如推斷方程是否有解，有多少個(gè)解．?dāng)?shù)形結(jié)合是常用的思想方法．(2)利用圖象，可觀看函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、定義域、值域、最值等性質(zhì).同學(xué)用書(shū)第29頁(yè)【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個(gè)不相等的實(shí)根}．解f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞，,－x－22＋1，x∈1，3，))作出函數(shù)圖象如圖．(1)函數(shù)的增區(qū)間為[1,2]，[3，＋∞)；函數(shù)的減區(qū)間為(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐標(biāo)系中作出y＝f(x)和y＝m的圖象，使兩函數(shù)圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖)．由圖知0＜m＜1，∴M＝{m|0＜m＜1}．1．把握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來(lái)掛念我們簡(jiǎn)化作圖過(guò)程．2．識(shí)圖的要點(diǎn)：重點(diǎn)依據(jù)圖象看函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)(與x、y軸的交點(diǎn)，最高、最低點(diǎn)等)．3．識(shí)圖的方法(1)定性分析法：對(duì)函數(shù)進(jìn)行定性分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決；(2)定量計(jì)算法：通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決；(3)排解法：利用本身的性能或特殊點(diǎn)進(jìn)行排解驗(yàn)證．4．爭(zhēng)辯函數(shù)性質(zhì)時(shí)一般要借助于函數(shù)圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想；5．方程解的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為兩生疏的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決．思想方法2——利用數(shù)形結(jié)合思想求參數(shù)的范圍【典例】已知不等式x2－logax＜0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解由x2－logax＜0，得x2＜logax.設(shè)f(x)＝x2，g(x)＝logax.由題意知，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方，如圖，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2≤loga\f(1,2)，))解得eq\f(1,16)≤a＜1.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).[反思感悟](1)“以形助數(shù)”是已知兩圖象交點(diǎn)問(wèn)題求參數(shù)范圍常用到的方法，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于精確?????作出不含參數(shù)的函數(shù)的圖象，并標(biāo)清一些關(guān)鍵點(diǎn)，對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)圖象要留意結(jié)合條件去作出符合題意的圖形．(2)當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．【自主體驗(yàn)】(2022·黃岡調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析如圖，要使f(x)≥g(x)恒成立，則－a≤1，∴a≥－1.答案[－1，＋∞)

對(duì)應(yīng)同學(xué)用書(shū)P239基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(2021·青島一模)函數(shù)y＝21－x的大致圖象為()．解析y＝21－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，由于0＜eq\f(1,2)＜1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1為減函數(shù)，取x＝0時(shí)，則y＝2，故選A.答案A2．(2021·福建卷)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是()．解析函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，又由于f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)且f(0)＝ln1＝0，綜上選A.答案A3．(2022·日照一模)函數(shù)f(x)＝lg(|x|－1)的大致圖象是()．解析易知f(x)為偶函數(shù)，故只考慮x＞0時(shí)f(x)＝lg(x－1)的圖象，將函數(shù)y＝lgx圖象向x軸正方向平移一個(gè)單位得到f(x)＝lg(x－1)的圖象，再依據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到f(x)的圖象．答案B4．(2021·東營(yíng)模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的大致圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的解析式可以為()．A．f(x)＝exlnxB．f(x)＝e－xln(|x|)C．f(x)＝exln(|x|)D．f(x)＝e|x|ln(|x|)解析如題圖，函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，排解選項(xiàng)A，當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→0，排解選項(xiàng)B，D，因此選C.答案C5．已知函數(shù)f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，f(2011)·g(－2012)<0，則y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是()．解析由f(2011)·g(－2012)<0，知0<a<1，依據(jù)函數(shù)g(x)＝loga|x|(0<a<1)的圖象和函數(shù)f(x)＝ax－2(0<a<1)的圖象，知選項(xiàng)B正確．答案B二、填空題6．函數(shù)y＝(x－1)3＋1的圖象的對(duì)稱中心是________．解析y＝x3的圖象的對(duì)稱中心是(0,0)，將y＝x3的圖象向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，即得y＝(x－1)3＋1的圖象，所以對(duì)稱中心為(1,1)．答案(1,1)7．若方程|ax|＝x＋a(a>0)有兩個(gè)解，則a的取值范圍是________．解析畫(huà)出y＝|ax|與y＝x＋a的圖象，如圖．只需a>1.答案(1，＋∞)8．(2021·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx＞0，,2xx≤0，))且關(guān)于x的方程f(x)－a＝0有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的范圍是________．解析當(dāng)x≤0時(shí)，0＜2x≤1，所以由圖象可知要使方程f(x)－a＝0有兩個(gè)實(shí)根，即f(x)＝a有兩個(gè)交點(diǎn)，所以由圖象可知0＜a≤1.答案(0,1]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,1＋x).(1)畫(huà)出f(x)的草圖；(2)指出f(x)的單調(diào)區(qū)間．

解(1)f(x)＝eq\f(x,1＋x)＝1－eq\f(1,x＋1)，函數(shù)f(x)的圖象是由反比例函數(shù)y＝－eq\f(1,x)的圖象向左平移1個(gè)單位后，再向上平移1個(gè)單位得到，圖象如圖所示．(2)由圖象可以看出，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的圖象為C1，C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)對(duì)稱的圖象為C2，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直線y＝m與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值和交點(diǎn)坐標(biāo)．解(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是C2上的任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋eq\f(1,x)，可得2－y＝4－x＋eq\f(1,4－x)，即y＝x－2＋eq\f(1,x－4)，∴g(x)＝x－2＋eq\f(1,x－4).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝m，,y＝x－2＋\f(1,x－4)，))消去y得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝[－(m＋6)]2－4(4m＋9)，∵直線y＝m與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.當(dāng)m＝0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)合理，交點(diǎn)為(3,0)；當(dāng)m＝4時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)合理，交點(diǎn)為(5,4)．力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．(2022·濟(jì)南4月模擬)函數(shù)y＝x2＋eq\f(ln|x|,x)的圖象大致為()．解析由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))f(1)＜0，故由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))上存在零點(diǎn)，故排解A，D選項(xiàng)，又當(dāng)x＜0，f(x)＝x2＋eq\f(ln－x,x)，而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)))＝eq\f(1,e2)＋e＞0，排解B，故選C.答案C2．函數(shù)f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數(shù)，其在[0,4]上的圖象如圖所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為()．A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(π,2)＜x＜－1))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1＜x＜\f(π,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(π,2)＜x＜－1，或1＜x＜\f(π,2)))D．{x|－1＜x＜1}解析當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，cosx>0，f(x)>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))時(shí)，cosx>0，f(x)<0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))時(shí)，cosx<0，f(x)<0，當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，cosx＞0，f(x)＞0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))時(shí)，cosx＞0，f(x)＜0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(π,2)))時(shí)，cosx＜0，f(x)＜0.故不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(