【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版選修2-1)單元質(zhì)量評(píng)估3

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評(píng)估(三)第三章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列說法中不正確的是()A.平面α的法向量垂直于與平面α共面的全部向量B.一個(gè)平面的全部法向量相互平行C.假如兩個(gè)平面的法向量垂直,那么這兩個(gè)平面也垂直D.假如a,b與平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一個(gè)法向量【解析】選D.只有當(dāng)a,b不共線且a∥α,b∥α?xí)r,D才正確.2.同時(shí)垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的單位向量是()A.1B.-C.1D.13,-【解析】選D.設(shè)所求向量為c=(x,y,z),由c·a=0及c·b=0及|c|=1得2x+2y+z=0,3.(2022·金華高二檢測(cè))已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,則實(shí)數(shù)λ等于()A.627 B.637 C.607【解析】選D.易得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以7=2t-μ,5=-t+4μ,λ=3t-2μ,4.(2022·銀川高二檢測(cè))已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,則以下等式中可能不成立的是()A.DA→·PB→=0 B.C.PD→·AB→=0 D.【解析】選B.選項(xiàng)A,DA⊥ABDA⊥PA?DA?DA⊥PB?DA→·PB→=0;由A可知選項(xiàng)D,PA⊥平面ABCD?PA⊥CD?PA→·選項(xiàng)B,若BD→·PC又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不愿定有BD⊥AC,故B不愿定成立.5.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且a∥b,則向量a+b與a-b的夾角是() A.90° B.60° C.30° D.0°【解析】選A.由于|a|2=2,|b|2=2,(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故選A.【變式訓(xùn)練】已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則AC→與AA.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.AB→=(0,3,3),AC→=(-1,1,0).設(shè)<AB→,AC→>=θ,則cosθ=AB6.(2022·長春高二檢測(cè))已知向量e1,e2,e3是兩兩垂直的單位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,則(6a)·QUOTE12b等于()A.15 B.3 C.-3 【解析】選B.(6a)·QUOTE12b=3a·b=3(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.7.已知正方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)F是側(cè)面CDD′C′的中心,若AF→=AD→+xAA.0 B.1 C.12 【解析】選A.如圖所示,AF→=AD→所以DF→=xAB所以12DC'→=xA由于12AB'→=12AB→+所以x=y=128.(2022·安慶高二檢測(cè))如圖,將邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角,若點(diǎn)P滿足BP→=12BA→-12BC→A.32 B.2 C.10-24【解析】選D.過點(diǎn)C作CE垂直于BD,垂足為E,連接AE,則得AC=1,故三角形ABC為正三角形.|BP→|2=12BA→-12BC→+BD→2=14BA→2+14BC→2+BD→2-12BA→·B=52-14=9.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是線段AB上一點(diǎn),且ACAB=1A.72,-12,C.103,-1,73【解析】選C.由題意知,2AC→=設(shè)C(x,y,z),則2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),即2x-8=2-x,2y-2=-5-y,即C10310.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AC邊上的高BD的長等于()A.3 B.4 C.5【解析】選C.設(shè)D(x,y,z),則AD→=(x-1,y+1,z-2),BD→由于AD→∥AC→,且所以x解得x所以|BD【一題多解】設(shè)AD→=λ則(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),所以x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.所以BD→=(-4,4λ+5,-3又AC→=(0,4,-3),AC所以4(4λ+5)-3(-3λ)=0,所以λ=-45所以BD→=所以|BD→|=11.(2022·綿陽高二檢測(cè))如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn),則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為A.12 B.22 C.13【解析】選C如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).從而D1E→=(1,1,-1),A設(shè)平面ACD1的法向量為n=(a,b,c),則QUOTEn·AC→=0,n·AD得a=2b,a=c.令a=2,則所以點(diǎn)E到平面ACD1的距離為d=QUOTE|D1E→·n||n|=2+1-212.(2022·荊州高二檢測(cè))如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F且EF=22A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.異面直線AE,BF所成的角為定值【解析】選D.由于AC⊥平面BB1D1D,又BE?平面BB1D1D.所以AC⊥BE,故A正確.由于B1D1∥平面ABCD,又E,F在直線D1B1上運(yùn)動(dòng),所以EF∥平面ABCD,故B正確.C中由于點(diǎn)B到直線B1D1的距離不變,故△BEF的面積為定值,又點(diǎn)A到平面BEF的距離為22故VA-BEF為定值.①當(dāng)點(diǎn)E在D1處,點(diǎn)F為D1B1的中點(diǎn)時(shí),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F12所以AE→=(0,-1,1),BF所以AE→·BF又|AE→|=2,|BF所以cos<AE→,BF→>=AE所以此時(shí)異面直線AE與BF成30°角.②當(dāng)點(diǎn)E為D1B1的中點(diǎn),點(diǎn)F在B1處時(shí),此時(shí)E12所以AE→=-1所以AE→·|AE→|=-1所以cos<AE→,BF→>=AE→·二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13.已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a,則<A'B→,B'D'【解析】B'D'→=BD→,由于所以<A'B→,BD→>=120°,即<A'B答案:120°14.已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1邊長為1,下底面ABCD邊長為2,側(cè)棱與底面所成的角為60°,則異面直線AD1與B1C【解析】設(shè)上、下底面中心分別為O1,O,則OO1⊥平面ABCD,以O(shè)為原點(diǎn),直線BD,AC,OO1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=22,A1C1=B1D1=2由于平面BDD1B1⊥平面ABCD,所以∠B1BO為側(cè)棱與底面所成的角,所以∠B1BO=60°,設(shè)棱臺(tái)高為h,則tan60°=h2所以h=62所以A(0,-2,0),D1-2B122,0,6所以AD1→B1C→所以cos<AD1→,B1C故異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為1答案:1【變式訓(xùn)練】如圖所示,在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn),則異面直線D1E與AC所成角的余弦值是【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(4,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,4),E(0,4,2),AC→=(-4,4,0),cos<AC→,D1E→所以異面直線D1E與AC所成角的余弦值為105答案:1015.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為棱長為1的正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,點(diǎn)D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1C1C所成的角為α,則sin【解題指南】建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AA1C1C的一個(gè)法向量n和AD→,計(jì)算cos<n【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,易求點(diǎn)D32,12,1,平面AA1C1C的一個(gè)法向量n=(1,0,0),所以cos<n,AD→答案:616.給出命題:①在□ABCD中,AB→+AD→=AC→;②在△ABC中,若AB→·AC→>0,則△ABC是銳角三角形;③在梯形ABCD中,E,F分別是兩腰BC,DA的中點(diǎn),則FE→=12(AB→【解析】①滿足向量運(yùn)算的平行四邊形法則,①正確;AB→·AC→=|AB→|·|AC→|·cosA>0?∠A<90°,但∠B,∠C無法確定,所以△ABC是否是銳角三角形無法確定,②錯(cuò)誤;③符合梯形中位線的性質(zhì),正確;④如圖,DC→=DA→+AC→,DC→+AB則FE→=12(A答案:①③④三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)如圖,正方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心,用向量DA→,DC→,DD'【解析】BD'→=DD'→-DB→=-AE→=AA'→+A=DD'→+12AC→=DD'→=-12DA→+118.(12分)(2022·福州高二檢測(cè))如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面PAD.(2)平面PMC⊥平面PDC.【證明】如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PA=AD=a,AB=b.(1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).由于M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),所以Mb2,0,0,N所以MN→=0,a2所以MN→=12又由于MN?平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)可知:P(0,0,a),C(b,a,0),Mb2所以PC→=(b,a,-a),PM→=設(shè)平面PMC的法向量為n1=(x1,y1,z1),則QUOTEn1·PC→=0?bx1令z1=b,則n1=(2a,-b,b).設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則QUOTEn2·PC→=0?b所以x令z2=1,則n2=(0,1,1).由于n1·n2=0-b+b=0,所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC.【學(xué)問拓展】用向量證明線面平行的主要方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量.(3)利用共面對(duì)量定理,在平面內(nèi)找到兩不共線向量把直線的方向向量線性表示出來.19.(12分)如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1∠C1CD=∠BCD=60°.當(dāng)CDCC1的值等于多少時(shí),能使A1【解析】不妨設(shè)CDCC1=x,CC1=1,A1則A1C⊥C1B,A1C⊥C而C1D→=C1C→+CD→,A1C→=A由A1C→·C1D→=0,得(AD→+DC→+C1C→)·(C1C留意到C1C→·AD→+CD→·AD→=x因此,當(dāng)CDCC1=1時(shí),能使A120.(12分)(2021·上海高考)如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1,證明直線BC′平行于平面D′AC,并求直線BC′到平面D′AC的距離.【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C′(0,2,0),D′(0,0,0).則D'A→=(1,0,1),設(shè)平面D′AC的法向量n=(u,v,w),由n⊥D'A→,n⊥所以n·D'A→=0,n·D解得u=2v,w=-2v,取v=1,得平面D′AC的一個(gè)法向量n=(2,1,-2).由于BC'所以n·BC'→=0,所以n⊥又BC′不在平面D′AC內(nèi),所以直線BC′與平面D′AC平行.由CB→=(1,0,0),得點(diǎn)B到平面D′AC的距離d=QUOTE|n·CB→||n|=|2×1+1×0+(-2)×0|22+1221.(12分)(2022·廣東高考)四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點(diǎn)F,FE∥CD,交PD于點(diǎn)E.(1)證明:CF⊥平面ADF.(2)求二面角D-AF-E的余弦值.【解題指南】(1)接受幾何法較為便利,證AD⊥平面PCD?CF⊥AD,又CF⊥AF?CF⊥平面ADF.(2)接受向量法較為便利,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=2,計(jì)算出DE,EF的值,得到A,C,E,F的坐標(biāo),留意到FC【解析】(1)由于四邊形ABCD為正方形,所以AD⊥DC.又PD⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PD⊥AD,DC∩PD=D,所以AD⊥平面PCD.又CF?平面PCD,所以CF⊥AD,而AF⊥PC,即AF⊥FC,又AD∩AF=A,所以CF⊥平面ADF.(2)以D為原點(diǎn),DP,DC,DA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=2,由(1)知PC⊥DF,即∠CDF=∠DPC=30°,有FC=12DC=1,DF=3FC=3DE=12DF=32,EF=3DE=則D(0,0,0),E32,0,0,FEF→=0,32FC→=設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),由QUOTEEF→·n=0,EA→·n=0取x=4,有y=0,z=3,n=(4,0,3),又平面ADF的一個(gè)法向量FC→=所以cos<n,FC→>=QUOTEn·FC→nFC→=所以二面角D-AF-E的余弦值為257【變式訓(xùn)練】(2022·北京高二檢測(cè))如圖,四邊形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G,H分別為PB,EB,PC的中點(diǎn).(1)求證:FG∥平面PED.(2)求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小.(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M,使直線FM與直線PA所成的角為60°?若存在,求出線段PM的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)由于F,G分別為PB,BE的中點(diǎn),所以FG∥PE.又FG?平面PED,PE?平面PED,所以FG∥平面PED.(2)由于EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.又由于四邊形ABCD是正方形,所以AD⊥CD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,由于AD=PD=2EA=2,所以D0,0,0,P0,0,2,A2,0,0B2,2,0由于F,G,H分別為PB,EB,PC的中點(diǎn),所以F1,1,1,G2所以GF→=-1,0,12設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面FGH的一個(gè)法向量,則QUOTEn1·GF→=0,n1再令y1=1,得n1=(0,1,0).PB→=(2,2,-2),設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面PBC的一個(gè)法向量,