《高考導航》2022屆新課標數(shù)學(理)一輪復習講義-第十章-第1講-隨機抽樣

2022高考導航學問點考綱下載隨機抽樣1.理解隨機抽樣的必要性和重要性．2．會利用簡潔隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法．用樣本估量總體1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點．2．理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算標準差．3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并給出合理的解釋．4．會用樣本的頻率分布估量總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估量總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估量總體的思想．5．會用隨機抽樣的基本方法和樣本估量總體的思想解決一些簡潔的實際問題．統(tǒng)計案例1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖生疏變量間的相關(guān)關(guān)系．2．了解最小二乘法的思想，能依據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．3．了解下列常見的統(tǒng)計方法，并能應(yīng)用這些方法解決一些實際問題．(1)了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡潔應(yīng)用．(2)了解假設(shè)檢驗的基本思想、方法及其簡潔應(yīng)用．(3)了解回歸分析的基本思想、方法及其簡潔應(yīng)用．算法與程序框圖1.了解算法的含義，了解算法的思想．2．理解程序框圖的三種基本規(guī)律結(jié)構(gòu)：挨次結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).第1講隨機抽樣1．簡潔隨機抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，且每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就稱這樣的抽樣方法為簡潔隨機抽樣．(2)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．2．系統(tǒng)抽樣(1)步驟：①先將總體的N個個體編號；②依據(jù)樣本容量n，當eq\f(N,n)是整數(shù)時，取分段間隔k＝eq\f(N,n)；③在第1段用簡潔隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；④依據(jù)確定的規(guī)章抽取樣本．(2)適用范圍：適用于總體中的個體數(shù)較多時．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)確定的比例，從各層獨立地抽取確定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個部分組成時．[做一做]1．下列抽取樣本的方式是簡潔隨機抽樣的有()①從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本；②箱子里有100支鉛筆，現(xiàn)從中選取10支進行檢驗，在抽樣操作時，從中任意拿出一支檢測后再放回箱子里；③從50個個體中一次性抽取5個個體作為樣本．A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：選A.①不滿足樣本的總體數(shù)較少的特點；②不滿足不放回抽取的特點；③不滿足逐個抽取的特點．2．(2022·高考湖北卷)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，接受分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件.解析：設(shè)乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為x件，則甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為(4800－x)件．由分層抽樣特點，結(jié)合題意可得eq\f(50,80)＝eq\f(4800－x,4800)，解得x＝1800.答案：18001．辨明兩個易誤點(1)簡潔隨機抽樣中易忽視樣本是從總體中逐個抽取，是不放回抽樣，且每個個體被抽到的概率相等．(2)分層抽樣中，易忽視每層抽取的個體的比例是相同的，即eq\f(樣本容量n,總體個數(shù)N).2．三種抽樣方法的比較類別各自特點相互聯(lián)系適用范圍共同點簡潔隨機抽樣從總體中逐個抽取最基本的抽樣方法總體中的個體數(shù)較少抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)章分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時，接受簡潔隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個體數(shù)之比抽取各層抽樣時接受簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成[做一做]3．(2022·高考廣東卷)為了解1000名同學的學習狀況，接受系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()A．50 B．40C．25 D．20解析：選C.依據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點可知分段間隔為eq\f(1000,40)＝25，故選C.4．(2022·高考湖南卷)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3解析：選D.由于三種抽樣過程中，每個個體被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.eq\a\vs4\al(考點一)__簡潔隨機抽樣________________________下面的抽樣方法是簡潔隨機抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C．某學校分別從行政人員、老師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學校機構(gòu)改革的意見D．用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗[解析]A、B是系統(tǒng)抽樣，由于抽取的個體間的間隔是固定的；C是分層抽樣，由于總體的個體有明顯的層次；D是簡潔隨機抽樣．[答案]D[規(guī)律方法]抽簽法與隨機數(shù)法的適用狀況(1)抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的狀況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的狀況．(2)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否便利；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．1.(2021·高考江西卷)總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開頭由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07C．02 D．01解析：選D.由隨機數(shù)表法的隨機抽樣的過程可知選出的5個個體是08，02，14，07，01，所以第5個個體的編號是01.eq\a\vs4\al(考點二)__系統(tǒng)抽樣______________________________999999999999999999(2021·高考陜西卷)某單位有840名職工，現(xiàn)接受系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14[解析]抽樣間隔為eq\f(840,42)＝20.設(shè)在1，2，…，20中抽取號碼x0(x0∈[1，20])，在[481，720]之間抽取的號碼記為20k＋x0，則481≤20k＋x0≤720，k∈N*.∴24eq\f(1,20)≤k＋eq\f(x0,20)≤36.∵eq\f(x0,20)∈[eq\f(1,20)，1]，∴k＝24，25，26，…，35，∴k值共有35－24＋1＝12(個)，即所求人數(shù)為12.[答案]B[規(guī)律方法]系統(tǒng)抽樣的步驟：(1)先將總體的N個個體編號；(2)確定分段間隔k(k∈N*)，對編號進行分段．當eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用簡潔隨機抽樣確定第1個個體編號l(l≤k)；(4)依據(jù)確定的規(guī)章抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加上k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獵取整個樣本．2.將參與夏令營的600名同學編號為：001，002，…，600.接受系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名同學分住在三個營區(qū)，從001到300在A營區(qū)，從301到495在B營區(qū)，從496到600在C營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A．26，16，8 B．25，17，8C．25，16，9 D．24，17，9解析：選B.依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名同學按編號依次分成50組，每一組各有12名同學，第k(k∈N*)組抽中的號碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此A營區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此B營區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17.結(jié)合各選項知B正確．eq\a\vs4\al(考點三)__分層抽樣(高頻考點)____________________分層抽樣是抽樣方法考查的重點，也是高考命題的熱點，多以選擇題或填空題的形式毀滅，試題難度不大，多為簡潔題或中檔題．高考對分層抽樣的考查主要有以下三個命題角度：(1)已知各層總數(shù)，確定抽樣比；(2)已知各層總數(shù)，某一層的樣本數(shù)，求另一層樣本數(shù)或總數(shù)；(3)已知某層總數(shù)及某層的樣本數(shù)，求各層樣本數(shù)．(1)(2021·撫順模擬)某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品平安檢測．若接受分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A．4 B．5C．6 D．7(2)(2022·高考天津卷)某高校為了解在校本科生對參與某項社會實踐活動的意向，擬接受分層抽樣的方法，從該校四個班級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查．已知該校一班級、二班級、三班級、四班級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一班級本科生中抽取________名同學．[解析](1)四類食品的抽樣比為eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，∴植物油類和果蔬類食品被抽到的種數(shù)之和為(10＋20)×eq\f(1,5)＝6.(2)依據(jù)題意，應(yīng)從一班級本科生中抽取的人數(shù)為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.[答案](1)C(2)60[規(guī)律方法]分層抽樣問題的解題策略(1)確定抽樣比．可依據(jù)各層總數(shù)與樣本數(shù)之比，確定抽樣比．(2)求某一層的樣本數(shù)或總體個數(shù)．可依據(jù)題意求出抽樣比，再由某層總體個數(shù)(或樣本數(shù))確定該層的樣本數(shù)(或總體數(shù))．(3)求各層的樣本數(shù)．可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù)．3.(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉狀況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12、21、25、43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A．101 B．808C．1212 D．2016(2)某報社做了一次關(guān)于“什么是新時代的雷鋒精神”的調(diào)查，在A，B，C，D四個單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，且共回收1000份，因報道需要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本，若在B單位抽取30份，則在D單位抽取的問卷是________份．解析：(1)由題意知抽樣比為eq\f(12,96)，而四個社區(qū)一共抽取的駕駛員人數(shù)為12＋21＋25＋43＝101，故有eq\f(12,96)＝eq\f(101,N)，解得N＝808.(2)由題意依次設(shè)在A，B，C，D四個單位回收的問卷數(shù)分別為a1，a2，a3，a4，在D單位抽取的問卷數(shù)為n，則有eq\f(30,a2)＝eq\f(150,1000)，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1000，即3a2＋a4＝1000，∴a4＝400，∴eq\f(n,400)＝eq\f(150,1000)，解得n＝60.答案：(1)B(2)60,[同學用書P199～P200])考題溯源——分層抽樣(2022·高考重慶卷)某中學有高中生3500人，學校生1500人，為了解同學的學習狀況，用分層抽樣的方法從該校同學中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．250[解析]法一：由題意可得eq\f(70,n－70)＝eq\f(3500,1500)，解得n＝100，故選A.法二：由題意，抽樣比為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，總體容量為3500＋1500＝5000，故n＝5000×eq\f(1,50)＝100.[答案]A[考題溯源]本題源于人教A版必修3P100A組第2(2)題“一個公司共有N名員工，下設(shè)一些部門，要接受等比例分層抽樣的方法從全體員工中抽取樣本容量為n的樣本，已知某部門有m名員工，那么從該部門抽取的員工人數(shù)是________”，對題中m，n賜予賦值．1.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝()A．54 B．90C．45 D．126解析：選B.依題意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90.2．調(diào)查某高中1000名同學的身高狀況得下表，已知從這批同學中隨機抽取1名同學，抽到偏矮男生的概率為0.12，若用分層抽樣的方法，從這批同學中隨機抽取50名，則應(yīng)在偏高同學中抽________名．偏矮正常偏高女生/人100273y男生/人x287z解析：由題意可知x＝1000×0.12＝120，所以y＋z＝220.所以偏高同學占同學總數(shù)的比例為eq\f(220,1000)＝eq\f(11,50)，所以抽取50名應(yīng)抽偏高同學50×eq\f(11,50)＝11(名)．答案：111．利用簡潔隨機抽樣從含有8個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，則總體中每個個體被抽到的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,4)解析：選A.總體個數(shù)為N，樣本容量為M，則每一個個體被抽到的概率為P＝eq\f(M,N)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，故選A.2．(2021·浙江模擬)某地區(qū)高中分三類，A類學校共有同學2000人，B類學校共有同學3000人，C類學校共有同學4000人，若實行分層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的同學甲被抽到的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(9,20)C.eq\f(1,2000) D.eq\f(1,2)解析：選A.利用分層抽樣，每個同學被抽到的概率是相同的，故所求的概率為eq\f(900,2000＋3000＋4000)＝eq\f(1,10).3．福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼由編號為01，02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數(shù)表選取6組數(shù)作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開頭由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個紅色球的編號為()49544354821737932378873520964384263491645724550688770474476721763350258392120676A.23 B．09C．02 D．17解析：選C.從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開頭由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的6個紅色球的編號依次為21，32，09，16，17，02，故選出的第6個紅色球的編號為02.4．(2021·河北石家莊模擬)某學校高三班級一班共有60名同學，現(xiàn)接受系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6名同學做“早餐與健康”的調(diào)查，為此將同學編號為1，2，…，60.選取的這6名同學的編號可能是()A．1，2，3，4，5，6 B．6，16，26，36，46，56C．1，2，4，8，16，32 D．3，9，13，27，36，54解析：選B.由系統(tǒng)抽樣學問知，所取同學編號之間的間距相等且為10，所以應(yīng)選B.5．某學校在校同學2000人，為了加強同學的熬煉意識，學校進行了跑步和登山競賽，每人都參與且每人只參與其中一項競賽，各班級參與競賽的人數(shù)狀況如下：高一班級高二班級高三班級跑步人數(shù)abc登山人數(shù)xyz其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(1,4).為了了解同學對本次活動的滿足程度，按分層抽樣的方式從中抽取一個200人的樣本進行調(diào)查，則高三班級參與跑步的同學中應(yīng)抽取的人數(shù)為()A．15 B．30C．40 D．45解析：選D.由題意，全校參與跑步的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,4)，所以高三班級參與跑步的總?cè)藬?shù)為eq\f(3,4)×2000×eq\f(3,10)＝450，由分層抽樣的特征，得高三班級參與跑步的同學中應(yīng)抽取的人數(shù)為eq\f(200,2000)×450＝45.6．(2021·安徽池州一中期末)已知某商場新進3000袋奶粉，為檢查其三聚氰胺是否達標，現(xiàn)接受系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取150袋進行檢查，將3000袋奶粉按1，2，…，3000隨機編號，若第一組抽出的號碼是11，則第六十一組抽出的號碼為________．解析：由題意知抽樣比為k＝eq\f(3000,150)＝20，又第一組抽出的號碼是11，則11＋60×20＝1211，故第六十一組抽出的號碼為1211.答案：12117．某校對全校1600名男女生同學的視力狀況進行調(diào)查，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為200的樣本，已知女生比男生少抽10人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)當為________．解析：設(shè)該校的女生人數(shù)為x，則男生人數(shù)為1600－x，依據(jù)分層抽樣的原理，各層的抽樣比為eq\f(200,1600)＝eq\f(1,8)，所以女生應(yīng)抽取eq\f(x,8)人，男生應(yīng)抽取eq\f(1600－x,8)人，所以eq\f(x,8)＋10＝eq\f(1600－x,8)，解得x＝760.答案：7608．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品共3000件，依據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量(件)130由于不當心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，依據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是________．解析：設(shè)樣本容量為x，則eq\f(x,3000)×1300＝130，∴x＝300.∴A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300－130＝170(件)．設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，∴y＝80.∴C產(chǎn)品的數(shù)量為eq\f(3000,300)×80＝800(件)．答案：8009．某初級中學共有同學2000名，各班級男、女生人數(shù)如下表：初一班級初二班級初三班級女生373xy男生377370z已知在全校同學中隨機抽取1名，抽到初二班級女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校