【八年級下冊數(shù)學(xué)蘇科版】第十章 分式（單元重點綜合測試）

第十章分式（單元重點綜合測試）單選題（共8題，每題3分，共24分）1．下列各式，，，，，中，分式共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．若分子有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．3．下列分式中，最簡分式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．代數(shù)式中的、都擴大10倍，則代數(shù)式的值（

）.A．?dāng)U大10倍 B．縮小10倍 C．不變 D．無法確定5．下列各式從左到右變形一定正確的是（

）A． B． C． D．6．若關(guān)于x的分式方程＝1有增根，則m的值為（）A． B． C．2 D．37．若關(guān)于x的分式方程的解為正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且8．閱讀，正如一束陽光．孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀．某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發(fā)，參加分享活動．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達活動地點．若設(shè)乙同學(xué)的速度是x米/分，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．填空題（共10題，每題3分，共30分）9．下列4個分式：①；②；③；④，其中最簡分式有______個．10．計算：____________________．11．已知，則______．12．計算：________．13．已知時，分式無意義，則__________．14．觀察下列一組分式：，，，，…．根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，第8個分式是______．15．若關(guān)于的分式方程無解，則的值為________．16．“端午食粽”是節(jié)日習(xí)俗之一甲、乙兩人每小時共包個粽子，甲包個粽子所用的時間與乙包個粽子所用的時間相等，若設(shè)甲每小時包個粽子，則可列方程為______．17．對于代數(shù)式，，定義運算“”：，例如：，若，則______．18．對于正數(shù)，規(guī)定，例如，則____________．三、解答題（一共9題，共86分）19．不改變分式的值，使分子、分母中次數(shù)最高的項的系數(shù)都化為正數(shù)．①； ②； ③； ④．20．解分式方程：(1)； (2)．21、化簡：(1)； (2)．22．化簡，從1，，2中選一個適合的數(shù)作為a的值代入求值．23．已知關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．24．海陽大秧歌是山東省三大秧歌之一，于2006年被列入首批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，海陽大秧歌走進了校園，為校園生活增添了一抹靚麗色彩．某校為組建校園秧歌隊購進，兩款秧歌服，每套款服裝比每套款服裝多10元，用1440元購進的款服裝數(shù)量是用1000元購進的款服裝數(shù)量的1.2倍．款服裝和款服裝每套各多少元？25．2024年是中國農(nóng)歷甲辰龍年．春節(jié)前，某商場打算進貨“龍辰辰”和“愛他龍”兩種布偶，發(fā)現(xiàn)用8800元購進的“龍辰辰”的數(shù)量是用4000元購進的“愛他龍”的2倍，且每件“龍辰辰”的進價比“愛他龍”貴了4元．(1)“龍辰辰”、“愛他龍”每件的進價分別是多少元?(2)為滿足消費者需求，該超市準(zhǔn)備購進“龍辰辰”和“愛他龍”兩種布偶共200個，“龍辰辰”售價定價為70元，“愛他龍”售價為60元，若總利潤不低于4480元，問最少購進多少個“龍辰辰”?27．閱讀下列兩份材料，理解其含義并解決下列問題：【閱讀材料1】如果兩個正數(shù)a，b，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮栴}的有力工具．【實例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，式子有最小值，最小值為4．【閱讀材料2】我們知道，分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類似的，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．【實例剖析2】如：，這樣的分式就是假分式；如：，這樣的分式就是真分式，假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；．【學(xué)以致用】根據(jù)上面兩份材料回答下列問題：(1)已知，則當(dāng)__________時，式子取到最小值，最小值為__________；(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化為帶分式形式__________；如果分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的值有__________個；(3)用籬笆圍一個面積為的矩形花園，問這個矩形的兩鄰邊長各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？(4)已知，當(dāng)x取何值時，分式取到最大值，最大值為多少？

第十章分式（單元重點綜合測試）答案全解全析一、單選題（共8題，每題3分，共24分）1．下列各式，，，，，中，分式共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】此題主要考查分式的判斷，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式的定義“形如，其中A、B為整式，且B中含有字母的式子叫分式”．【詳解】解：分式為，，，，共個，故選：D．2．若分子有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了分式有意義的條件．分式有意義?分母不為零；根據(jù)分式的分母，可以求得x的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，解得：．故選：B．3．下列分式中，最簡分式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查了最簡分式的定義和最簡分式判斷的方法及因式分解的運用，在解答中注意分子分母要沒有公因式為止的分式才是最簡分式．【詳解】解：，不是最簡分式；，不是最簡分式；是最簡分式；，不是最簡分式；故選A．4．代數(shù)式中的、都擴大10倍，則代數(shù)式的值（

）.A．?dāng)U大10倍 B．縮小10倍 C．不變 D．無法確定【答案】A【分析】本題主要考查分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變．解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．【詳解】解：把分式的，同時擴大10倍，得，∴分式的值擴大10倍．故選：A．5．下列各式從左到右變形一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，平方差公式，解題關(guān)鍵是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變．根據(jù)分式的基本性質(zhì)以及賦值法注意判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、若，，則，，即，原變形錯誤，不符合題意；B、，原變形正確，符合題意；C、若，，，則，，即，原變形錯誤，不符合題意；D、，原變形錯誤，不符合題意；故選：B．6．若關(guān)于x的分式方程＝1有增根，則m的值為（）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出的值．【詳解】解：方程兩邊同乘以，得①，∵原方程有增根，即．把代入①，得故選：B．7．若關(guān)于x的分式方程的解為正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查了分式方程的解：使分式方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值叫分式方程的解，解答本題時，易漏掉，這是因為忽略了這個隱含的條件而造成的，這應(yīng)引起同學(xué)們的足夠重視．先解方程，用含有m的式子表示出方程的解，再根據(jù)分式方程的解為正數(shù)，并且分母不為零，可得到滿足條件的m的范圍．【詳解】解：去分母，可得，解得，∵關(guān)于x的分式方程的解為正實數(shù)，∴，解得，又∵，∴，綜上，且，故選：D．8．閱讀，正如一束陽光．孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀．某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發(fā)，參加分享活動．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達活動地點．若設(shè)乙同學(xué)的速度是x米/分，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)乙同學(xué)的速度是x米/分，根據(jù)乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達活動地點，列出方程即可．【詳解】設(shè)乙同學(xué)的速度是x米/分，根據(jù)題意得，．故選：C．填空題（共10題，每題3分，共30分）9．下列4個分式：①；②；③；④，其中最簡分式有______個．【答案】2【分析】本題主要考查了最簡分式的判斷，若一個分式的分子與分母沒有公因式，那么這個分式就叫做最簡分式，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】解：①是最簡分式，符合題意；②不是最簡分式，不符合題意；③不是最簡分式，不符合題意；④是最簡分式，符合題意；∴最簡分式有2個，故答案為：2．10．計算：____________________．【答案】【分析】本題考查了分式的加法，熟練掌握異分母的加法法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的加法法則進行計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．11．已知，則______．【答案】【分析】本題主要考查了分式的求值，正確根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可設(shè)，然后代入所求式子中求解即可．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，∴，故答案為：．12．計算：________．【答案】/18x/【分析】本題考查分式的混合運算，掌握分式乘方和分式乘法的運算法則是解題關(guān)鍵．先算乘方，然后再算乘法．【詳解】解：，故答案為：．13．已知時，分式無意義，則__________．【答案】2【分析】本題考查分式意義的條件，關(guān)鍵在于通過分式無意義算出a的值．當(dāng)分式無意義時分母為0，據(jù)此可求出a的值．【詳解】解：∵分式無意義，∴，此時，即：解得：．故答案為：2．14．觀察下列一組分式：，，，，…．根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，第8個分式是______．【答案】【分析】本題考查代數(shù)式規(guī)律，對于分式規(guī)律，從三個方面：符號、分子和分母分別尋找，最終得到這組分式的規(guī)律是，當(dāng)時，代入求解即可得到答案，準(zhǔn)確找準(zhǔn)分式的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：首先觀察符號：奇數(shù)項為正、偶數(shù)項為負，則符號規(guī)律是；觀察分子，則分子規(guī)律為；觀察分母，則分母規(guī)律為；這組分式的規(guī)律是，當(dāng)時，，故答案為：．15．若關(guān)于的分式方程無解，則的值為________．【答案】或1【分析】本題考查了分式方程無解，理解分式方程無解的含義是解題的關(guān)鍵．去分母，整理得，根據(jù)分式方程無解可知增根分別為或，分別求解即可．【詳解】分式方程兩邊都乘以最簡公分母，得：，整理得：，關(guān)于的分式方程無解，當(dāng)時，得，解得，當(dāng)時，得，解得．∴的值為或1．故答案為：或1．16．“端午食粽”是節(jié)日習(xí)俗之一甲、乙兩人每小時共包個粽子，甲包個粽子所用的時間與乙包個粽子所用的時間相等，若設(shè)甲每小時包個粽子，則可列方程為______．【答案】【分析】此題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)“甲包個粽子所用的時間與乙包個粽子所用的時間相等”即可列出分式方程．【詳解】解：設(shè)甲每小時包個粽子，乙每小時包個粽子，根據(jù)題意可得：，故答案為：．17．對于代數(shù)式，，定義運算“”：，例如：，若，則______．【答案】5【分析】本題主要考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的加減混合運算順序和運算法則．由※、，從而得出，求出，代入可得答案．【詳解】解：※，，由題意，得：，解得：，∴．故答案為：5．18．對于正數(shù)，規(guī)定，例如，則____________．【答案】【分析】本題考查代數(shù)式求值，分式的加法以及數(shù)字類規(guī)律探究，理解新定義函數(shù)的意義，掌握數(shù)字所呈現(xiàn)的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．利用加法結(jié)合律以及探究所得規(guī)律得出答案．【詳解】解：，，．故答案為：．三、解答題（一共9題，共86分）19．不改變分式的值，使分子、分母中次數(shù)最高的項的系數(shù)都化為正數(shù)．①；②；③；④．【答案】①；②；③；④【分析】分式的基本性質(zhì)：分式的分子分母都乘以或除以同一個不為零的數(shù)或整式，分式的值不變，從而可得分式的三個符號，同時改變兩個，分式的值不變，根據(jù)分式的基本性質(zhì)：①改變分式的分子與分式本身的符號，可得答案；②改變分式的分母與分式本身的符號，可得答案；③改變分式的分子與分母的符號，可得答案；④改變分式的分子與分母的符號，可得答案.【詳解】解：①；②；③；④【點睛】本題考查的是利用分式的基本性質(zhì)把分子分母的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)，掌握變形的方法是解題的關(guān)鍵.20．解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)是增根，方程無解【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：去分母得：，移項合并得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解；（2）去分母得：，去括號得：，解得：，經(jīng)檢驗是增根，分式方程無解．21、化簡：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）本題考查分式的化簡求值，先通分，再因式分解約分，化到最簡即可得到答案；（2）本題考查分式的化簡求值，先通分計算括號里的分式，再因式分解約分化到最簡即可得到答案；【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．22．化簡，從1，，2中選一個適合的數(shù)作為a的值代入求值．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡求值．先計算括號內(nèi)的，再計算除法，然后根據(jù)分式的有意義的條件，可得，再代入化簡后的結(jié)果，即可求解．【詳解】解：原式∵且∴a不能為1，，0，∴，∴將代入，得原式．23．已知關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】且【分析】本題考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步驟、分式方程有解（無解）的判斷方法是解題的關(guān)鍵．利用解分式方程的一般步驟解出方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：，方程兩邊同乘以，得，解得，關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，，解得：且，即實數(shù)的取值范圍為且．24．海陽大秧歌是山東省三大秧歌之一，于2006年被列入首批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，海陽大秧歌走進了校園，為校園生活增添了一抹靚麗色彩．某校為組建校園秧歌隊購進，兩款秧歌服，每套款服裝比每套款服裝多10元，用1440元購進的款服裝數(shù)量是用1000元購進的款服裝數(shù)量的1.2倍．款服裝和款服裝每套各多少元？【答案】款服裝每套60元，款服裝每套50元．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)A款服裝每套x元，則B款服裝每套元，根據(jù)“用1440元購進的A款服裝數(shù)量是用1000元購進的B款服裝數(shù)量的1.2倍”，列出分式方程，解分式方程即可．【詳解】解：設(shè)款服裝每套為元，則款服裝每套為元，根據(jù)題意，得．解這個方程，得．經(jīng)檢驗，是所列方程的根，且符合題意．（元）．所以，款服裝每套60元，款服裝每套50元．25．2024年是中國農(nóng)歷甲辰龍年．春節(jié)前，某商場打算進貨“龍辰辰”和“愛他龍”兩種布偶，發(fā)現(xiàn)用8800元購進的“龍辰辰”的數(shù)量是用4000元購進的“愛他龍”的2倍，且每件“龍辰辰”的進價比“愛他龍”貴了4元．(1)“龍辰辰”、“愛他龍”每件的進價分別是多少元?(2)為滿足消費者需求，該超市準(zhǔn)備購進“龍辰辰”和“愛他龍”兩種布偶共200個，“龍辰辰”售價定價為70元，“愛他龍”售價為60元，若總利潤不低于4480元，問最少購進多少個“龍辰辰”?【答案】(1)每件“龍辰辰”的進價是44元，每件“愛他龍”的進價是40元(2)80個【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：①找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；②根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．（1）設(shè)每件“愛他龍”的進價是元，則每件“龍辰辰”的進價是元，利用數(shù)量=總價單價，結(jié)合用8800元購進的“龍辰辰”的數(shù)量是用4000元購進的“愛他龍”的2倍，可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出每件“愛他龍”的進價，再將其代入中，即可求出每件“龍辰辰”的進價；（2）設(shè)購進個“龍辰辰”，則購進個“愛他龍”，利用總利潤每個的銷售利潤銷售數(shù)量，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)每件“愛他龍”的進價是元，則每件“龍辰辰”的進價是元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，∴．答：每件“龍辰辰”的進價是44元，每件“愛他龍”的進價是40元；（2）設(shè)購進個“龍辰辰”，則購進個“愛他龍”，根據(jù)題意得：，解得：，∴的最小值為80．答：最少購進80個“龍辰辰”．26．對于，同學(xué)們展開了探究：當(dāng)時，該等式成立；當(dāng)時，該等式成立．(1)當(dāng)時，b等于多少時，該等式成立？(2)要滿足該等式，a，b之間有什么永恒關(guān)系？請計算說明；(3)拓展應(yīng)用：如果一分式方程滿足，且解是．我們稱之為友好方程．請解方程：．【答案】(1)；(2)，說明見解析；(3)．【分析】本題考查新定義下的整式運算計算，熟練掌握整式的因式分解是解決問題的關(guān)鍵．（1）把代入求解即可．（2）直接計算求出a，b的關(guān)系式即可．（3）因式分解化簡求值即可．【詳解】（1）解：把代入得，解得．（2）解：，，，；（3）解：，，，，令，上式為：，，解得，．27．閱讀下列兩份材料，理解其含義并解決下列問題：【閱讀材料1】如果兩個正數(shù)a，b，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（小）值問題的有力工具．【實例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，式子有最小值，最小值為4．【閱讀材料2】我們知道，分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類似的，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．【實例剖析2】如：，這樣的分式就是假分式；如：，這樣的分式就是真分式，假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式．