【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)湘教版】第二章 四邊形（10類題型突破）

第二章四邊形（10類題型突破）題型一多邊形【例1】（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，這個(gè)多邊形是（

）A．四邊形 B．六邊形 C．八邊形 D．十邊形【例2】（2023上·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的總條數(shù)為________．【例3】（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1所示，_________；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為_________．【例4】（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，作、的平分線交于點(diǎn)稱為第1次操作，作、的平分線交于點(diǎn)稱為第2次操作，作、的平分線交于點(diǎn)稱為第3次操作，……，則第4次操作后的度數(shù)是______．鞏固訓(xùn)練：1．（2024上·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，則它的邊數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024上·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谀┮粋€(gè)正多邊形，它的每個(gè)內(nèi)角是與其相鄰?fù)饨堑谋?，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2024上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谀┮粋€(gè)正多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為________度．4．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）十二邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為_______．5．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，六角螺母的橫截面是正六邊形，則的度數(shù)為________．6．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)正多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比是，則它是正________邊形．7．（2023上·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是____________．8．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，則______________．9．（2020上·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則________．10．（2017下·山東東營(yíng)·七年級(jí)校考期中）如圖所示，________．11．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，求________．

12．（2023上·廣西賀州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)（不與，，重合），點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（與，不在同一直線上）．令，，．(1)若點(diǎn)在邊上，如圖①所示，且，則______；(2)若點(diǎn)在的外部，如圖②所示，則，，之間有何關(guān)系？說明理由；(3)若點(diǎn)在的邊的延長(zhǎng)線上，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．題型二平行四邊形【例1】（2023上·山東淄博·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，過平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)O，交于E，交于F，若平行四邊形的周長(zhǎng)為36，，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．24 B．26 C．28 D．20【例2】（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)校考期中）若平行四邊形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為1∶3，則其中較大的內(nèi)角是（

）A． B． C． D．【例3】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，還需要補(bǔ)充下列條件中的（

）A． B． C． D．【例4】（2023下·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的對(duì)角線、交于點(diǎn)O，平分交于點(diǎn)E，且，，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，成立的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC＝4，BD＝10，AB＝6．若要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則OB的長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）有下列說法：①平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等；②平行四邊形的對(duì)角線互相平分；③平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；④平行四邊形的對(duì)角線相等．其中正確的說法有（

）A．4個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023上·山東威?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，過對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．19 C．22 D．324．（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，若添加一個(gè)條件，能判斷四邊形為平行四邊形的是（

）A． B． C． D．5．（2023下·四川德陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，E為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)．若的面積為6，則的面積為（

）A．5 B．4 C．3 D．26．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┎荒芘卸ㄒ粋€(gè)四邊形是平行四邊形的條件是（

）A．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行 B．一組對(duì)邊平行且相等C．兩條對(duì)角線互相平分 D．兩組對(duì)邊分別相等7．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，四邊形是平行四邊形，為的中點(diǎn)，連接，將沿著所在的直線折疊，點(diǎn)剛好落在上的處，若，則的長(zhǎng)為______．8．（2024上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，于E，則的度數(shù)為_______．9．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，AB，CD是兩條相交的線段，O分別是它們的中點(diǎn)，當(dāng)線段DC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)（DC，AB不重合），連接AC，CB，BD，DA所得到的四邊形ACBD始終是________．理由是_________．10．（2024上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分，交于點(diǎn)E，，，則長(zhǎng)為______.11．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考期末）如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長(zhǎng)．12．（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，，求的大?。?3．（2023上·湖南岳陽·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，在四邊形中，，，垂足分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)、，分別交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，若，．求證：四邊形為平行四邊形；14．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點(diǎn)．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點(diǎn)，作交射線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系．15．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，AO＝BO，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點(diǎn)．求證：四邊形AEBF是平行四邊形．16．（2024·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）在四邊形中，，，，，點(diǎn)從出發(fā)以的速度向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，而另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．若是上一點(diǎn)，且，t取何值時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？17．（2023上·山東淄博·八年級(jí)周村二中?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，連接、、、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，，求的面積．題型三中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形【例1】（2023上·遼寧鐵嶺·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【例2】（2024上·廣東深圳·八年級(jí)深圳外國(guó)語學(xué)校?？计谀┌四昙?jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，為研究中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，對(duì)于已知以及外的一點(diǎn)，分別作，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，得到．如圖，則下列結(jié)論不成立的是（

）

A．點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn) B．C． D．【例3】（2023上·廣東肇慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將置于平面直角坐標(biāo)系中，三角形所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，畫出以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，與成中心對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)．

鞏固訓(xùn)練1．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┘艏埼幕侵袊?guó)最古老的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)校聯(lián)考期末）下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2024上·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考期末）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2024上·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，則的長(zhǎng)是____5．（2024上·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，，，．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出，使它和關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，；(2)的坐標(biāo)為______．6．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正三角形網(wǎng)格中，已知兩個(gè)小正三角形被涂黑．(1)再將圖①中其余小三角形涂黑一個(gè)，使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形(畫出兩種不同的涂法)；(2)再將圖②中其余小三角形涂黑兩個(gè)，使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)中心對(duì)稱圖形．題型四三角形的中位線【例1】（2023上·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的中，點(diǎn)D，E在邊AB上，的平分線于F，的平分線于H，若，，則的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．18 D．20【例2】（2024上·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)若的面積等于，則三角形的面積等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【例3】（2024上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，D，E分別是的中點(diǎn)，，F(xiàn)是線段上一點(diǎn)，連接，．若，則的長(zhǎng)度是__________．【例4】（2021上·北京順義·九年級(jí)北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，取邊的中點(diǎn)E，作交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，得到四邊形，它的面積記作；取邊的中點(diǎn)E1，作交于，交于點(diǎn)得到四邊形，它的面積記作，照此規(guī)律作下去，則的值為_____________．

鞏固訓(xùn)練1．（2024下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，分別為邊的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．8 B．9 C．12 D．132．（重慶市萬州區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，是的中位線，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為______．3．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)．若△ABC的周長(zhǎng)為10，則△DEF的周長(zhǎng)為________．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是的、、的中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為14，則的周長(zhǎng)為______．

5．（2023下·浙江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是的中線，，分別是，的中點(diǎn)，連結(jié)．若，則的長(zhǎng)為______．6．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，中，平分，交于點(diǎn)E，平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)O，點(diǎn)G，H分別是和的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_____．7．（2019下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接于點(diǎn)交于點(diǎn)N，若，則線段的長(zhǎng)為_______________．8．（2023上·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小聰想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，一位同學(xué)幫他想了一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，找到，的中點(diǎn)D，E，并且測(cè)出的長(zhǎng)為，則A，B間的距離為______．9．（2024下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在等邊三角形中，分別是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則______．10．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)四川省渠縣中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，，取BC邊中點(diǎn)E，作，，得到四邊形，它的面積記作；取BE中點(diǎn)，作，，得到四邊形，它的面積記作，照此規(guī)律作下去，則______．11．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，邊上的高，E、F分別、的中點(diǎn)．(1)求四邊形的面積；(2)若，求四邊形的周長(zhǎng)．題型五矩形【例1】（2023上·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將矩形紙片沿折疊，得到，與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【例2】（2023上·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，，對(duì)角線，平分交于點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，（）A．4 B．5 C．6 D．7【例3】（2023上·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，于，于，則等于（）A． B． C． D．【例4】（2023上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且，，，相交于點(diǎn)O，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練：1．（2024上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．已知，的面積為5，則的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．32．（2023上·陜西西安·八年級(jí)校考期中）長(zhǎng)方形ABCD中，，，將其沿折疊，點(diǎn)A，B分別落到點(diǎn)與點(diǎn)處，恰好點(diǎn)C在上，且，則線段的長(zhǎng)度為（

）A．5 B． C． D．3．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）判斷一個(gè)門框是否是矩形，可用的方法是（

）A．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否相等 B．檢查門框的三個(gè)角是否是直角C．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否互相平分 D．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否互相垂直平分4．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，要使成為矩形，需添加的條件是（

）A． B． C． D．5．（2023上·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)于點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．46．（2024上·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)、，直線分別交、于點(diǎn)、.若，，則四邊形面積是（

）A．20 B．16 C．12 D．247．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)開江縣任市中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知矩形邊上有一點(diǎn)，且，是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），是線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連結(jié)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，則線段的長(zhǎng)是________．8．（2017下·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，垂直平分于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為___________．9．（2024上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，對(duì)角線的中垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為________．

10．（2023下·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形紙片的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，將矩形紙片翻折，使點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)在邊上，則的長(zhǎng)為_____．

11．（2023上·山東臨沂·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的長(zhǎng)為_________．

12．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，木工師傅要做一個(gè)矩形木框，做好以后測(cè)量得長(zhǎng)，寬．若對(duì)角線的長(zhǎng)為，則這個(gè)木框______（填“合格”或“不合格”），判定的依據(jù)是________________________．13．（2024上·山東淄博·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知矩形（如圖1）的一邊和對(duì)角線分別與矩形的對(duì)角線及邊重合，連接，取的中點(diǎn)，連接，試探索解決下列問題：

(1)求證：；(2)如圖2，若將（1）中的矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件不變，你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否成立？若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．14．（2024上·湖南邵陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【動(dòng)手操作】將一張矩形紙片按下圖操作：步驟一：如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，展平紙片，得到折痕．步驟二：如圖②，是上一動(dòng)點(diǎn)，沿折疊紙片，使點(diǎn)落在上點(diǎn)處，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，．請(qǐng)完成：（1）試猜想的形狀，并予以證明；【類比操作】步驟三：如圖③，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，展平紙片，得到折痕，沿折疊紙片，使點(diǎn)落在上點(diǎn)處，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（2）請(qǐng)說明：．15．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，且．(1)求證：四邊形是矩形；(2)點(diǎn)在上，連接，若，求的面積．16．（2023下·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求四邊形的面積．17．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，是的平分線，是外角的平分線，，垂足為點(diǎn)E．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，求的長(zhǎng)．18．（2023上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，的平分線和外角的平分線分別交于點(diǎn)，．(1)求證：四邊形是矩形：(2)若，，求四邊形的面積．題型六菱形【例1】（2023上·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知菱形的邊長(zhǎng)為，它的一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則該菱形的面積為（

）A． B． C． D．【例2】（2023上·寧夏銀川·九年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，連接，，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【例3】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）如圖，中，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，過點(diǎn)且分別交，于點(diǎn)，．連接，．

(1)求證：；(2)求證：若平分，四邊形為菱形．鞏固訓(xùn)練1．（2024·重慶大渡口·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，若菱形的面積是，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為，則此菱形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2024上·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P為菱形的對(duì)角線上的一定點(diǎn)，Q為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，G，，若的最小值為2，則的長(zhǎng)為________．4．（2023上·甘肅白銀·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為2，一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則這個(gè)菱形的面積是_______．5．（2024上·廣東江門·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分，若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為和，求陰影部分的面積為______．6．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)證明四邊形是菱形．7．（2024上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，分別是邊、上的點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)．求證：．8．（2023上·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，分別為的中點(diǎn)，連接．(1)尺規(guī)作圖：在的延長(zhǎng)線上確定點(diǎn)，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若，求證：四邊形為菱形．9．（2024上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【操作探究】已知：在菱形中，點(diǎn)在直線上，過作的平行線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)【舉例感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；(2)【類比探究】①當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．10．（2024上·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，且平分．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的周長(zhǎng)．11．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，D、E分別是、的中點(diǎn)，，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．題型七正方形【例1】（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期中）將三個(gè)大小不同的正方形如圖放置，頂點(diǎn)處兩兩相接，若正方形A的邊長(zhǎng)為5，正方形的邊長(zhǎng)為3，則正方形的面積為（

）A．16 B．25 C．30 D．34【例2】（2024上·四川南充·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把正方形的邊繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段．射線與邊交于，則大小為（

）A． B． C． D．【例3】（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，則兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）A．8 B．4 C．6 D．2【例4】（2023上·河北張家口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【方法前置】作圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的重要方法，如圖①，正方形中，、分別在邊、上，且，連接，求證：．可將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置（容易得出點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上），進(jìn)一步證明與全等．親愛的同學(xué)們，你想好了嗎？試著看下面的問題情境吧．【問題情景】如圖②，正方形是綠地公園的一塊空地，其邊長(zhǎng)為60米．公園設(shè)計(jì)部門為了給兒童提供更舒適更安全的活動(dòng)場(chǎng)地，準(zhǔn)備將空地中的四邊形（在上，在上）部分作為兒童活動(dòng)區(qū)，并用圍欄圍擋起來，只留三個(gè)出人口，即點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，而且根據(jù)實(shí)際需要，要使得，并將兒童活動(dòng)區(qū)（即四邊形）劃分為和兩種不同的游戲場(chǎng)地，兒童活動(dòng)區(qū)之外的部分種植花草．（1）【模型感知】請(qǐng)參考【方法前置】的思路在圖②中證明．（2）【模型應(yīng)用】如圖②，若，請(qǐng)你計(jì)算兒童活動(dòng)區(qū)的面積；（3）【模型拓展】如圖③，連接，若，與線段分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系．鞏固訓(xùn)練1．（2016上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知1號(hào)、4號(hào)兩個(gè)正方形的面積和為7，2號(hào)、3號(hào)兩個(gè)正方形的面積和為4，則a，c這2個(gè)方形的面積和為（）

A．10 B．15 C．22 D．122．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點(diǎn)，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長(zhǎng)，則的大小為_____．3．（2023上·山東淄博·八年級(jí)周村二中?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形的外側(cè)作等邊，則______度．4．（2023上·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的頂點(diǎn)O與正方形的對(duì)角線交點(diǎn)O重合，正方形和正方形的邊長(zhǎng)都是，則圖中重疊部分的面積是____．5．（2023上·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐【問題情境】如圖1，正方形中，點(diǎn)E為其內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，以為斜邊構(gòu)造直角三角形，使得，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C），延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．【解決問題】請(qǐng)根據(jù)圖1完成下列問題：（1）若，則∠=_度；（2）試判斷四邊形的形狀，并給予證明；【拓展探究】（3）如圖2，若，請(qǐng)寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．（2024上·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，若，則正方形的邊長(zhǎng)為_______；【問題探究】（2）如圖②，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)不與、重合，過點(diǎn)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，試判斷的形狀，并說明理由；【問題解決】（3）如圖③，四邊形是某果園的平面示意圖，該果園共有、、、、五個(gè)出口，其中出口在邊上，已知．米，米，米，，、為果園內(nèi)兩條小路，現(xiàn)在的中點(diǎn)處修建一個(gè)臨時(shí)庫(kù)房，沿修一條運(yùn)輸通道．試求該運(yùn)輸通道的長(zhǎng)度．7．（2024上·湖南衡陽·七年級(jí)?？计谀┧倪呅问钦叫危D(zhuǎn)一定角度后得到，如圖所示，如果，，．求：

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；(2)求的長(zhǎng)度和的度數(shù)．8．（2023上·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知正方形和（點(diǎn)C，D，E在直線同側(cè)），把繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．(1)如圖1，若點(diǎn)E在正方形邊上（），則與的位置關(guān)系是________．(2)如圖2，若點(diǎn)E在正方形內(nèi)部（，）．①（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．②若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．9．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀與理解圖1是邊長(zhǎng)分別為m和的兩個(gè)正方形紙片和疊放在一起的圖形（點(diǎn)F，G分別在，上）．(1)操作與證明①將圖1中的正方形固定，將正方形繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖2所示．猜想：線段與之間的大小關(guān)系，并證明你的猜想；②若將圖1中的正方形繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，連接，，如圖3所示．那么（1）中的結(jié)論還是否成立嗎？請(qǐng)說明理由．(2)操作與發(fā)現(xiàn)根據(jù)上面的操作過程發(fā)現(xiàn)，當(dāng)為________度時(shí)，線段的最大值是________；當(dāng)為________度時(shí)，線段的最小值是________？10．（2023上·甘肅隴南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，正方形，連接，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)若，求點(diǎn)F到的距離．11．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，操作：把正方形的對(duì)角線放在正方形的邊的延長(zhǎng)線上（），取線段的中點(diǎn)．探究：線段、的關(guān)系，并加以證明．

(1)說明：如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請(qǐng)你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；(2)在你經(jīng)歷說明（1）的過程后，可以從下列①、②、③中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明．注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選?、谕瓿勺C明得7分；選取③完成證明得5分．①的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且；②將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖），其他條件不變；③在②的條件下，且．附加題：將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖），其他條件不變．探究：線段、的關(guān)系，并加以證明．題型八中點(diǎn)四邊形【例1】（2023下·上海浦東新·八年級(jí)校考期末）下列命題中，真命題是（

）A．順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是矩形B．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是菱形C．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線垂直的四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是菱形D．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是矩形【例2】（2023上·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線，垂足為O，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，若，，則四邊形的面積為______．

【例3】（2023下·四川南充·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知矩形的面積為1．分別為的中點(diǎn)，若四邊形的面積為，分別為的中點(diǎn)，四邊形的面積記為，…，依此類推，第n個(gè)四邊形的面積記為，則___________．

鞏固訓(xùn)練1．（2023上·寧夏中衛(wèi)·九年級(jí)?？计谥校┤羲倪呅蝺蓷l對(duì)角線互相垂直，則順次連接其各邊中點(diǎn)得到的四邊形是（

）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形2．（2023上·甘肅酒泉·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若順次連接平行四邊形四邊的中點(diǎn)，得到的圖形是一個(gè)矩形，則平行四邊形一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形3．（2023上·山東棗莊·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）順次連結(jié)某四邊形的中點(diǎn)所得的圖形是菱形，則這個(gè)某四邊形一定是（

）A．正方形 B．矩形C．對(duì)角線相等的四邊形 D．平行四邊形4．（2023下·湖北襄陽·八年級(jí)?？计谥校╉槾芜B接矩形的中點(diǎn)所得的四邊形是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形5．（2023上·四川遂寧·九年級(jí)射洪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，點(diǎn)、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，點(diǎn)A到C的距離、點(diǎn)B到的距離都等于，則四邊形的周長(zhǎng)是________．6．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，、分別是線段、的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形的邊滿足__________時(shí)，四邊形是菱形．7．（2023上·廣東揭陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)、、、分別是四邊形邊、、、的中點(diǎn)，若四邊形是菱形，則四邊形的對(duì)角線和需要滿足的條件是______．8．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，E、F分別是、的中點(diǎn)，G、H分別是、的中點(diǎn)．

(1)請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形，請(qǐng)說明理由．(3)四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形，請(qǐng)說明理由．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考開學(xué)考試）閱讀與思考下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)，瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點(diǎn)、、，分別是邊、，，的中點(diǎn)，順次連接，、、，得到的四邊形是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654-1722）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交，于點(diǎn)、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)∵、分別為，的中點(diǎn)，∴，．（依據(jù)1）∴，∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形，（依據(jù)2）．∴，∵，∴．同理，…

任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：________．依據(jù)2是指：________．(2)如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，畫一個(gè)四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，滿足下列要求：①四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形的頂點(diǎn)都在小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)的上；

②四邊形是矩形，不是正方形．(3)在圖1中，分別連接，得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與對(duì)角線、長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

10．（2023下·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，對(duì)角線，，且，垂足為O，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形；再順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形，…如此下去得到四邊形．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求四邊形的面積．(3)直接寫出四邊形的面積（用含n的式子表示）．題型九動(dòng)點(diǎn)問題【例1】（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，已知，，點(diǎn)P以的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，若某時(shí)刻以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形和以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等，則a的值為（

）A．2 B．3 C．2或 D．2或【例2】（2022下·河南鄭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)___________時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【例3】（2022下·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是直角梯形，，，，點(diǎn)P從B點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)A以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)開始，沿DC邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從B、D同時(shí)出發(fā)，P、Q有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t．(1)t為__________時(shí)四邊形是平行四邊形；(2)t為何值時(shí)四邊形是矩形？(3)t為__________時(shí)四邊形是等腰梯形．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，為中點(diǎn)，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．連結(jié)，過點(diǎn)作，且，連結(jié)，點(diǎn)和點(diǎn)始終在直線的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．(3)連結(jié)，當(dāng)與平行四邊形的邊平行時(shí)，直接寫出的值．2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，邊上的高為8．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒），連結(jié)．(1)直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的值．(2)當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．(3)當(dāng)時(shí)，求的值．(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．3．（2022上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，．(1)四邊形能構(gòu)成菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由．4．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與探究如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別從點(diǎn)出發(fā)，沿，方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，所有點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．在相同時(shí)間內(nèi)，若，則．

(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，的值為______．(2)當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)重合？(3)當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？5．（2023上·廣東河源·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿向點(diǎn)B移動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），一直到達(dá)點(diǎn)B為止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿向點(diǎn)D移動(dòng)（不與點(diǎn)C、D重合）．運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為t秒．

(1)若點(diǎn)P、Q均以的速度移動(dòng)，則：_；_．（用含t的代數(shù)式表示）(2)若點(diǎn)P為的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度移動(dòng)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，使為等腰三角形？(3)若點(diǎn)P、Q均以的速度移動(dòng)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形為菱形．6．（2023上·陜西渭南·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

(1)當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？(3)（2）中的平行四邊形會(huì)不會(huì)是菱形？若能，請(qǐng)說明理由，若不能，當(dāng)Q速度不變，求出P點(diǎn)速度？7．（2023下·吉林·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以速度沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（）．

(1)的長(zhǎng)為______；(2)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；(3)連接，①是否存在t的值，使得與互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；②是否存在的值，使得與互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(4)若點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在直線上，請(qǐng)直接寫出的值．8．（2017上·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以，的速度從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，沿規(guī)定路線移動(dòng)．

(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng)，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？(2)若點(diǎn)P沿著移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間的面積為？9．（2023上·福建南平·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（秒）．(1)則___________，___________（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于？10．（2023上·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．

(1)若存在某一時(shí)刻，四邊形為正方形，求x的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，求t的值．11．（2023上·山東青島·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)．同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿、方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)（到點(diǎn)停止），點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為．(1)經(jīng)過多少秒為等邊三角形？(2)經(jīng)過多少秒四邊形的面積為．12．（2022下·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在，在中，，，，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t秒，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，連接、．

(1)求證：．(2)四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值，如果不能，請(qǐng)說明理由．題型十最值問題【例1】（2023下·湖南湘西·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如上圖所示，矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是（

）

A．6 B． C．12 D．【例2】（2023上·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別向終點(diǎn)B，C移動(dòng)，連接，在移動(dòng)的過程中，的最小值為______．

【例3】（2022上·陜西咸陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)是12，分別是上的點(diǎn)，已知，，求周長(zhǎng)的最小值___________．

【例4】（2023下·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知為等腰直角三角形，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，作正方形，使點(diǎn)，分別在邊和上，連接，．

(1)探索線段與的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論______；(2)將正方形繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度（旋轉(zhuǎn)角大于，小于或等于）時(shí)（如圖2），（1）的結(jié)論是否仍然成立？說明理由；(3)已知，，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為最大值時(shí)，求的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上移動(dòng)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）

A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，則四邊形BEFC周長(zhǎng)的最小值為__________．3．（2022上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）正方形中，點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，的最小值_____．

4．（2021上·陜西榆林·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，，，以為對(duì)角線作正方形，連接，則的最大值是___________．

5．（2021上·廣東韶關(guān)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，若，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，連接．則的最小值為___________．

6．（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為5，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作正方形，連接、，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)________．7．（2023下·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在上且．點(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則的最小值為________．8．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．9．（2023下·廣東廣州·八年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)交于E時(shí)，①如圖1，求證：．②如圖2，連接交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)F，試探究線段、、之間用等號(hào)連接的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，已知M為的中點(diǎn)，為對(duì)角線上一條定長(zhǎng)線段，若正方形邊長(zhǎng)為4，隨著P的運(yùn)動(dòng)，的最小值為，求線段的長(zhǎng)．

第二章四邊形（10類題型突破）答案全解全析題型一多邊形【例1】（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，這個(gè)多邊形是（

）A．四邊形 B．六邊形 C．八邊形 D．十邊形【答案】C【分析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算多邊形的邊數(shù)，解答的關(guān)鍵是要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，利用多邊形的內(nèi)角和公式，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)所求多邊形的邊數(shù)為，∴，解得：，故選：C．【例2】（2023上·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的總條數(shù)為________．【答案】【分析】本題考查多邊形的外角和以及對(duì)角線的條數(shù)．熟練掌握多邊形的外角和和對(duì)角線條數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的外角和為，求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)一個(gè)多邊形有條對(duì)角線，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)該多邊形有條邊，多邊形的外角和為，多邊形的每一個(gè)外角都等于，，該多邊形的對(duì)角線的數(shù)量為：（條），故答案為：．【例3】（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1所示，_________；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為_________．【答案】360°720°1080°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角和三角形內(nèi)角和的知識(shí)，得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）連接，交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對(duì)頂角的知識(shí)，得；結(jié)合五邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得；結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，交于點(diǎn)M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點(diǎn)M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為：故答案為：，，．【例4】（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，作、的平分線交于點(diǎn)稱為第1次操作，作、的平分線交于點(diǎn)稱為第2次操作，作、的平分線交于點(diǎn)稱為第3次操作，……，則第4次操作后的度數(shù)是______．

【答案】【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是找出操作的變化規(guī)律，得到與之間的關(guān)系．先根據(jù)、的平分線交于點(diǎn)，得出，再根據(jù)、的平分線交于點(diǎn)，得出，以此類推，得出再進(jìn)行計(jì)算即可，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵在四邊形中，，∴，∵、的平分線交于，∴，，∴，∵、的平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，同理，∴∴，故答案為：．鞏固訓(xùn)練：1．（2024上·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，則它的邊數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，根據(jù)相鄰的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角求出每一個(gè)外角的度數(shù)為，再用外角和除以，計(jì)算即可得解．【詳解】解：正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于，每一個(gè)外角的度數(shù)為，邊數(shù)，故選：C．2．（2024上·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谀┮粋€(gè)正多邊形，它的每個(gè)內(nèi)角是與其相鄰?fù)饨堑谋叮瑒t這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角的關(guān)系，先根據(jù)一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和外角互補(bǔ)關(guān)系列方程求出正多邊形的外角，再根據(jù)多邊形的外角和等于即可求出正多邊形的邊數(shù)，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)正多邊形的每個(gè)外角為，則每個(gè)內(nèi)角為，依題意得，，解得，∴正多邊形的每個(gè)外角為，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，故選：．3．（2024上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谀┮粋€(gè)正多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為________度．【答案】120【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和正多邊形，首先設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：，即可求得，再由多邊形的內(nèi)角和除以9，即可求得答案．【詳解】解：設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：，解得：，∴這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于：．故答案為：120．4．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）十二邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為_______．【答案】/1800度【分析】本題考查了多邊形的外角和的求法．根據(jù)多邊形的公式解答即可．【詳解】解：十二邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為：故答案為：．5．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)校考期中）如圖，六角螺母的橫截面是正六邊形，則的度數(shù)為________．【答案】/60度【分析】根據(jù)正多邊形的外角相等，結(jié)合外角和為，求解即可．掌握正多邊形的每個(gè)外角都相等，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正六邊形的每個(gè)外角都相等，∴；故答案為：．6．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)正多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比是，則它是正________邊形．【答案】十二【分析】本題考查了正多邊形的定義，多邊形的外角定理等知識(shí)．先求出正多邊形的每個(gè)外角為，進(jìn)而得到正多邊形的邊數(shù)為12，問題得解．【詳解】解：∵正多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比是，∴這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，即它是正十二邊形．故答案為：十二7．（2023上·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是____________．【答案】/540度【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角和和外角和的綜合，先利用正多邊形的外角和為求得邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可．【詳解】解：∵正多邊形的每個(gè)外角為，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，∴這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為，故答案為：．8．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，則________________．【答案】9．（2020上·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則________．【答案】0【分析】將兩個(gè)六邊形分別進(jìn)行拆分，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和計(jì)算即可得出答案.【詳解】如圖1所示，將原六邊形分成了兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，∴=180°×2+360°=720°如圖2所示，將原六邊形分成了四個(gè)三角形∴=180°×4=720°∴m-n=0故答案為0.10．（2017下·山東東營(yíng)·七年級(jí)校考期中）如圖所示，________．

【答案】360【分析】如圖：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得、，進(jìn)而得到，最后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可解答．將所求角的和轉(zhuǎn)化為四邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得、，則．故答案為360．

11．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，求=________．

【答案】【分析】連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可證得，進(jìn)而根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點(diǎn)

在和中，，，．12．（2023上·廣西賀州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)（不與，，重合），點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（與，不在同一直線上）．令，，．(1)若點(diǎn)在邊上，如圖①所示，且，則______；(2)若點(diǎn)在的外部，如圖②所示，則，，之間有何關(guān)系？說明理由；(3)若點(diǎn)在的邊的延長(zhǎng)線上，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)120(2)(3)或【分析】本題主要考查三角形外角定理、四邊形內(nèi)角和和對(duì)頂角相等，利用三角形外角定理和四邊形內(nèi)角和，即可求得答案；利用三角形外角定理和對(duì)頂角相等即可求得答案；分兩種情況，根據(jù)點(diǎn)P離點(diǎn)A的遠(yuǎn)近可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，則；（3）如圖，當(dāng)直線在直線下面時(shí)，∵，，，∴，∴,；如圖，當(dāng)直線在直線上面時(shí)，∵，，，，∴，∴；故或．題型二平行四邊形【例1】（2023上·山東淄博·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，過平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)O，交于E，交于F，若平行四邊形的周長(zhǎng)為36，，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．24 B．26 C．28 D．20【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先利用證明，從而得，，再求得平行四邊形周長(zhǎng)的一半為多少，然后利用關(guān)系式，即可求得答案．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，對(duì)角線的交點(diǎn)為，，，又，，，，平行四邊形的周長(zhǎng)為36，，四邊形的周長(zhǎng)為：．故選：A．【例2】（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)?？计谥校┤羝叫兴倪呅沃袃蓚€(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為1∶3，則其中較大的內(nèi)角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形性質(zhì)；根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)性質(zhì)，可設(shè)：這兩個(gè)角的度數(shù)分別為和，則，解方程可得答案．【詳解】由已知可設(shè)這兩個(gè)角的度數(shù)分別為和，依題意得：，解得．所以，較大的角是．故選：D．【例3】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，還需要補(bǔ)充下列條件中的（

）A． B． C． D．【答案】C【例4】（2023下·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的對(duì)角線、交于點(diǎn)O，平分交于點(diǎn)E，且，，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，成立的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，利用角平分線的性質(zhì)證明是等邊三角形，然后推出，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角、三線合一進(jìn)行推理解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵平分，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，故①正確；∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵，∴E為中點(diǎn)，∴，故③錯(cuò)誤；∵，，∴，故④正確；故正確的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：B．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC＝4，BD＝10，AB＝6．若要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則OB的長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B2．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）有下列說法：①平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等；②平行四邊形的對(duì)角線互相平分；③平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；④平行四邊形的對(duì)角線相等．其中正確的說法有（

）A．4個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C3．（2023上·山東威?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，過對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．19 C．22 D．32【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；證明，得出，，進(jìn)而可得四邊形的周長(zhǎng)為，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，，，，，．又，，，，四邊形的周長(zhǎng)為：．故選C．4．（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，若添加一個(gè)條件，能判斷四邊形為平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理，根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．由，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平形四邊形，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．5．（2023下·四川德陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，E為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)．若的面積為6，則的面積為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】此題主要考查利用平行四邊形的性質(zhì)．首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形和的高相等，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴平行四邊形和的高相等，，故選：C．6．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┎荒芘卸ㄒ粋€(gè)四邊形是平行四邊形的條件是（

）A．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行 B．一組對(duì)邊平行且相等C．兩條對(duì)角線互相平分 D．兩組對(duì)邊分別相等【答案】A【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，故A選項(xiàng)正確；一組對(duì)邊平行且相等，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩條對(duì)角線互相平分，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩組對(duì)邊分別相等，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．7．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考期末）如圖，四邊形是平行四邊形，為的中點(diǎn)，連接，將沿著所在的直線折疊，點(diǎn)剛好落在上的處，若，則的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，證明出，得到，再證明出，從而得到，即可求出的長(zhǎng)．掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，四邊形是平行四邊形，，，，，為的中點(diǎn)，，在和中，，，，由沿著所在的直線折疊得到，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．8．（2024上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，于E，則的度數(shù)為_______．【答案】/22度【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩個(gè)銳角互余，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，得到，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，因?yàn)?，在中，即可求出的度?shù)．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，在中，，故答案為：．9．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，AB，CD是兩條相交的線段，O分別是它們的中點(diǎn)，當(dāng)線段DC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)（DC，AB不重合），連接AC，CB，BD，DA所得到的四邊形ACBD始終是________．理由是_________．【答案】平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形10．（2024上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分，交于點(diǎn)E，，，則長(zhǎng)為______.【答案】3【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得，，；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得；根據(jù)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線可得；推得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，，即可列出等式，求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，則，∴，同理可證：，∵，即，解得：；故答案為：3．11．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考期末）如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）證，得，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，然后由勾股定理得，求出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在和中，又∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，即的長(zhǎng)為．12．（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)校考期中）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，，求的大?。敬鸢浮?1)見解析(2)130°【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論；（2）等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)，平角的定義求出的度數(shù)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）由（1）可知四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴．13．（2023上·湖南岳陽·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，在四邊形中，，，垂足分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)、，分別交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，若，．求證：四邊形為平行四邊形；【答案】見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定，證明，可得，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可解決問題；解題的關(guān)鍵是證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形．14．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點(diǎn)．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點(diǎn)，作交射線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)3(3)或【詳解】解：（1）證明：，．，，，四邊形是平行四邊形．（2）在中，，．平分，，，．如圖①，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．圖①，，，，．（3）如圖②、圖③，作交射線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖②．圖②，，，．四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，．由（2）易知．，，．又，，即；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③．圖③同理可得，，，即．綜上所述，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為或15．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，AO＝BO，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點(diǎn)．求證：四邊形AEBF是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：∵AC∥DB，∴∠ACD＝∠BDC．∵∠AOC＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．∵E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點(diǎn)，∴，，∴OE＝OF．又∵AO＝BO，∴四邊形AEBF是平行四邊形．16．（2024·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）在四邊形中，，，，，點(diǎn)從出發(fā)以的速度向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，而另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．若是上一點(diǎn)，且，t取何值時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？【答案】或【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由題意知，分當(dāng)點(diǎn)在線段上，當(dāng)在線段上，兩種情況求解；①當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，即，計(jì)算求解即可；②當(dāng)在線段上，時(shí)，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，是上一點(diǎn)，即，∴，，①當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴，解得；②當(dāng)在線段上，時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴，解得；綜上所述，或時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．17．（2023上·山東淄博·八年級(jí)周村二中校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，連接、、、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等：（1）由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，再證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）先利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，求出即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：，，，∴，∵，∴（同高三角形），∵，∴．題型三中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形【例1】（2023上·遼寧鐵嶺·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A．該圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．該圖不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．該圖不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．該圖是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【例2】（2024上·廣東深圳·八年級(jí)深圳外國(guó)語學(xué)校校考期末）八年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，為研究中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，對(duì)于已知以及外的一點(diǎn)，分別作，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，得到．如圖，則下列結(jié)論不成立的是（

）

A．點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn) B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了中心對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷即可，掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵和關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，，故成立；∵與是對(duì)頂角，∴，故成立；∵的對(duì)應(yīng)角是，∴，故不成立；故選：．【例3】（2023上·廣東肇慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將置于平面直角坐標(biāo)系中，三角形所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，畫出以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，與成中心對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)．

【答案】畫圖見解析，，，【分析】本題考查了中心對(duì)稱作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的特征．分別找到點(diǎn)，，，關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，順次連接即可；【詳解】解：如圖所示，∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，，．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考期末）剪紙文化是中國(guó)最古老的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿著條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，根據(jù)定義即可判斷；【詳解】解：A、該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形故此選項(xiàng)符合題意；B、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形故此選項(xiàng)不符合題意；D、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)校聯(lián)考期末）下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：．是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；．是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；．是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；．是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（2024上·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考期末）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的判斷是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：B．4．（2024上·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，則的長(zhǎng)是____【答案】【分析】本題考查中心對(duì)稱，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題．【詳解】解：與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，，，，，，，，故答案為：．5．（2024上·廣東珠海·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，，，．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出，使它和關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，；(2)的坐標(biāo)為______．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的定義畫圖即可；（2）利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如下圖，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的概念可知：，連結(jié)即可，就是所要求畫的三角形；（2）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的概念可知：，的坐標(biāo)為．6．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正三角形網(wǎng)格中，已知兩個(gè)小正三角形被涂黑．(1)再將圖①中其余小三角形涂黑一個(gè)，使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形(畫出兩種不同的涂法)；(2)再將圖②中其余小三角形涂黑兩個(gè)，使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)中心對(duì)稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查軸對(duì)稱作圖和中心對(duì)象作圖，選擇合適的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意選擇合適的對(duì)稱軸作圖即可；（2）先根據(jù)題意選擇合適的對(duì)稱中心作圖即可．【詳解】（1）解：如下圖所示，即為所求作的圖形，（2）如下圖所示，即為所求作的圖形，題型四三角形的中位線【例1】（2023上·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的中，點(diǎn)D，E在邊AB上，的平分線于F，的平分線于H，若，，則的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．18 D．20【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理．證明，推出，，同理，，得到是的中位線，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵平分，且，∴，，，∴，∴，，同理可證，，∴是的中位線，∴，∴的周長(zhǎng)為，故選：D．【例2】（2024上·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)若的面積等于，則三角形的面積等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，利用三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，