【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)湘教版】第一章 直角三角形（7類題型突破）

第一章直角三角形（7類題型突破）題型一直角三角形的性質(zhì)與判定【例1】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，BE，CF分別是AC，AB邊上的高，M為BC的中點(diǎn)，EF＝5，BC＝8，則△EFM的周長(zhǎng)是（

）A．12 B．13 C．15 D．16【例2】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P、Q是邊長(zhǎng)為的等邊邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，它們的速度都為，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若為直角三角形，則t的值為（）A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6鞏固訓(xùn)練：1．（湖南省湘西州2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，衣架框內(nèi)部可以近似看成一個(gè)等腰三角形，記為等腰三角形．若是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2023上·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角板按如圖所示擺放，其中，，則∠2為（

）A． B． C． D．3．（2024上·寧夏吳忠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，的垂直平分線交于，連接，若，則（

）A． B． C． D．4．（2023上·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．5．（2024上·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，嘉嘉利用刻度直尺（單位：）測(cè)量三角形紙片的尺寸，點(diǎn)B，C分別對(duì)應(yīng)刻度尺上的刻度2和8，D為的中點(diǎn)，若，則，的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．（2024上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，是的中點(diǎn)，，則______．7．（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，為等邊三角形，，M、N分別同時(shí)從A、B出發(fā)，沿箭頭所示方向在射線、射線上運(yùn)動(dòng)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度都為1；、交于P；（1）若M、N在的邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，則_________；（2）經(jīng)過(guò)_________秒時(shí)，為直角三角形．8．（2024上·河北秦皇島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，公路互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)．若測(cè)得的長(zhǎng)為，則M，C兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_____．9．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┰诘妊?，，，是上任意一點(diǎn)，，，______．

10．（2023上·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，是的中點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是______．11．（2023上·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為．當(dāng)點(diǎn)第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，兩點(diǎn)重合？(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，可得到等邊三角形？(3)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，可得到直角三角形？12．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）已知中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，作于，于．(1)當(dāng)直線在外部時(shí)（圖（），求證：；(2)當(dāng)直線在內(nèi)部時(shí)（圖（），猜想線段，與之間又有怎樣的關(guān)系．證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，連接，若，，求四邊形的面積．13．（2024上·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等腰中，，，為邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖①所示，以為頂點(diǎn)，為腰向右側(cè)作等腰，，且，若，，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)______．(2)如圖②所示，以為頂點(diǎn)，為腰向右側(cè)作等腰，，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；(3)如圖③所示，以為頂點(diǎn)，為斜邊作等腰，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，猜想；與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．14．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）某校在一塊所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知，這種草皮每平方米售價(jià)元，求購(gòu)買這種草皮需要多少元．18．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖所示，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（P不與A，C重合），Q是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由點(diǎn)B向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合）．連接交于點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．題型二判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【例1】（2024上·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．4，5，6【例2】（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┲?，，，的對(duì)邊分別記為a，b，c，有下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．如果，則B．如果，則為直角三角形C．如果a，b，c長(zhǎng)分別為6，8，10，則a，b，c是一組勾股數(shù)D．如果，則為直角三角形【例3】（2024上·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三邊長(zhǎng)為、、，則下列條件能判斷是直角三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【例4】（2023上·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”的“生長(zhǎng)”過(guò)程：如圖1，一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，經(jīng)過(guò)第一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形，面積分別為6和8，且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為_(kāi)_____；再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，第2024次“生長(zhǎng)”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”上所有正方形的面積之和為_(kāi)_____（填數(shù)字）．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┰谙铝兴慕M數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，， B．8，15，20 C．，，1 D．7，24，252．（2024上·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．12、15、18 B．3、4、5 C．1.5、2、2.5 D．6、9、153．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）以下三組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（

）A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，134．（2024上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)分別作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A． B． C． D．5．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，6．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┰谙铝袟l件中：①；②；③；④，能確定是直角三角形的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．10，24，268．（2023上·福建泉州·八年級(jí)南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面積依次為6、8、9，則正方形D的面積為_(kāi)_______．9．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖①），三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，那么它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了次后形成的圖形中所有正方形的面積和是__________．10．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為_(kāi)_______．11．（2023上·廣西梧州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x，y，z是三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足，則該三角形的形狀是______．12．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后知道：直角三角形三邊長(zhǎng)是整數(shù)時(shí)我們稱之為“勾股數(shù)”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，于是王老師提出以下問(wèn)題讓學(xué)生解決．若兩直角邊為，斜邊為．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、______、______；(2)當(dāng)（為奇數(shù)，且）時(shí)，若______，______時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；(3)當(dāng)（為偶數(shù)，且）時(shí)，若______，______時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(4)構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請(qǐng)你尋找當(dāng)時(shí)，______．13．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)南師附中宿遷分校?？计谥校で竽承┕蓴?shù)的規(guī)律(1)對(duì)于任何一組已知的勾股數(shù)都擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，就得到了一組新的勾股數(shù)．例如：，若把它擴(kuò)大若把它擴(kuò)大2倍，3倍就分別是和，····若把它擴(kuò)大11倍，就得到________，若把它擴(kuò)大若把它擴(kuò)大n倍(n為正整數(shù))，就得到_________(2)對(duì)于任意一個(gè)大于1的奇數(shù)，存在下列勾股數(shù)：若勾股數(shù)為3，4，5，因?yàn)槿艄垂蓴?shù)為5，12，13，則有①若勾股數(shù)為7，24，25，則有__________②若勾股數(shù)為17，，根據(jù)以上的規(guī)律，求a、b的值．14．（2024上·上海浦東新·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D是直角三角形，，點(diǎn)分別在邊上，且，，．

(1)證明：線段能組成直角三角形；(2)當(dāng)是邊上的中點(diǎn)時(shí)，判斷：的位置關(guān)系．15．（2024上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知中，于，．(1)分別求的長(zhǎng)；(2)是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論．題型三勾股定理的應(yīng)用【例1】（勾股定理與無(wú)理數(shù)）（2023上·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【例2】（求大樹(shù)折斷前的高度）（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一棵樹(shù)在離地面處折斷，樹(shù)的頂部落在離底部處．樹(shù)折斷之前高（）

A． B． C． D．【例3】（求小鳥飛行距離）（2023下·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在公園內(nèi)有兩棵樹(shù)相距8米，一棵樹(shù)高15米．另一棵樹(shù)高9米，一只小鳥從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥至少要飛__________米．

【例4】（引葭赴岸問(wèn)題）（2023上·內(nèi)蒙古包頭·八年級(jí)包鋼第三中學(xué)?？计谥校┰谖覈?guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為16尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面2尺．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為_(kāi)_____尺．【例5】（臺(tái)階地毯?jiǎn)栴}）（2024下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在一個(gè)高為6m、長(zhǎng)為10m、寬為2.5m的樓梯表面鋪設(shè)地毯．若每平方米地毯40元，則鋪設(shè)地毯至少需要花費(fèi)______元．【例6】（梯子滑動(dòng)問(wèn)題）（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一架云梯長(zhǎng)25米，如圖，靠在一面墻上，梯子底端離墻7米．(1)這個(gè)梯子的頂端距離地面有多高?(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了多少米?【例7】（秋千、旗桿問(wèn)題）（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┕垂啥ɡ硎侨祟悢?shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在的位置時(shí)，踏板離地的垂直高度為0.6m，將秋千往前推送3m，到達(dá)的位置，此時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為1.6m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．

(1)求秋千的長(zhǎng)度；(2)如果想要踏板離地的垂直高度為2.6m，則需要將秋千往前推送多少米？【例8】（航海問(wèn)題）（2023上·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，我軍巡邏艇正在處巡邏，突然發(fā)現(xiàn)在南偏東方向距離海里的處有一艘走私船，以海里小時(shí)的速度沿南偏西方向行駛，我軍巡邏艇立刻沿直線追趕，半小時(shí)后在點(diǎn)處將其追上．求我軍巡邏艇的航行速度是多少？【例9】（汽車超速問(wèn)題）（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）某條高速公路限速，如圖，一輛大巴車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀處的正前方的處，過(guò)了，大巴車到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得大巴車與車速檢測(cè)儀間的距離為．(1)求的長(zhǎng)．(2)這輛大巴車超速了嗎？鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為（

）A． B． C．2 D．2．（2023上·寧夏銀川·八年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以數(shù)軸上的單位線段長(zhǎng)為寬，以2個(gè)單位線段長(zhǎng)為長(zhǎng)，作一個(gè)長(zhǎng)方形，以數(shù)軸原點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)方形的對(duì)角線為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)是歷史上較早發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用“勾股定理”的國(guó)家之一，“勾股定理”描述了直角三角形三條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，請(qǐng)運(yùn)用“勾股定理”解決以下問(wèn)題：如圖，一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱形飲料罐，將一根筆直的吸管從頂面正中的小圓孔插入飲料罐，若罐壁厚度和頂部圓孔直徑均忽略不計(jì)，則吸管在飲料罐內(nèi)部的最大長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．4．（2023上·陜西榆林·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口出發(fā)，甲輪船以20海里/時(shí)的速度向南偏東方向航行，乙輪船向南偏西方向航行．已知它們離開(kāi)港口2時(shí)后，兩艘輪船相距60海里，則乙輪船的平均速度為（

）A．海里/時(shí) B．20海里/時(shí) C．海里/時(shí) D．海里/時(shí)5．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)到數(shù)軸的距離為1，那么數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為_(kāi)_____.6．（2024上·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一棵樹(shù)的10米高的處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹(shù)跑到處（離樹(shù)20米）的池塘邊，另一只爬到樹(shù)頂后直接躍到處，距離以直線計(jì)算，若兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高_(dá)_____米．7．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高米，另一棵高米，兩樹(shù)相距米一只鳥從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥至少飛行______米

8．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）《九章算術(shù)》是古代數(shù)學(xué)著作，書中記載：“今有開(kāi)門去閫（讀kǔn，門檻）一尺，不合二寸，問(wèn)：門廣幾何？”題目大意是如圖①、圖②（圖②為圖①的俯視示意圖），今推開(kāi)雙門，門框上點(diǎn)和點(diǎn)到門檻的距離為1尺（1尺寸），雙門間的縫隙為2寸，則門寬的長(zhǎng)是______寸．9．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要_______米的地毯．

10．（2023上·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在高，斜坡長(zhǎng)，寬為的樓梯表面鋪地毯，則地毯的面積至少需要_____．11．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一架梯子長(zhǎng)米，斜靠在墻上（墻與地面垂直），梯子底端至墻的距離為米．(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？(3)若梯子的中點(diǎn)為，梯子在下滑的過(guò)程中，的長(zhǎng)是否發(fā)生變化，如變化說(shuō)明變化規(guī)律，如果不變直接寫出的長(zhǎng)度．12．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一圖書館的兩個(gè)書柜相對(duì)平行擺放，當(dāng)把一架梯子斜靠在左側(cè)書柜時(shí)，梯子底端到左側(cè)書柜底角的距離0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右側(cè)書柜上時(shí)，頂端距離地面2米，那么兩個(gè)書柜的距離是多少米？13．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）為節(jié)約用電，某住宅樓將單元門廳照明燈更換為人體感應(yīng)燈，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)燈感應(yīng)范圍內(nèi)（即人體頭頂與感應(yīng)燈的距離小于或等于感應(yīng)距離）時(shí)，感應(yīng)燈亮．如圖，當(dāng)身高的成年人與感應(yīng)燈A的水平距離為時(shí)，感應(yīng)燈剛好亮；當(dāng)身高的小朋友與感應(yīng)燈A的水平距離為時(shí)，感應(yīng)燈A也剛好亮，求感應(yīng)燈A到地面的距離的長(zhǎng)．

14．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）2022年第3號(hào)臺(tái)風(fēng)“退芭”于7月2日15時(shí)前后在廣東電白登陸，給當(dāng)?shù)卦斐闪司薮髶p失．如圖，一棵垂直于地面且高度為16米的“風(fēng)景樹(shù)”被臺(tái)風(fēng)折斷，樹(shù)頂A落在離樹(shù)底部C的8米處，求這棵樹(shù)在離地面多高處被折斷．15．（2024上·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一棵豎直的大杉樹(shù)在一次臺(tái)風(fēng)中被刮斷，樹(shù)頂落在離樹(shù)根處，工作人員要查看斷痕處的情況，在離樹(shù)根有的處架起一個(gè)長(zhǎng)的梯子，點(diǎn)在同一條直線上，求這棵樹(shù)原來(lái)的總高度．16．（2023上·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，湖面上有一朵盛開(kāi)的紅蓮，它高出水面．大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為，則水深是多少？17．（2024上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一輛轎車從地以的速度向正東方向行駛，同時(shí)一輛貨車以速度從地向正北方向行駛，2小時(shí)后兩車同時(shí)到達(dá)走向公路上的兩地．(1)求兩地的距離；(2)若要從地修建一條最短新路到達(dá)公路，求的距離．18．（2024上·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一段筆直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到達(dá)，段行人無(wú)法直接到達(dá)，王瑩想測(cè)量這段公路的總長(zhǎng)度，于是她在公路一側(cè)的地面上取點(diǎn)D，經(jīng)測(cè)量得知，于點(diǎn)C，米，米，米，請(qǐng)你求出這段公路的總長(zhǎng)度．19．（2024上·陜西西安·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，明明在距離河面高度為的岸邊C處，用長(zhǎng)為的繩子拉點(diǎn)B處的船靠岸，若明明收繩后，船到達(dá)D處，則船向岸A移動(dòng)了多少米？

20．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）校車安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的重大問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)九年一班數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下檢測(cè)公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn)：先在公路旁邊選取一點(diǎn)，再在筆直的車道上確定點(diǎn)，使與垂直，測(cè)得長(zhǎng)等于21米，在上點(diǎn)的同側(cè)取點(diǎn)，使．(1)求的長(zhǎng)（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）；(2)已知本路段對(duì)校車限速40千米/小時(shí)，若測(cè)的某輛校車從到用時(shí)3秒，這輛校車是否超速？說(shuō)明理由．21．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某海港的正東方向海里處有一海島，氣象站發(fā)現(xiàn)在海島的正南方向海里的處有一臺(tái)風(fēng)中心，測(cè)得它正以海里/小時(shí)的速度沿方向向海港運(yùn)動(dòng)，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，周圍海里以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明海島會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？(2)求出臺(tái)風(fēng)中心同時(shí)影響海港和海島的時(shí)長(zhǎng)．22．（2023上·甘肅張掖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖某貨船以20海里的速度將一批重要的物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí)，接到氣象部門的通知，一臺(tái)風(fēng)中心、以40海里的速度由A處向北偏西方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里以內(nèi)的圓形區(qū)域會(huì)受到影響.（）問(wèn)：(1)B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)以內(nèi)卸完貨物？(3)如果B處受到臺(tái)風(fēng)影響，那么求出影響的時(shí)間.23．（2022上·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某校有一塊三角形空地，，為了更好的落實(shí)“雙減”政策，豐富孩子們的課業(yè)生活，學(xué)校計(jì)劃將該三角形空地改造成多功能區(qū)域，現(xiàn)要求將三角形區(qū)域設(shè)計(jì)成手工制作區(qū)，其余部分設(shè)計(jì)成健身區(qū)，經(jīng)測(cè)量：米，米，米，米.(1)求的度數(shù)；(2)求圖中健身區(qū)（陰影部分）的面積.24．（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)校考期末）為了綠化環(huán)境，我縣某中學(xué)有一塊空地，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量．求出該空地的面積．25．（2023上·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量，求出空地的面積．題型四最短路徑問(wèn)題【例1】（2023上·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為4cm，寬為4cm，高為3cm，cm，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C，則需要爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．6cm【例2】（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）現(xiàn)有一個(gè)圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計(jì)），其底面圓的周長(zhǎng)為，高為，在杯子內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對(duì)，此時(shí)一只螞蟻正好在杯子外壁，離容器上沿的點(diǎn)處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（

）A． B． C． D．【例3】（2023上·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，牧童在A處放牛，牧童家在B處，A，B處距河岸的距離的長(zhǎng)分別為和，且C，D點(diǎn)的距離為，天黑前牧童從A處將牛牽到河邊飲水再回家，那么牧童最少要走的距離為_(kāi)_____．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一個(gè)無(wú)蓋的半圓柱形容器，它的高為，底面半圓直徑為，點(diǎn)A處有一只螞蟻沿如圖所示路線爬行，它想吃到上底面圓心B處的食物，則爬行的最短路程是多少（取3）（

）A． B．8 C． D．102．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)m，寬m．中間豎有一堵磚墻高m，一只螞蚱從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走（

）的路程．A． B． C． D．3．（2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的型池的示意圖，該型池可以看作是長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為的半圓，其邊緣，點(diǎn)在上，，一名滑板愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）m（邊緣部分的厚度可以忽略不計(jì)，取3）A．17 B． C． D．4．（2023下·天津·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，這時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_(kāi)___________．5．（2023上·江西撫州·八年級(jí)江西省撫州市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬、高分別為9cm，7cm，5cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長(zhǎng)是_______cm．6．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽(yáng)光，其莖蔓常繞著附近的樹(shù)干沿最短路線盤旋而上．如圖，如果把樹(shù)干看成圓柱體，它的底面周長(zhǎng)是，當(dāng)一段葛藤繞樹(shù)干盤旋1圈升高為時(shí)，這段葛藤的長(zhǎng)為_(kāi)_______．7．（2023上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞1圈到達(dá)點(diǎn)，那么所用細(xì)線最短需要________；如果從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)，那么所用細(xì)線最短需要________．8．（2023上·寧夏銀川·八年級(jí)銀川一中校聯(lián)考期中）如圖，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高是．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面圍繞一圈到達(dá)點(diǎn)．那么所用的細(xì)線最短長(zhǎng)度是__________厘米．9．（2023上·遼寧·八年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的不在同一條直線上的三點(diǎn)，，，若滿足點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后恰好與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“垂等點(diǎn)”．請(qǐng)根據(jù)以上定義，完成填空：如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“垂等點(diǎn)”，連接，，則的最小值是__________．10．（2024上·遼寧遼陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有一個(gè)圓柱體禮盒，高，底面周長(zhǎng)為．現(xiàn)準(zhǔn)備在禮盒表面粘貼彩帶作為裝飾，若彩帶一端粘在處，另一端繞禮盒側(cè)面周后粘貼在處（為的中點(diǎn)），則彩帶最短為_(kāi)____．題型五直角三角形全等的判定【例1】（2023上·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長(zhǎng)度相等，那么判定與全等的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．【例2】（2024上·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，要根據(jù)“”證明，應(yīng)添加的直接條件是________.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山西呂梁·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，根據(jù)“”添加條件________可得．2．（2023上·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，若根據(jù)“”判定，則需要添加的條件是____________．3．（2024上·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，為上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，連交邊于．求證：(1)；(2)．4．（2024上·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和都是等邊三角形．(1)求證；(2)連接，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)連接，求證．5．（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，相交于點(diǎn)O，，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．6．（2024上·北京海淀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，連接，平分．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．7．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，是其對(duì)角線，分別過(guò)點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若在面積為1，且，直接寫出四邊形的面積．8．（2015上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，是過(guò)點(diǎn)A的直線，于D，于點(diǎn)E；(1)若B、C在的同側(cè)（如圖1所示）且．求證：；(2)若B、C在的兩側(cè)（如圖2所示），且，其他條件不變，與仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2024上·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，垂足分別為，，交于點(diǎn)，，．(1)求證；(2)接，若，，，通過(guò)用不同方法計(jì)算四邊形的面積，驗(yàn)證勾股定理．10．（2023上·吉林·八年級(jí)校考期中）如圖，，，垂足分別為D，C，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．題型六角平分線的性質(zhì)【例1】（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，利用尺規(guī)在上分別截取，使；分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)．若為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例2】（2023上·廣東湛江·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，中，是邊上的高線，平分，交于點(diǎn)E，，，則的面積等于（

）A．11 B．8 C．12 D．3【例3】14．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：多種方法作角的平分線：數(shù)學(xué)興趣課上，老師讓同學(xué)們利用尺規(guī)作的平分線，同學(xué)們以小組為單位展開(kāi)了討論．勤學(xué)小組展示了學(xué)習(xí)過(guò)的作法：如圖1，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)M，N；再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線，則即為的平分線．善思小組展示了他們的方法：如圖2，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)；在上取一點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)G．再以點(diǎn)G為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線；點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)P，作射線，則為的平分線．任務(wù)：①根據(jù)勤學(xué)小組的作圖方法，證明：是的平分線；②根據(jù)善思小組的作圖方法，證明：是的平分線；鞏固訓(xùn)練1．（2024上·廣東湛江·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，以頂點(diǎn)4為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D，若，則點(diǎn)D到的距離是（

）A．6 B．2 C．3 D．42．（2023上·遼寧盤錦·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，垂直平分，垂足為Q，交于點(diǎn)P．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；⑤作射線．若與的夾角為，則α的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，再分別以M，N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，連接，過(guò)P作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E．若，，那么的面積為（

）

A． B． C． D．4．（2024上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．連接DE，DF，若，則一定等于（

）A． B． C． D．5．（2023上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，請(qǐng)觀察尺規(guī)作圖的痕跡（D，E，F(xiàn)分別是連線與邊的交點(diǎn)），則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2023上·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，平分，于，如果，則等于（

）A． B． C． D．7．（2024上·寧夏吳忠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，做射線交邊于點(diǎn)，若，，則的面積是_____．8．（2024上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)C在上，，P為內(nèi)一點(diǎn)，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，點(diǎn)P到的距離為_(kāi)_______．9．（2023上·廣西柳州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，平分，若，，則的面積為_(kāi)____．10．（2023上·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，平分，，，若，則面積是________．11．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，分別平分和，過(guò)點(diǎn)且與垂直，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知點(diǎn)到的距離為，則_______．

12．（2024上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，以點(diǎn)A為圓心，以小于長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交，于F，E兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線，交于點(diǎn)M．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，垂足為N，試探究是否平分．13．（2020上·廣東廣州·八年級(jí)廣州市第八十六中學(xué)?？计谥校┰谥校堑钠椒志€，交于E，F(xiàn)在上，．求證：(1)；(2)．14．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，四邊形中，，連接，．(1)如圖（1），若，證明：．(2)如圖（2），平分，證明：．題型七折疊問(wèn)題【例1】（2022上·新疆伊犁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知，求的長(zhǎng)（

）A．3 B． C．5 D．6【例2】（2023上·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．3.5 D．4【例3】（2023上·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將長(zhǎng)方形紙片如圖折疊，B，C兩點(diǎn)恰好重合落在邊上的同一點(diǎn)P處，折痕分別是，，若，，，分別記，，的面積為則之間的數(shù)量關(guān)系是（）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，中，，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)．若沿將翻折，則________________．2．（2023上·山東棗莊·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將直角邊的直角紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，則等于________________．3．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中校考期末）如圖，在中，，，，邊的垂直平分線交于E，交于D，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________________．4．（2024上·遼寧遼陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，得到，當(dāng)與的直角邊垂直時(shí)，的長(zhǎng)是_____．5．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，折疊長(zhǎng)方形紙片，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處，折為．已知，．則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．6．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，三角形紙片中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，把沿著直線翻折，得到，交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，的面積為15，則的長(zhǎng)是______．7．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D,在中,,分別是邊上的點(diǎn),將沿折疊,使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在的中點(diǎn)處．若,,則的長(zhǎng)為_(kāi)___________cm．8．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）如圖，在中，，，，延長(zhǎng)至，使得，將沿翻折，使點(diǎn)落點(diǎn)處，連接，求的長(zhǎng)_______．

9．（2023上·寧夏銀川·八年級(jí)銀川九中?？计谥校┤鐖D，在中，，，，按圖中所示方法將沿折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)度；(2)求的面積．10．（2011上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上且與重合，求的長(zhǎng)11．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，，(1)試判斷折疊后重疊部分的形狀，并說(shuō)明理由．(2)求重疊部分的面積．12．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）小宇手里有一張直角三角形紙片，他無(wú)意中將直角邊AC折疊了一下，恰好使落在斜邊上，（如圖）小宇經(jīng)過(guò)測(cè)量得知兩直角邊，．(1)_____；____；____；(2)設(shè)為，則可用表示為_(kāi)______；(3)利用以上結(jié)論求出的長(zhǎng)．

第一章直角三角形（7類題型突破）答案全解全析題型一直角三角形的性質(zhì)與判定【例1】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，BE，CF分別是AC，AB邊上的高，M為BC的中點(diǎn)，EF＝5，BC＝8，則△EFM的周長(zhǎng)是（

）A．12 B．13 C．15 D．16【答案】B【例2】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P、Q是邊長(zhǎng)為的等邊邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，它們的速度都為，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若為直角三角形，則t的值為（）A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6【答案】D【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形性質(zhì)和解一元一次方程．假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，分兩種情況討論和，利用含角的直角三角形性質(zhì)列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，∵是等邊三角形，∴，當(dāng)時(shí)，則，∴，即，解得；當(dāng)時(shí)，則，∴，得，解得，∴當(dāng)t為6秒或3秒時(shí)，為直角三角形．故選：D．鞏固訓(xùn)練：1．（湖南省湘西州2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，衣架框內(nèi)部可以近似看成一個(gè)等腰三角形，記為等腰三角形．若是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)；由等腰三角形的性質(zhì)得，再由含角直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，D是的中點(diǎn)，∴；∵，∴；故選：D．2．（2023上·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角板按如圖所示擺放，其中，，則∠2為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的特征，在中，利用直角三角形兩銳角互余得，在中，利用直角三角形兩銳角互余得，再利用即可求解，熟練掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，故選D．3．（2024上·寧夏吳忠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，的垂直平分線交于，連接，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由直角三角形的性質(zhì)可得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵為的垂直平分線，∴，∴，∴，故選：．4．（2023上·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵是的垂直平分線，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．故選：B．5．（2024上·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，嘉嘉利用刻度直尺（單位：）測(cè)量三角形紙片的尺寸，點(diǎn)B，C分別對(duì)應(yīng)刻度尺上的刻度2和8，D為的中點(diǎn)，若，則，的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，斜邊上的中線等于斜邊的一半，據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∵D為的中點(diǎn)，，∴，故選：A．6．（2024上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，中，，是的中點(diǎn)，，則______．【答案】10【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握該性質(zhì)即可解題．【詳解】解：在中，，是的中點(diǎn)，線段是斜邊上的中線；又，．故答案為：．7．（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，為等邊三角形，，M、N分別同時(shí)從A、B出發(fā)，沿箭頭所示方向在射線、射線上運(yùn)動(dòng)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度都為1；、交于P；（1）若M、N在的邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，則_________；（2）經(jīng)過(guò)_________秒時(shí)，為直角三角形．【答案】/120度或【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．（1）證明，得到，進(jìn)而得到，利用三角形的內(nèi)角和定理，即可求出的度數(shù)；（2）分和，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：（1）∵為等邊三角形，∴，∵M(jìn)、N分別同時(shí)從A、B出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度都為1；∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，為直角三角形，由題意，得：，∴，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，即：，解得：；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，即：，解得：；綜上：或；故答案為：或．8．（2024上·河北秦皇島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，公路互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)．若測(cè)得的長(zhǎng)為，則M，C兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_____．【答案】【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，解答即可．【詳解】解：是公路的中點(diǎn)，，，，，兩點(diǎn)間的距離為．故答案為：．9．（2024上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考期中）在等腰中，，，是上任意一點(diǎn)，，，______．【答案】2【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30度的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．作于，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)，，，列出等式，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)作于，

，，∵，，，，則，則，故答案為：2．10．（2023上·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，是的中點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是______．【答案】/25度【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的外角性質(zhì)．根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)求得，再推出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．11．（2023上·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為．當(dāng)點(diǎn)第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，兩點(diǎn)重合？(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，可得到等邊三角形？(3)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，可得到直角三角形？【答案】(1)6秒(2)2秒(3)【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多，列出方程求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形，根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，列出方程求解即可；（3）分點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)的三種情況，再分別就和列方程求解可得．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒后，兩點(diǎn)重合，則，解得：，即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)6秒后，兩點(diǎn)重合；（2）解：設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形，如圖，根據(jù)題意得：，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，，解得，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒后，可得到等邊三角形；（3）解：當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，若，∴，，∴，，即，解得：；如圖，若，，∴，∴，即，解得：；當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)M也在上，此時(shí)A，M，N不能構(gòu)成三角形；若點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)點(diǎn)N位于中點(diǎn)處時(shí)，∵是等邊三角形，∴此時(shí)，即是直角三角形，此時(shí)，解得：，如圖，當(dāng)點(diǎn)M位于中點(diǎn)處時(shí)，∵是等邊三角形，∴此時(shí)，即是直角三角形，此時(shí)；綜上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，可得到直角三角形．12．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）已知中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，作于，于．(1)當(dāng)直線在外部時(shí)（圖（），求證：；(2)當(dāng)直線在內(nèi)部時(shí)（圖（），猜想線段，與之間又有怎樣的關(guān)系．證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，連接，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．理由見(jiàn)解析(3)20【分析】本題側(cè)重考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．（1）由平行線的判定與性質(zhì)可得．再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由平行線的判定與性質(zhì)可得．再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；（3）連接．根據(jù)三角形的面積之間關(guān)系可得答案．【詳解】（1）證明：，，，,，，在和中，，，，，，；（2）解：．理由如下：，，，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：連接，由（2）知，，，，．13．（2024上·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等腰中，，，為邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖①所示，以為頂點(diǎn)，為腰向右側(cè)作等腰，，且，若，，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)______．(2)如圖②所示，以為頂點(diǎn)，為腰向右側(cè)作等腰，，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；(3)如圖③所示，以為頂點(diǎn)，為斜邊作等腰，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，猜想；與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而可得，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，則，，即可得出；（3）設(shè)，根據(jù)題意得出，，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，證明，得出，證明得出，等量代換可得，即可得證．【詳解】（1）解：∵等腰中，，，∴，∵，∴，∴，又∵是等腰直角三角形，∴∴∴又∵，∴∴的周長(zhǎng)為，故答案為：．（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵等腰，∴，∵，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，在中，∴∴，∴（3）解：猜想，證明如下，設(shè)∵，，∴，∵，∴，∵是的外角，則，又∴如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴又∵∴∴，∴∵，∴在中，，∴∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，在中，∴∴∴，即14．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）某校在一塊所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知，這種草皮每平方米售價(jià)元，求購(gòu)買這種草皮需要多少元．【答案】元【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，涉及到三角形的面積公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)推出高的長(zhǎng)度，正確的計(jì)算出的面積．作邊的高，設(shè)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，由，即可求出，然后根據(jù)三角形的面積公式即可推出的面積為，最后根據(jù)每平方米的售價(jià)即可推出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作邊的高，設(shè)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，，，，，，，每平方米售價(jià)元，購(gòu)買這種草皮的價(jià)格：元．答：購(gòu)買這種草皮需要元．18．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖所示，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（P不與A，C重合），Q是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由點(diǎn)B向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合）．連接交于點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】2【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由等邊三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，則，由此可得，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴．設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，則．∴（在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．），∴，解得，∴的長(zhǎng)為2．題型二判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【例1】（2024上·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．4，5，6【答案】C【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念，逐一判斷選項(xiàng)，從而得到答案．本題主要考查勾股數(shù)的概念，熟練掌握“若，且a，b，c是正整數(shù)，則a，b,c是勾股數(shù)”，是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、∵，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；B、∵0.3，0.4，0.5，不是正整數(shù)，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；C、∵，∴這組數(shù)是勾股數(shù)；D、∵，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)．故選：C．【例2】（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┲?，，，的對(duì)邊分別記為a，b，c，有下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．如果，則B．如果，則為直角三角形C．如果a，b，c長(zhǎng)分別為6，8，10，則a，b，c是一組勾股數(shù)D．如果，則為直角三角形【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴設(shè)，∵，，∴，∴，故不符合題意；B、∵，，∴，∴不是直角三角形，故符合題意；C、∵a，b，c長(zhǎng)分別為6，8，10，∴，且a，b，c的長(zhǎng)都是正整數(shù)，∴a，b，c是一組勾股數(shù)．故不符合題意；D、∵①，②，將①代入②得：，∴，∴是直角三角形，故不符合題意．故選：B．【例3】（2024上·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三邊長(zhǎng)為、、，則下列條件能判斷是直角三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的條件能否構(gòu)成直角三角形，從而求解即可，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】、∵，，，則，∴不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、∵，，，則，∴不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、∵，，，則，∴能組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；、∵，，，則∴不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．【例4】（2023上·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”的“生長(zhǎng)”過(guò)程：如圖1，一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，經(jīng)過(guò)第一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形，面積分別為6和8，且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為_(kāi)_____；再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，第2024次“生長(zhǎng)”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”上所有正方形的面積之和為_(kāi)_____（填數(shù)字）．【答案】【分析】本題主要考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律等知識(shí)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積公式求出第一個(gè)正方形的面積，即可求得a的值；再根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)生長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，然后按照規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖：∵第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a,∴第一個(gè)正方形的面積為，由勾股定理得，，∴，即經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)生長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形的面積和為，∴，即，“生長(zhǎng)”第1次后所有正方形的面積和為，同理：“生長(zhǎng)”第2次后所有正方形的面積和為，……則“生長(zhǎng)”第2024次后所有正方形的面積和為，故答案為：，．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┰谙铝兴慕M數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，， B．8，15，20 C．，，1 D．7，24，25【答案】D【分析】本題考查勾股數(shù)．根據(jù)勾股數(shù)的定義“滿足的三個(gè)正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù)”逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，都不是正整數(shù)，因此1，，不是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；B、，因此8，15，20不是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；C、，都不是正整數(shù)，因此，，1不是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；D、，因此7，24，25是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（2024上·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．12、15、18 B．3、4、5 C．1.5、2、2.5 D．6、9、15【答案】B【分析】本題考查了勾股數(shù)，利用勾股數(shù)定義進(jìn)行分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；B、，其中3，4，5都是正整數(shù)，符合題意，因此是勾股數(shù)，符合題意；C、1.5，2.5不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；D、，因此不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：B．3．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）以下三組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（

）A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查了勾股數(shù)，勾股數(shù)：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．欲求證是否為勾股數(shù)，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：A、因?yàn)?，所以它們不是勾股?shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、因?yàn)?，所以它們不是勾股?shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、因?yàn)?，，都不是整?shù)，所以它們不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，所以它們是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)正確；故選：D．4．（2024上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)分別作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理的逆定理，是重要考點(diǎn)，難度較易，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理逆定理，如果一個(gè)三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個(gè)三角形為直角三角形．【詳解】解：A.，∴不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B.，∴2，2，3不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C.，∴能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；D.，∴不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．故選：C．5．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷A和B；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷C和D．【詳解】解：A、∵，，，，，是直角三角形，不符合題意；B、，，是直角三角形，不符合題意；C、，最大角，不是直角三角形，符合題意；D、，，，，是直角三角形，不符合題意故選：C．6．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┰谙铝袟l件中：①；②；③；④，能確定是直角三角形的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度求出中最大的內(nèi)角度數(shù)，即可判斷①②④，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷③．【詳解】解；∵，，∴，∴∠B=90°，∴能確定是直角三角形，故①正確；∵，，∴，∴能確定是直角三角形，故②正確；設(shè)，∵，∴不能確定是直角三角形，故③正確；∵，，∴，∴∴不能確定是直角三角形，故④正確；故選B．7．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．10，24，26【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，比較最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，即可判斷答案．【詳解】解：A、，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，符合題意；B、，能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；C、，能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；D、，能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；故選：A．8．（2023上·福建泉州·八年級(jí)南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面積依次為6、8、9，則正方形D的面積為_(kāi)_______．【答案】23【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形A、B的面積之和等于正方形E的面積，正方形C、E的面積之和等于正方形D的面積，即可得到結(jié)果.本題考查的是勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握股定理，即可完成．【詳解】由題意得，正方形E的面積為，則正方形D的面積.故答案為：9．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖①），三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，那么它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了次后形成的圖形中所有正方形的面積和是__________．【答案】【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，找到正方形的面積之和的遞增規(guī)律問(wèn)題可解．【詳解】解：設(shè)直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得，即兩個(gè)小正方形面積之和等于大正方形的面積．“生長(zhǎng)”1次后，所有正方形的面積和是；“生長(zhǎng)”2次后，所有的正方形的面積和是；推而廣之，“生長(zhǎng)”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．故答案為：．10．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為_(kāi)_______．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出面積標(biāo)記為的正方形的邊長(zhǎng)，得到，同理求出，得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的倍，∵正方形的邊長(zhǎng)為2，，∴面積標(biāo)記為的正方形邊長(zhǎng)為，則，面積標(biāo)記為的正方形邊長(zhǎng)為，則，面積標(biāo)記為的正方形的邊長(zhǎng)為，則，……，，則的值為：，故答案為：．11．（2023上·廣西梧州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x，y，z是三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足，則該三角形的形狀是______．【答案】直角三角形【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．根據(jù)絕對(duì)值、完全平方數(shù)和算術(shù)平方根的非負(fù)性，可求解出x，y，z的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，∵，∴三角形為直角三角形．故答案為：直角三角形．12．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┱n堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后知道：直角三角形三邊長(zhǎng)是整數(shù)時(shí)我們稱之為“勾股數(shù)”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，于是王老師提出以下問(wèn)題讓學(xué)生解決．若兩直角邊為，斜邊為．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、______、______；(2)當(dāng)（為奇數(shù)，且）時(shí)，若______，______時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；(3)當(dāng)（為偶數(shù)，且）時(shí)，若______，______時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(4)構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請(qǐng)你尋找當(dāng)時(shí)，______．【答案】(1)60，61(2)(3)，(4)25或52或101或29【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組一組勾股數(shù)：11，60，61；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后計(jì)算驗(yàn)證即可；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（3）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方的四分之一減一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后計(jì)算驗(yàn)證即可；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（4）由勾股定理可得：，再根據(jù)勾股定理可得；然后根據(jù)列舉法即可解答；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案為：60，61．（2）解：觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)（為奇數(shù)，且）時(shí)，則股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；則用含n的代數(shù)式表示每組第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)分別為：；證明如下：∵，∴，又∵n為奇數(shù)，且，∴n,三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．（3）解：觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)（為偶數(shù)，且）時(shí)，則股是勾的平方的四分之一減一，弦是勾的平方的四分之一加一；則用含n的代數(shù)式表示每組第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)分別為：，；證明如下：∵，∴，又∵n為偶數(shù)，且，∴n,，三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．（4）解：由勾股定理可得：，當(dāng)，則有:，即，當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：．綜上，c的值為25或52或101或29．13．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)南師附中宿遷分校?？计谥校で竽承┕蓴?shù)的規(guī)律(1)對(duì)于任何一組已知的勾股數(shù)都擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，就得到了一組新的勾股數(shù)．例如：，若把它擴(kuò)大若把它擴(kuò)大2倍，3倍就分別是和，····若把它擴(kuò)大11倍，就得到________，若把它擴(kuò)大若把它擴(kuò)大n倍(n為正整數(shù))，就得到_________(2)對(duì)于任意一個(gè)大于1的奇數(shù)，存在下列勾股數(shù)：若勾股數(shù)為3，4，5，因?yàn)槿艄垂蓴?shù)為5，12，13，則有①若勾股數(shù)為7，24，25，則有__________②若勾股數(shù)為17，，根據(jù)以上的規(guī)律，求a、b的值．【答案】(1)，(2)①；②，【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，勾股數(shù)問(wèn)題，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）先分別求出3，4，5分別擴(kuò)大11倍和擴(kuò)大n倍后的數(shù)，再根據(jù)勾股數(shù)的定義可得答案；（2）①仿照題意可得答案；②根據(jù)題意找到規(guī)律，（m、n都為正整數(shù)），則，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵3，4，5分別擴(kuò)大11倍得到，∴，3，4，5分別擴(kuò)大11倍得到，∴，故答案為：，；（2）解：①由題意得，，故答案為：；②，，，，，，……，以此類推，，（m、n都為正整數(shù)），∴，∴，∴，∴．14．（2024上·上海浦東新·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D是直角三角形，，點(diǎn)分別在邊上，且，，．

(1)證明：線段能組成直角三角形；(2)當(dāng)是邊上的中點(diǎn)時(shí)，判斷：的位置關(guān)系．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析．【分析】（）根據(jù)勾股逆定理即可求證；（）延長(zhǎng)，使得，連接，證明，得到，，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，進(jìn)而得到，由等腰三角形三線合一即可求證；本題考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴線段能組成直角三角形；（2）解：．理由：延長(zhǎng)，使得，連接，∵是邊上的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∵，∴，∵，∴，即．15．（2024上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知中，于，．(1)分別求的長(zhǎng)；(2)是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論．【答案】(1)，詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析．【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，（1）根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得，再在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得，然后利用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答；熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴的長(zhǎng)為12，的長(zhǎng)為16；（2）是直角三角形，理由：∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形．題型三勾股定理的應(yīng)用【例1】（勾股定理與無(wú)理數(shù)）（2023上·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理應(yīng)用，在直角三角形中根據(jù)勾股定理求得的值，即的值，進(jìn)而求出數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，熟練運(yùn)用勾股定理，同時(shí)注意根據(jù)點(diǎn)的位置以確定數(shù)的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可知：，∴，∴點(diǎn)所表示的數(shù)為，故選：．【例2】（求大樹(shù)折斷前的高度）（2023上·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，一棵樹(shù)在離地面處折斷，樹(shù)的頂部落在離底部處．樹(shù)折斷之前高（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，圖中為一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方，求出斜邊的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出樹(shù)折斷之前的長(zhǎng)度．【詳解】解：有勾股定理得：∵，∴（米）．∴樹(shù)折斷之前有18米．故選：D．【例3】（求小鳥飛行距離）（2023下·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在公園內(nèi)有兩棵樹(shù)相距8米，一棵樹(shù)高15米．另一棵樹(shù)高9米，一只小鳥從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥至少要飛____________米．

【答案】10【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹(shù)的頂端進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】如圖所示，為樹(shù)，且米，米，為兩樹(shù)距離8米，過(guò)作于E，則，在直角三角形中，．答：小鳥至少要飛10米．故答案為：10．

【例4】（引葭赴岸問(wèn)題）（2023上·內(nèi)蒙古包頭·八年級(jí)包鋼第三中學(xué)?？计谥校┰谖覈?guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為16尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面2尺．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為_(kāi)_____尺．【答案】【分析】本題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：如圖：設(shè)蘆葦長(zhǎng)為尺，則水深為尺．∵蘆葦長(zhǎng)在水池中央，（尺）根據(jù)勾股定理得：，則：，解得：，答：蘆葦長(zhǎng)尺．故答案為：．【例5】（臺(tái)階地毯?jiǎn)栴}）（2024下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在一個(gè)高為6m、長(zhǎng)為10m、寬為2.5m的樓梯表面鋪設(shè)地毯．若每平方米地毯40元，則鋪設(shè)地毯至少需要花費(fèi)______元．【答案】1400【例6】（梯子滑動(dòng)問(wèn)題）（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一架云梯長(zhǎng)25米，如圖，靠在一面墻上，梯子底端離墻7米．(1)這個(gè)梯子的頂端距離地面有多高?(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了多少米?【答案】(1)這個(gè)梯子的頂端距離地面有24米高(2)梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．（1）在中，直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，用的長(zhǎng)減去的長(zhǎng)，求解即可；掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：在中，，，∴；答：這個(gè)梯子的頂端距離地面有24米高；（2）∵，在中，，∴，∴．答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．【例7】（秋千、旗桿問(wèn)題）（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)校考期末）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在的位置時(shí)，踏板離地的垂直高度為0.6m，將秋千往前推送3m，到達(dá)的位置，此時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為1.6m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．

(1)求秋千的長(zhǎng)度；(2)如果想要踏板離地的垂直高度為2.6m，則需要將秋千往前推送多少米？【答案】(1)秋千的長(zhǎng)度是(2)需要將秋千往前推送【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，由勾股定理求出秋千的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得，證四邊形是矩形，得，則，；設(shè)秋千的長(zhǎng)度為，則，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）當(dāng)時(shí)，，則，得，然后在中，由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：由題意得：，∵，，，∴四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴，∵，∴，設(shè)秋千的長(zhǎng)度為，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即秋千的長(zhǎng)度是；（2）當(dāng)時(shí)，，∵，∴，由（1）可知，，∴，在中，由勾股定理得：，即需要將秋千往前推送．【例8】（航海問(wèn)題）（2023上·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，我軍巡邏艇正在處巡邏，突然發(fā)現(xiàn)在南偏東方向距離海里的處有一艘走私船，以海里小時(shí)的速度沿南偏西方向行駛，我軍巡邏艇立刻沿直線追趕，半小時(shí)后在點(diǎn)處將其追上．求我軍巡邏艇的航行速度是多少？【答案】我軍巡邏艇的航行速度是海里小時(shí)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；根據(jù)方向角的定義得到，得出，在中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，由題意得，，，，，巡邏艇沿直線追趕，半小時(shí)后在點(diǎn)處追上走私船，海里，在中，，海里，海里，海里，我軍巡邏艇的航行速度是海里小時(shí)．答：我軍巡邏艇的航行速度是海里小時(shí)．【例9】（汽車超速問(wèn)題）（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）某條高速公路限速，如圖，一輛大巴車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀處的正前方的處，過(guò)了，大巴車到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得大巴車與車速檢測(cè)儀間的距離為．(1)求的長(zhǎng)．(2)這輛大巴車超速了嗎？【答案】(1)(2)超速了【分析】（1）本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型．（2）本題用路程除以時(shí)間求出速度，再與限速進(jìn)行比較即可解題．【詳解】（1）解：由題意知，是直角三角形，，，()，即長(zhǎng)為．（2）解：大巴車的速度為：（），（），，這輛大巴車超速了．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)，掌握求法是解題的關(guān)鍵．由勾股定理可求，，即可求解．【詳解】解：由題意得，，由作法得：，；表示的數(shù)為；故選：A．2．（2023上·寧夏銀川·八年級(jí)銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以數(shù)軸上的單位線段長(zhǎng)為寬，以2個(gè)單位線段長(zhǎng)為長(zhǎng)