深度學(xué)習(xí)導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)：“勾股定理”單元教學(xué)設(shè)計

深度學(xué)習(xí)導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)：“勾股定理”單元教學(xué)設(shè)計單元整體教學(xué)是初中數(shù)學(xué)高效教學(xué)活動中重要的模式之一，相比較以往單一課時教學(xué)活動而言，單元整體教學(xué)立足全局視角，解讀單元整體內(nèi)容，分析學(xué)生學(xué)情，設(shè)計單元整體教學(xué)目標，制定單元教學(xué)流程，分析單元整體教學(xué)方法，設(shè)計單元整體活動等，從全局角度思考如何科學(xué)設(shè)定單元整體教學(xué)模式，多措并舉共同促進初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)質(zhì)量的提升。【教材分析】“勾股定理”是數(shù)與形的第一定理，古今中外無數(shù)學(xué)者對其進行了研究與證明。它刻畫了直角三角形的三邊關(guān)系，由“形”定“數(shù)”，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。勾股定理蘊含著豐富的歷史文化內(nèi)涵，推進了數(shù)的發(fā)展，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著重要地位，還在其他學(xué)科領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。人教版“勾股定理”包含勾股定理及其逆定理等相關(guān)內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形、二次根式等內(nèi)容之后展開的學(xué)習(xí)，是對三角形性質(zhì)的深入學(xué)習(xí)，其中包含對勾股定理的探索、發(fā)現(xiàn)以及證明的過程，蘊含了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，逆定理的證明則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的嚴謹性。勾股定理及其逆定理的學(xué)習(xí)加深了學(xué)生對直角三角形的認識，為后續(xù)矩形、二次函數(shù)綜合運用等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。【學(xué)情分析】“勾股定理”是初中階段的重難點內(nèi)容，學(xué)生在勾股定理之前學(xué)習(xí)了三角形、二次根式的相關(guān)知識，從幾何角度對三角形的相關(guān)知識進行了分析，從代數(shù)角度了解了二次根式的相關(guān)內(nèi)容，為學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理奠定了良好的基礎(chǔ)。八年級階段的學(xué)生，從學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)心理等諸多方面分析，具有好奇、好強、思維活躍等特征。因此在“勾股定理”的學(xué)習(xí)與實踐過程中，教師可以充分尊重學(xué)生主體，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與活動平臺，通過整個單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生深入理解勾股定理相關(guān)知識?！窘虒W(xué)目標】1.經(jīng)歷勾股定理的探索過程，感受勾股定理反映的直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，從而在探究過程中進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。2.體驗勾股定理的驗證過程，使學(xué)生經(jīng)歷猜想—推理—驗證的學(xué)習(xí)過程，體會數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。3.經(jīng)歷多角度思考問題、解決問題的過程，體驗解決問題的多樣化思路，拓展學(xué)生思考問題的思維方式。4.掌握直角三角形的性質(zhì)和判定，對勾股數(shù)的概念有深刻理解，能夠清晰認知勾股定理和逆定理之間的關(guān)系，并能用相關(guān)知識解決實際問題。（設(shè)計意圖：單元整體教學(xué)目標的設(shè)計是以核心素養(yǎng)為依據(jù)，綜合分析單元整體內(nèi)容，隨后制定系統(tǒng)的目標。深度學(xué)習(xí)視角下的單元整體教學(xué)以學(xué)生需求為本，使得課堂教學(xué)目標更加明確。不僅如此，在目標設(shè)定過程中，教師也明確了本單元學(xué)習(xí)的重難點內(nèi)容，使學(xué)生能夠進一步明確單元整體學(xué)習(xí)目標以及要達到的學(xué)習(xí)水平。）【教學(xué)建議】1.滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲取更多的與勾股定理相關(guān)的知識，以增加學(xué)生與勾股定理相關(guān)的知識背景，為探究學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。2.以思維培養(yǎng)為基礎(chǔ)，鼓勵學(xué)生在體驗、探索、應(yīng)用過程中深入體會勾股定理的相關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生深入體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。3.將學(xué)生分為學(xué)習(xí)小組，結(jié)合具體案例將抽象的概念具體化，幫助學(xué)生加深對知識的理解深度。4.加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透。通過勾股定理在幾何問題中的應(yīng)用，滲透數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)學(xué)建模思想?！締卧w教學(xué)流程】【教學(xué)過程】（一）探索勾股定理1.整體導(dǎo)入環(huán)節(jié)首先，從三角形的邊角關(guān)系入手，引出學(xué)習(xí)勾股定理的必然性。（三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊……）教師還可以提出操作任務(wù)：分別以3厘米、4厘米為直角邊做一個直角三角形，量一量斜邊的長度，并猜想這個直角三角形三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系。其次，通過上述操作活動，教師鼓勵學(xué)生以小組為單位進行設(shè)計與測量，再通過類似問題的探討，如將直角三角形兩個直角邊的長改為6cm和8cm，那么斜邊的長度是多少呢？這個直角三角形三邊的關(guān)系與上一個直角三角形的三邊關(guān)系相同嗎？通過銜接活動引導(dǎo)學(xué)生猜想學(xué)習(xí)結(jié)論，合理歸納直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)探究奠定基礎(chǔ)。2.小組合作，探究學(xué)習(xí)首先，教師設(shè)計探究任務(wù)，鼓勵學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)的方式對教師出示的問題進行合作討論，給出教材第23頁“探究”板塊圖形，提出問題。如，方格圖中含有幾個正方形，那么此正方形的面積為幾個單位面積等，通過提出問題的方式，引導(dǎo)學(xué)生認真觀察圖片內(nèi)容，并填寫表格，使學(xué)生在觀察、分析、數(shù)數(shù)的過程中探究數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，體會數(shù)形結(jié)合的奧秘。其次，在第一環(huán)節(jié)圖片觀察與討論的基礎(chǔ)上，初步提煉勾股定理的大致內(nèi)容，隨后讓學(xué)生說一說自己在第一環(huán)節(jié)中的收獲，并用數(shù)學(xué)語言進行總結(jié)，如SA+SB=SC，初步歸納出勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（等腰直角三角形、一般直角三角形）。通過這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，學(xué)生探究“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法。最后，教師鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)語言對勾股定理進行轉(zhuǎn)化、表達，使其通過表達方式的轉(zhuǎn)變，體會數(shù)學(xué)知識的奧秘。在此環(huán)節(jié)中，教師承接上述環(huán)節(jié)中總結(jié)的規(guī)律，讓學(xué)生用符號語言正確表達勾股定理的相關(guān)表達以及形式變換，感悟“形變質(zhì)通”的數(shù)學(xué)思想方法。如文字語言：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。符號語言：∠C=90°。（已知）那么a2+b2=c2（c2-a2=b2等）。3.驗證定理，提升能力首先，教師出示“趙爽弦圖”，并借助多媒體引入數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生說一說自己對于“趙爽弦圖”的理解，以及其中蘊含哪些知識。其次，教師鼓勵學(xué)生借助“趙爽弦圖”驗證勾股定理，將學(xué)生分成學(xué)習(xí)小組，然后根據(jù)三個正方形邊長之間的數(shù)量關(guān)系，最終得出勾股定理。在討論過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生用“內(nèi)嵌法”“外鑲法”兩種方法借助“趙爽弦圖”證明勾股定理，深入理解“形變質(zhì)通”的思想方法。最后，教師出示加菲爾德證明勾股定理的相關(guān)圖形，引導(dǎo)學(xué)生從另外的角度進行驗證，“拼梯形圖”的方式感受“總統(tǒng)證明法”。這一過程可以充分利用電子白板，通過線上、線下融合活動的方式，有效調(diào)動學(xué)生主動參與課堂活動的積極性。4.簡單應(yīng)用，建構(gòu)體系首先，出示典型例題：“如果從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點距離電線桿底部6m，那么需要多長的鋼索？”通過典型例題的運用，引導(dǎo)學(xué)生深入理解知識內(nèi)涵，遷移應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題，感受勾股定理的內(nèi)涵。其次，以小組為單位，分別對整堂課的知識進行梳理分析，用自己的方式呈現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，同時交流自己的感受，以及還有哪些問題想要深入了解。（設(shè)計意圖：單元整體視角下，探索勾股定理1課時內(nèi)容設(shè)計，按照“課堂導(dǎo)入—深入理解—遷移應(yīng)用”這一思路，打破了傳統(tǒng)勾股定理數(shù)格子總結(jié)勾股定理的傳統(tǒng)方式，引導(dǎo)學(xué)生在實際操作、數(shù)據(jù)猜想中發(fā)現(xiàn)勾股定理；將正方形、梯形面積等內(nèi)容與勾股定理聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生建立知識之間的必然聯(lián)系，從而將定理知識內(nèi)化。在深入探究環(huán)節(jié)，以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)，但是并沒有被教材內(nèi)容束縛，而是將內(nèi)容適當整合，通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證的過程，實現(xiàn)了單元整體視角下教與學(xué)的創(chuàng)新。）（二）一定是直角三角形嗎1.溫故知新通過問題引導(dǎo)的方式，回顧現(xiàn)階段學(xué)生掌握的知識：問題1：直角三角形有哪些性質(zhì)？問題2：如何判斷三角形是直角三角形？在上述兩個問題的基礎(chǔ)上，教師引出古埃及人得到直角的方法：“用13個等距的結(jié)，把一根繩子分成等長的12段，然后以3個結(jié)、4個結(jié)、5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角?！苯處熡靡曨l動畫演示整個過程，隨后請學(xué)生觀察這個三角形三邊的關(guān)系。2.畫一畫教師給出幾組不同數(shù)字，學(xué)生以小組為單位，結(jié)合數(shù)據(jù)進行畫圖分析，看看是不是所給出的幾組數(shù)字都能構(gòu)成直角三角形。①5，12，13；②6，8，10；③7，24，25；④2.5，6，6.5。問題1：這幾組數(shù)字都滿足勾股數(shù)嗎？問題2：根據(jù)以上數(shù)字畫出的三角形都是直角三角形嗎？通過觀察、繪畫的過程，檢驗學(xué)生對勾股定理知識的掌握程度。3.說一說問題1：你從上面幾個例子發(fā)現(xiàn)了什么？說一說自己的觀點。此時學(xué)生可以自由發(fā)言，根據(jù)溫故知新、畫一畫兩個環(huán)節(jié)，說一說自己得出的觀點：如果三角形的三邊長為a、b、c，滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形。問題2：你知道如何判定一個三角形是不是直角三角形嗎？通過問題2的引導(dǎo)，聯(lián)系問題1，學(xué)生可以清晰地了解勾股定理以及逆定理之間的互逆關(guān)系，進一步加深對勾股定理的認知。4.做一做教師通過典型例題，引導(dǎo)學(xué)生將課堂所學(xué)知識應(yīng)用于例題活動中，從而更進一步深化學(xué)生對勾股定理逆定理的理解深度。例題1：判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15cm，b=8cm，c=17cm；（2）a=13cm，b=15cm，c=14cm。例題2：在三角形ABC中，a=15cm，b=17cm，c=8cm，求這個三角形的面積。教師設(shè)計例題，引導(dǎo)學(xué)生將課堂所學(xué)內(nèi)容應(yīng)用于例題解答過程中，在例題設(shè)計中還可以延伸到生活場景中，檢驗學(xué)生能否將知識融會貫通。（設(shè)計意圖：本堂課內(nèi)容的設(shè)計同樣使學(xué)生經(jīng)歷了探索、猜想、歸納、驗證、應(yīng)用、拓展的過程，將直角三角形的判定等內(nèi)容融會貫通，并應(yīng)用于實踐活動中，達到提高學(xué)生應(yīng)用勾股定理逆定理解決問題能力的目的。）（三）勾股定理的應(yīng)用1.情境創(chuàng)設(shè)：怎么走最近如圖1，從教學(xué)綜合樓的B點走到二教學(xué)樓的A點，你知道怎么走最近嗎？（預(yù)設(shè)：兩點之間線段最短。）（設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)生活情境，學(xué)生初步認識到兩點之間線段最短，為后續(xù)探究合作做好充分準備。）2.小組合作，深度探究情境創(chuàng)設(shè)：小螞蟻從一個高是12cm，底面上圓的周長等于18cm的圓柱上運動，如果螞蟻在圓柱下底面的點A處，但是它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行到B點，求其爬行的最短路程是多少？關(guān)于最短距離的問題是勾股定理延伸問題中的重難點問題，也是易錯點，針對這一情境設(shè)計，教師可以將學(xué)生分為幾個探究小組，然后讓學(xué)生先根據(jù)自己的理解進行探究，在探究過程中，可根據(jù)學(xué)生的不同學(xué)習(xí)能力給出適當?shù)奶崾尽Ｌ崾?：觀察手里的圓柱體（每個小組一個），你能畫出幾條路線呢？你覺得哪條路線最短呢？提示2：我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓柱體的展開圖，那么在展開圖上你能找到B點的對應(yīng)位置嗎？請嘗試畫出圓柱體的展開圖，標出B點位置。提示3：在展開圖中從A點到B點的最短距離如何確定？提示4：在圓柱體中，螞蟻從A到B的最短路線，你覺得是哪一條呢？它沿側(cè)面爬行了多少距離？（設(shè)計意圖：最短距離問題是勾股定理中比較典型的變式問題，通過最短距離問題的設(shè)計，一方面能夠檢驗學(xué)生對本單元知識的學(xué)習(xí)深度，另一方面也能夠?qū)⒈締卧鶎W(xué)知識融會貫通，并運用于實際問題的解決過程中。在這一過程中，學(xué)生再次經(jīng)歷猜想、驗證、實踐、反思的過程，對學(xué)生而言也是知識理解、內(nèi)化的過程。）3.遷移運用，全面提升拓展問題1：長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm，如果一只螞蟻從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達點B，那么螞蟻爬行的最短路徑長為多少？拓展問題2：一個三級臺階，每級臺階長、寬、高分別為2dm、3dm、2dm，一只螞蟻想從A點爬到其對應(yīng)B點，你能幫螞蟻設(shè)計一條最短的路線嗎？求出最短路線的長。這一環(huán)節(jié)問題設(shè)計中，教師可以采用分層設(shè)計的方式。能力較強的學(xué)習(xí)小組，學(xué)生可以自主作圖，如果小組學(xué)生能力相對較差，那么需要教師給出立體圖和平面圖，并標注相應(yīng)的數(shù)據(jù)內(nèi)容，學(xué)生根據(jù)教師標注、提示，嘗試解決問題。（設(shè)計意圖：通過設(shè)計分層活動，不僅實現(xiàn)了因材施教，還將本單元知識與相關(guān)知識點系統(tǒng)串聯(lián)起來，使學(xué)生在解決問題的過程中建構(gòu)知識體系，有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量。）【教學(xué)反思】深度學(xué)習(xí)視角下單元整體教學(xué)設(shè)計是將單元內(nèi)容看作一個整體，從整體角度對本單元知識進行綜合整理與分析，制定單元整體教學(xué)目標，根據(jù)學(xué)情確定單元整體教學(xué)流程，設(shè)計驅(qū)動任