【大學(xué)課件】連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析引言數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)是利用微分方程來描述的計(jì)算機(jī)仿真利用計(jì)算機(jī)對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行模擬和分析系統(tǒng)分析分析系統(tǒng)的特性、性能和穩(wěn)定性連續(xù)系統(tǒng)的定義時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)變量隨時(shí)間連續(xù)變化，沒有時(shí)間間隔。狀態(tài)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間連續(xù)變化，沒有突變。描述用微分方程描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系。連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述微分方程描述系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系的頻率域表示脈沖響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)對單位脈沖輸入的響應(yīng)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系1輸入信號(hào)系統(tǒng)接受的外部信號(hào)，稱為輸入信號(hào)2系統(tǒng)處理輸入信號(hào)，并產(chǎn)生輸出信號(hào)3輸出信號(hào)系統(tǒng)對輸入信號(hào)的響應(yīng)，稱為輸出信號(hào)微分方程的概念與性質(zhì)描述系統(tǒng)輸入、輸出和時(shí)間之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式包含導(dǎo)數(shù)或微分項(xiàng)，反映系統(tǒng)隨時(shí)間的變化用于分析和預(yù)測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，如響應(yīng)特性和穩(wěn)定性常微分方程的求解方法1解析方法直接求解微分方程的精確解2數(shù)值方法利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬3拉普拉斯變換將時(shí)域信號(hào)變換到復(fù)頻域一階線性常微分方程方程形式一階線性常微分方程的一般形式為：dy/dt+p(t)y=q(t)求解方法使用積分因子法求解：積分因子為exp(∫p(t)dt)應(yīng)用場景廣泛應(yīng)用于電路、熱傳導(dǎo)、機(jī)械振動(dòng)等領(lǐng)域二階線性常微分方程1形式ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)2系數(shù)a,b,c是常數(shù)，f(t)是激勵(lì)函數(shù)3求解方法特征方程法常系數(shù)線性微分方程的一般解1齊次解求解特征方程，得到特征根，根據(jù)特征根的類型和重?cái)?shù)，確定齊次解的形式。2特解根據(jù)激勵(lì)函數(shù)的類型，選擇合適的特解形式，并代入微分方程求解特解的系數(shù)。3一般解將齊次解和特解疊加，得到微分方程的一般解。常系數(shù)線性微分方程的特解求解方法可以使用待定系數(shù)法和微分算子法來求解常系數(shù)線性微分方程的特解。待定系數(shù)法根據(jù)非齊次項(xiàng)的類型，假設(shè)特解的形式，然后代入方程，解出待定系數(shù)。微分算子法將微分方程轉(zhuǎn)化為算子方程，利用算子的性質(zhì)，求解特解。常系數(shù)線性微分方程的總結(jié)常系數(shù)線性微分方程的求解方法已涵蓋?？偨Y(jié)其主要步驟，便于理解和記憶。理解常系數(shù)線性微分方程的特點(diǎn)和求解步驟，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的系統(tǒng)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，了解不同階數(shù)、不同初始條件的常系數(shù)線性微分方程的求解方法。系統(tǒng)的初始條件初始狀態(tài)系統(tǒng)在開始運(yùn)行之前，各個(gè)狀態(tài)變量的初始值。初始狀態(tài)影響系統(tǒng)的響應(yīng)特性。初始條件的影響初始條件決定了系統(tǒng)響應(yīng)的初始值和變化趨勢，直接影響最終的響應(yīng)結(jié)果。初始條件的確定根據(jù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)際情況，確定合理的初始條件，以確保系統(tǒng)正常運(yùn)行。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的定義系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)輸入信號(hào)為常數(shù)信號(hào)或周期信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)輸出信號(hào)在時(shí)間趨于無窮大時(shí)的響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的意義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映了系統(tǒng)對輸入信號(hào)的長期響應(yīng)特性，是系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)之一。零輸入響應(yīng)初始條件零輸入響應(yīng)是指系統(tǒng)在沒有外部輸入的情況下，由于初始條件而產(chǎn)生的響應(yīng)。系統(tǒng)本身零輸入響應(yīng)取決于系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)，反映了系統(tǒng)的固有特性。自然衰減通常情況下，零輸入響應(yīng)會(huì)隨著時(shí)間的推移逐漸衰減，直到最終消失。零狀態(tài)響應(yīng)初始條件為零系統(tǒng)在時(shí)間t=0之前處于靜止?fàn)顟B(tài)，即所有狀態(tài)變量都為零。外部輸入驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)完全由外部輸入信號(hào)決定，不受初始條件的影響。綜合響應(yīng)1零輸入響應(yīng)系統(tǒng)在沒有外部輸入的情況下，由于初始條件而產(chǎn)生的響應(yīng)。2零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，由于外部輸入而產(chǎn)生的響應(yīng)。3總響應(yīng)系統(tǒng)在存在外部輸入和非零初始條件的情況下，產(chǎn)生的響應(yīng)。系統(tǒng)函數(shù)數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)函數(shù)將系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)聯(lián)起來。頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)可以幫助我們分析系統(tǒng)在不同頻率下的響應(yīng)。系統(tǒng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)計(jì)和優(yōu)化系統(tǒng)提供了重要信息。傳遞函數(shù)的概念系統(tǒng)特性傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)對不同頻率輸入的響應(yīng)。頻率響應(yīng)傳遞函數(shù)可以用來預(yù)測系統(tǒng)在不同頻率下的輸出。系統(tǒng)設(shè)計(jì)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析的重要工具。傳遞函數(shù)的性質(zhì)唯一性對于一個(gè)給定的線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)是唯一的。頻率響應(yīng)傳遞函數(shù)可以用來分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即系統(tǒng)對不同頻率信號(hào)的響應(yīng)特性。穩(wěn)定性傳遞函數(shù)可以用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是否能夠在受到擾動(dòng)后恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。傳遞函數(shù)的求解1拉普拉斯變換將微分方程變換到s域，得到傳遞函數(shù)。2代數(shù)運(yùn)算對s域的表達(dá)式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得到傳遞函數(shù)。3逆變換將s域的傳遞函數(shù)變換回時(shí)域，得到系統(tǒng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)定義當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。重要性脈沖響應(yīng)函數(shù)包含了系統(tǒng)所有動(dòng)態(tài)特性的信息，可以用來完全描述系統(tǒng)的行為。應(yīng)用脈沖響應(yīng)函數(shù)可用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度、頻率特性等。卷積積分定義卷積積分用于計(jì)算連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對任意輸入信號(hào)的輸出響應(yīng)。公式輸出信號(hào)y(t)等于輸入信號(hào)x(t)與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(t)的卷積。應(yīng)用卷積積分廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、控制系統(tǒng)、圖像處理等領(lǐng)域。卷積定理時(shí)域卷積兩個(gè)信號(hào)的卷積對應(yīng)于它們的拉普拉斯變換的乘積。頻域乘積兩個(gè)信號(hào)的頻域乘積對應(yīng)于它們的時(shí)域卷積的拉普拉斯變換。典型一階系統(tǒng)典型的一階系統(tǒng)通常由一個(gè)電阻和一個(gè)電容或電感組成。一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為:G(s)=K/(τs+1)其中K為增益，τ為時(shí)間常數(shù)。典型二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)是指系統(tǒng)微分方程中最高階導(dǎo)數(shù)為二階的系統(tǒng)。許多實(shí)際系統(tǒng)都可以用二階系統(tǒng)來近似，例如彈簧質(zhì)量系統(tǒng)、RLC電路等。典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以用以下公式表示：G(s)=ωn^2/(s^2+2ζωns+ωn^2)其中ωn為自然頻率，ζ為阻尼比。自然頻率ωn代表系統(tǒng)自由振蕩的頻率，阻尼比ζ代表系統(tǒng)阻尼的大小。一階和二階系統(tǒng)的參數(shù)一階系統(tǒng)參數(shù)時(shí)間常數(shù)τ增益K二階系統(tǒng)參數(shù)自然頻率ωn阻尼比ζ增益K一階和二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)1上升時(shí)間系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間2峰值時(shí)間系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到峰值所需的時(shí)間3