2025年滬科版七年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第09講 因式分解

第09講因式分解模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))；知識點1因式分解的概念把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.注意：(1)因式分解是針對多項式，而不是單項式；是針對多項式的整體，而不是部分.(2)因式分解的結(jié)果是整式的積的形式，積中幾個相同因式的積要寫成冪的形式.(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.(4)因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不能混淆，知識點2提公因式法1.公因式多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.注意：(1)公因式必須是每一項中都含有的因式，(2)公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.(3)公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.2.提公因式法如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示為其中稱為這個多項式的公因式。知識點3公式法1.平方差公式，即兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積.注意：(1)左邊是兩個數(shù)(整式)的平方，且符號相反.(2)右邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.(3)與既可以是單項式也可以是多項式.2.完全平方公式(1)定義：/即兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.注意：(1)公式左邊是三項式，其中首、末兩項分別是兩個數(shù)(或兩個式子)的平方，且這兩項的符號相同，中間一項是這兩個數(shù)(或兩個式子)的積的2倍，符號正、負(fù)均可.(2)公式右邊是這兩個數(shù)(或兩個式子)的和(或差)的平方.當(dāng)中間的乘積項與首、末兩項符號相同時，是和的平方；當(dāng)中間的乘積項與首、末兩項的符號相反時，是差的平方.考點01：公因式例題1．整式各項的公因式是．【變式1-1】多項式與多項式的公因式是在（

）A． B． C． D．【變式1-2】多項式與的公因式是．【變式1-3】（23-24七年級下·河北秦皇島·期末）多項式與多項式的公因式是．考點02提公因式法分解因式例題2.因式分解：【變式2-1】因式分解：．【變式2-2】因式分解：【變式2-3】分解因式：考點03：平方差公式分解因式例題3.分解因式：【變式3-1】因式分解：【變式3-2】因式分解：．【變式3-3】分解因式：．考點04：完全平方公式分解因式例題4.因式分解：；【變式4-1】因式分解：．【變式4-2】分解因式：【變式4-3】因式分解：．考點05：綜合運用公式法分解因式例題5.因式分解：．【變式5-1】因式分解：．【變式5-2】分解因式：(1)．(2)．【變式5-3】（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）因式分解(1)；(2)．考點06：綜合提公因式和公式法分解因式例題6.因式分解：．【變式6-1】因式分解：【變式6-2】因式分解：【變式6-3】因式分解：．考點07：分組分解法分解因式例題7.分解因式：．【變式7-1】因式分解：．【變式7-2】分解因式：．【變式7-3】因式分解：．考點08：因式分解的應(yīng)用例題8.因為，這說明多項式有一個因式為，我們把代入多項式，發(fā)現(xiàn)能使多項式的值為0．利用上述規(guī)律，回答下列問題：(1)若是多項式的一個因式，求k的值．(2)若和是多項式的兩個因式，試求m、n的值，并將該多項式因式分解．(3)分解因式：．【變式8-1】已知，，求的值．【變式8-2】已知，，是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說明理由．【變式8-3】請閱讀下面材料，并解答問題：閱讀材料：利用多項式乘法法則可知，所以因式分解．例如：．利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．(1)因式分解：①．②．(2)利用因式分解求方程的解．一、單選題1．（23-24七年級下·安徽六安·期末）下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確的是（）A． B．C． D．2．（23-24七年級下·安徽亳州·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級下·安徽淮北·期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題4．（23-24七年級下·安徽合肥·期末）分解因式：．5．（23-24七年級下·安徽滁州·期末）因式分解：．三、解答題6．（23-24七年級下·山東聊城·期末）把下列各式進行因式分解：(1)(2)7．（23-24七年級下·安徽六安·期末）（1）計算：（2）分解因式：8．（22-23七年級下·安徽阜陽·期末）長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2），回答下列問題：(1)觀察并說明上述操作能驗證的等式．(2)已知，求的值．9．（22-23七年級下·安徽安慶·期末）閱讀與思考整式乘法與因式分解是方向相反的變形．得．利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式進行因式分解，我們把這種方法稱為“十字相乘法”．例如：將式子分解因式．解：.請仿照上面的方法，解答下列問題：(1)分解因式：．(2)分解因式：．(3)若可分解為兩個一次因式的積，求整數(shù)p所有可能的值．10．（23-24七年級下·河北唐山·期末）材料1：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．材料2：分解因式：解：將“”看成一個整體，令，則原式，再將“A”還原，得：原式上述解題用到“整體思想”和“換元思想”，整體思想和換元思想是數(shù)學(xué)解題中常見的兩種思想方法．結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：(1)分解因式：；(2)分解因式：．

第09講因式分解模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))；知識點1因式分解的概念把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.注意：(1)因式分解是針對多項式，而不是單項式；是針對多項式的整體，而不是部分.(2)因式分解的結(jié)果是整式的積的形式，積中幾個相同因式的積要寫成冪的形式.(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.(4)因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不能混淆，知識點2提公因式法1.公因式多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.注意：(1)公因式必須是每一項中都含有的因式，(2)公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.(3)公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.2.提公因式法如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示為其中稱為這個多項式的公因式。知識點3公式法1.平方差公式，即兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積.注意：(1)左邊是兩個數(shù)(整式)的平方，且符號相反.(2)右邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.(3)與既可以是單項式也可以是多項式.2.完全平方公式(1)定義：/即兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.注意：(1)公式左邊是三項式，其中首、末兩項分別是兩個數(shù)(或兩個式子)的平方，且這兩項的符號相同，中間一項是這兩個數(shù)(或兩個式子)的積的2倍，符號正、負(fù)均可.(2)公式右邊是這兩個數(shù)(或兩個式子)的和(或差)的平方.當(dāng)中間的乘積項與首、末兩項符號相同時，是和的平方；當(dāng)中間的乘積項與首、末兩項的符號相反時，是差的平方.考點01：公因式例題1．整式各項的公因式是．【答案】【解析】解：各項的公因式是．故答案為：．【變式1-1】多項式與多項式的公因式是在（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，，∴多項式與多項式的公因式是，故選：A．【變式1-2】多項式與的公因式是．【答案】【解析】解：∵，，∴多項式與的公因式是．故答案為：．【變式1-3】（23-24七年級下·河北秦皇島·期末）多項式與多項式的公因式是．【答案】【解析】解：，，多項式與多項式的公因式是，故答案為：．考點02提公因式法分解因式例題2.因式分解：【答案】【解析】．【變式2-1】因式分解：．【答案】【解析】解：、．故答案為：．【變式2-2】因式分解：【答案】【解析】解：原式；故答案為．【變式2-3】分解因式：【答案】【解析】解：．考點03：平方差公式分解因式例題3.分解因式：【答案】【解析】解：．【變式3-1】因式分解：【答案】【解析】解：；故答案為：．【變式3-2】因式分解：．【答案】【解析】解：．故答案為．【變式3-3】分解因式：．【答案】．【解析】解：．考點04：完全平方公式分解因式例題4.因式分解：；【答案】【解析】．【變式4-1】因式分解：．【答案】【解析】解：故答案為：．【變式4-2】分解因式：【答案】【解析】解：．【變式4-3】因式分解：．【答案】【解析】解：．考點05：綜合運用公式法分解因式例題5.因式分解：．【答案】【解析】解：，故答案為：．【變式5-1】因式分解：．【答案】【解析】解：．【變式5-2】分解因式：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：（2）解：【變式5-3】（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）因式分解(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）解：；（2）解：．考點06：綜合提公因式和公式法分解因式例題6.因式分解：．【答案】．【解析】解：．【變式6-1】因式分解：【答案】【解析】解：原式；故答案為．【變式6-2】因式分解：【答案】【解析】解：故答案為：．【變式6-3】因式分解：．【答案】【解析】解：原式．故答案為：．考點07：分組分解法分解因式例題7.分解因式：．【答案】【解析】解：故答案為：．【變式7-1】因式分解：．【答案】【解析】解：．【變式7-2】分解因式：．【答案】【解析】解：．【變式7-3】因式分解：．【答案】【解析】解：．考點08：因式分解的應(yīng)用例題8.因為，這說明多項式有一個因式為，我們把代入多項式，發(fā)現(xiàn)能使多項式的值為0．利用上述規(guī)律，回答下列問題：(1)若是多項式的一個因式，求k的值．(2)若和是多項式的兩個因式，試求m、n的值，并將該多項式因式分解．(3)分解因式：．【答案】(1)；(2)m、n的值分別為和0；(3)【解析】（1）解：當(dāng)時，，∵是多項式的一個因式，∴當(dāng)時，，∴，∴（2）解：∵和是多項式的兩個因式，∴當(dāng)或時，，∴或時，，∴，解得，∴原多項式為；（3）解：．【變式8-1】已知，，求的值．【答案】528【解析】解：∵，，∴．【變式8-2】已知，，是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說明理由．【答案】等腰三角形，理由見解析【解析】解：，，，，或，，，是的三邊，，為等腰三角形．【變式8-3】請閱讀下面材料，并解答問題：閱讀材料：利用多項式乘法法則可知，所以因式分解．例如：．利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．(1)因式分解：①．②．(2)利用因式分解求方程的解．【答案】(1)①；②(2)或【解析】（1）解：①，②；（2），，或，或，方程的解是或．一、單選題1．（23-24七年級下·安徽六安·期末）下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A．，從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B、，從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；C．，故本選項不符合題意；D．，等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故選：B．2．（23-24七年級下·安徽亳州·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，，故選：D．3．（23-24七年級下·安徽淮北·期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本選項正確，符合題意；D、，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C二、填空題4．（23-24七年級下·安徽合肥·期末）分解因式：．【答案】【解析】解：；故答案為：．5．（23-24七年級下·安徽滁州·期末）因式分解：．【答案】【解析】解：；故答案為：．三、解答題6．（23-24七年級下·山東聊城·期末）把下列各式進行因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）原式（2）原式7．（23-24七年級下·安徽六安·期末）（1）計算：（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）計算：；（2）分解因式：．8．（22-23七年級下·安徽阜陽·期末）長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖1），