2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第06講 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

第06講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，，.注意：它的使用條件為:，.知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；(2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；．考點(diǎn)01一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系例題1．若、是方程的兩個(gè)根，則的值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】已知，則，．【變式1-2】若、是方程的兩個(gè)根，則．【變式1-3】已知是一元二次方程的兩根，則的值為．考點(diǎn)02：根與系數(shù)關(guān)系的變形例題2．已知、是的兩個(gè)根，則的值為【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·四川·期中）已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是（

）A． B． C． D．【變式2-2】設(shè)a，b是方程的兩根，則代數(shù)式的值是．【變式2-3】（24-25九年級(jí)上·四川眉山·期中）已知實(shí)數(shù)，且，，則．例題3．已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．(1)求及a的值；(2)求的值【變式3-1】若a、b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【變式3-2】（24-25九年級(jí)上·四川內(nèi)江·期中）方程的兩根為，則．【變式3-3】（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·期中）已知一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為、，則的值為．例題4．（24-25九年級(jí)上·重慶萬州·期中）已知a、b是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式．【變式4-1】已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是．【變式4-3】（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）已知，是方程的兩個(gè)根，那么．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期中）如果關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）已知，是不為0的實(shí)數(shù)，且，若，，則的值為（

）A．23 B．15 C．10 D．54．（23-24七年級(jí)下·安徽馬鞍山·期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則方程必有一根為；②若方程無實(shí)根，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若方程兩根為、，且滿足，則方程，必有實(shí)根，；④若c是方程的一個(gè)根，則一定有；⑤若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤二、填空題5．（24-25九年級(jí)上·安徽黃山·期中）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則另一個(gè)根為．6．（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期中）已知，是方程的兩根，則．7．（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期中）若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，，且，下列說法：①；②，；③；④關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，．其中正確的說法是．（填寫序號(hào)）三、解答題8．（24-25九年級(jí)上·安徽阜陽·期中）已知等腰三角形一邊長為4，另兩邊恰好是關(guān)于的方程的根，求此三角形的另兩邊長．9．（22-23九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．10．（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．

第06講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，，.注意：它的使用條件為:，.知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；(2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；．考點(diǎn)01一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系例題1．若、是方程的兩個(gè)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)根，則有”，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解即可得．【解析】解：∵、是方程的兩個(gè)根，∴，故選：D．【變式1-1】已知，則，．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合方程即可得出結(jié)論．【解析】解：，，．故答案為：；．【變式1-2】若、是方程的兩個(gè)根，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，則，．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，再代入計(jì)算即可．【解析】解：、是方程的兩個(gè)根，，，，故答案為：．【變式1-3】已知是一元二次方程的兩根，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，程的兩根分別為和，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接計(jì)算即可．【解析】解：∵是一元二次方程的兩根，∴∴故答案為：．考點(diǎn)02：根與系數(shù)關(guān)系的變形例題2．已知、是的兩個(gè)根，則的值為【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解．正確理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得、，再把化為，再代入求值即可．【解析】解：∵m，n是方程的兩實(shí)數(shù)根，∴、，∴，故答案為：．【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·四川·期中）已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、質(zhì)數(shù)的定義，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到，再利用質(zhì)數(shù)求得，或，，再代值求解即可．【解析】解：∵、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，∴，則，或，，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，綜上，的值是，故選：B．【變式2-2】設(shè)a，b是方程的兩根，則代數(shù)式的值是．【答案】3【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以．故答案為：3．【變式2-3】（24-25九年級(jí)上·四川眉山·期中）已知實(shí)數(shù)，且，，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握其計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，設(shè)，，可得，將原式變形得，由此代入計(jì)算即可求解．【解析】解：已知實(shí)數(shù)，且，，∴設(shè)，，∴，即，∵，∴原式，故答案為：．例題3．已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．(1)求及a的值；(2)求的值【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形求值：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再由求出，則；（2）根據(jù)（1）所求，結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∵，∴，∴；（2）解：由（1）可得，，∴．【變式3-1】若a、b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【答案】5【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出與的值，再利用完全平方公式變形后代入計(jì)算即可．【解析】解：∵a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴．故答案為：5．【變式3-2】（24-25九年級(jí)上·四川內(nèi)江·期中）方程的兩根為，則．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是理解并掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，．利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式變形解答即可．【解析】解：方程的兩根為，，，，故答案為：．【變式3-3】（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·期中）已知一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為、，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，，再代入計(jì)算即可得出答案．【解析】解：∵一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為、，∴，，∴，故答案為：．例題4．（24-25九年級(jí)上·重慶萬州·期中）已知a、b是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、求代數(shù)式的值，由題意可得，，再將式子變形為，整體代入計(jì)算即可得解．【解析】解：∵a、b是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，∴，，∴，∴，故答案為：．【變式4-1】已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，代數(shù)式求值，若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)一元二次方程的解得出，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，再整體代入代數(shù)式計(jì)算即可得到答案．【解析】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，故答案為：．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是．【答案】2040【分析】本題考查一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握，．將代數(shù)式同時(shí)加上和減去，根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可得到答案.【解析】解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，，故答案為：．【變式4-3】（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）已知，是方程的兩個(gè)根，那么．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵：如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，，那么，．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，即，由題意可得，即，于是可推出，進(jìn)而可得，化簡即可得出答案．【解析】解：，是方程的兩個(gè)根，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，，，，，故答案為：．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期中）如果關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程的兩個(gè)根為，則，熟記根與系數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．設(shè)一元二次方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根為a，然后運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答即可．【解析】解：設(shè)一元二次方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根為a，∵一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為a，∴，解得：．故選C．2．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．利用一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，，將其代入原式中即可求出結(jié)論．【解析】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，．故選：．3．（23-24八年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）已知，是不為0的實(shí)數(shù)，且，若，，則的值為（

）A．23 B．15 C．10 D．5【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義，以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握解的意義和根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．將，進(jìn)行變形可知，為方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，的值,利用完全平方公式對代數(shù)式進(jìn)行變形即可求得其值．【解析】解：，是不為0的實(shí)數(shù)，由，，得，，又，，為一元二次方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，，，，故選：A．4．（23-24七年級(jí)下·安徽馬鞍山·期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則方程必有一根為；②若方程無實(shí)根，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若方程兩根為、，且滿足，則方程，必有實(shí)根，；④若c是方程的一個(gè)根，則一定有；⑤若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)．按照方程的解的含義、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對各選項(xiàng)分別討論，可得答案．【解析】解：①當(dāng)x=1時(shí)，，是方程的解，①的說法正確；②若方程無實(shí)根，則，∴，對于方程，，則方程無實(shí)根；②的說法不正確．③若方程兩根為，且滿足，，，，，即可得出方程，必有實(shí)根，，③的說法正確；④由是方程的一個(gè)根，得．當(dāng)，則；當(dāng)，則不一定等于0，那么④不一定正確；⑤若是一元二次方程的根，則，，，，，⑤的說法正確；綜上，①③⑤的說法正確；故選：D．二、填空題5．（24-25九年級(jí)上·安徽黃山·期中）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則另一個(gè)根為．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．【解析】解：設(shè)該方程的另一個(gè)根為，∵，，∴；故答案為．6．（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期中）已知，是方程的兩根，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得【解析】解：∵，是方程的兩根，∴，∴，故答案為：．7．（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期中）若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，，且，下列說法：①；②，；③；④關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，．其中正確的說法是．（填寫序號(hào)）【答案】①②④【分析】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用：若，是一元二次方程的兩根，則，．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，利用消去得到，從而即可對①進(jìn)行判斷；由于，，利用有理數(shù)的性質(zhì)可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的意義得到，即，則可對③進(jìn)行判斷；利用把方程化為，由于方程可變形為，所以或，于是可對④進(jìn)行判斷．【解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，∵，∴，∴，故①正確；∵，，∴，，故②正確；∵，∴，即，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴方程化為，∴，∵方程可變形為，∴或，解得，，故④正確．故答案為：①②④．三、解答題8．（24-25九年級(jí)上·安徽阜陽·期中）已知等腰三角形一邊長為4，另兩邊恰好是關(guān)于的方程的根，求此三角形的另兩邊長．【答案】此三角形的另兩邊長為4和2【分析】本題主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是注意進(jìn)行分類討論．分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)腰長為4時(shí)，把代入原方程求出m，