2025年滬科版八年級數(shù)學寒假預習 第06講 一元二次方程的根與系數(shù)的關系

第06講一元二次方程的根與系數(shù)的關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系知識點1一元二次方程的根與系數(shù)的關系一元二次方程的兩個實數(shù)根是，，.注意：它的使用條件為:，.知識點2一元二次方程的根與系數(shù)的關系的應用(1)驗根．不解方程，利用根與系數(shù)的關系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關系求關于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；．考點01一元二次方程根與系數(shù)的關系例題1．若、是方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】已知，則，．【變式1-2】若、是方程的兩個根，則．【變式1-3】已知是一元二次方程的兩根，則的值為．考點02：根與系數(shù)關系的變形例題2．已知、是的兩個根，則的值為【變式2-1】（24-25九年級上·四川·期中）已知、為質數(shù)且是方程的根，那么的值是（

）A． B． C． D．【變式2-2】設a，b是方程的兩根，則代數(shù)式的值是．【變式2-3】（24-25九年級上·四川眉山·期中）已知實數(shù)，且，，則．例題3．已知是方程的兩個實數(shù)根，且．(1)求及a的值；(2)求的值【變式3-1】若a、b是方程的兩個實數(shù)根，則．【變式3-2】（24-25九年級上·四川內江·期中）方程的兩根為，則．【變式3-3】（24-25九年級上·四川遂寧·期中）已知一元二次方程的兩實數(shù)根為、，則的值為．例題4．（24-25九年級上·重慶萬州·期中）已知a、b是關于x的一元二次方程的兩個根，則代數(shù)式．【變式4-1】已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為．【變式4-2】（24-25九年級上·四川成都·期中）已知是方程的兩個實數(shù)根，則的值是．【變式4-3】（24-25九年級上·四川宜賓·期中）已知，是方程的兩個根，那么．一、單選題1．（23-24八年級下·安徽滁州·期中）如果關于x的一元二次方程的一個實數(shù)根為，另一個實數(shù)根為（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）已知，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）已知，是不為0的實數(shù)，且，若，，則的值為（

）A．23 B．15 C．10 D．54．（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則方程必有一根為；②若方程無實根，則方程有兩個不相等的實根；③若方程兩根為、，且滿足，則方程，必有實根，；④若c是方程的一個根，則一定有；⑤若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤二、填空題5．（24-25九年級上·安徽黃山·期中）已知是一元二次方程的一個根，則另一個根為．6．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知，是方程的兩根，則．7．（23-24八年級下·安徽六安·期中）若關于x的一元二次方程的兩個根為，，且，下列說法：①；②，；③；④關于x的一元二次方程的兩個根為，．其中正確的說法是．（填寫序號）三、解答題8．（24-25九年級上·安徽阜陽·期中）已知等腰三角形一邊長為4，另兩邊恰好是關于的方程的根，求此三角形的另兩邊長．9．（22-23九年級上·安徽蕪湖·期中）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根和．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，求的值．10．（23-24八年級下·安徽亳州·期中）若是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．

第06講一元二次方程的根與系數(shù)的關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系知識點1一元二次方程的根與系數(shù)的關系一元二次方程的兩個實數(shù)根是，，.注意：它的使用條件為:，.知識點2一元二次方程的根與系數(shù)的關系的應用(1)驗根．不解方程，利用根與系數(shù)的關系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關系求關于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；．考點01一元二次方程根與系數(shù)的關系例題1．若、是方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系“設，是一元二次方程的兩個根，則有”，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系是解題關鍵．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系求解即可得．【解析】解：∵、是方程的兩個根，∴，故選：D．【變式1-1】已知，則，．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，結合方程即可得出結論．【解析】解：，，．故答案為：；．【變式1-2】若、是方程的兩個根，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握若方程的兩個實數(shù)根分別為、，則，．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到，，再代入計算即可．【解析】解：、是方程的兩個根，，，，故答案為：．【變式1-3】已知是一元二次方程的兩根，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關系，程的兩根分別為和，則根據(jù)根與系數(shù)的關系直接計算即可．【解析】解：∵是一元二次方程的兩根，∴∴故答案為：．考點02：根與系數(shù)關系的變形例題2．已知、是的兩個根，則的值為【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解．正確理解一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．由一元二次方程根與系數(shù)關系得、，再把化為，再代入求值即可．【解析】解：∵m，n是方程的兩實數(shù)根，∴、，∴，故答案為：．【變式2-1】（24-25九年級上·四川·期中）已知、為質數(shù)且是方程的根，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關系、質數(shù)的定義，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系得到，再利用質數(shù)求得，或，，再代值求解即可．【解析】解：∵、為質數(shù)且是方程的根，∴，則，或，，當，時，當，時，，綜上，的值是，故選：B．【變式2-2】設a，b是方程的兩根，則代數(shù)式的值是．【答案】3【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．先利用根與系數(shù)的關系得到，，然后利用整體代入的方法計算．【解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，所以．故答案為：3．【變式2-3】（24-25九年級上·四川眉山·期中）已知實數(shù)，且，，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握其計算方法是解題的關鍵．根據(jù)題意，設，，可得，將原式變形得，由此代入計算即可求解．【解析】解：已知實數(shù)，且，，∴設，，∴，即，∵，∴原式，故答案為：．例題3．已知是方程的兩個實數(shù)根，且．(1)求及a的值；(2)求的值【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形求值：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，，再由求出，則；（2）根據(jù)（1）所求，結合進行求解即可．【解析】（1）解：∵是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵，∴，∴；（2）解：由（1）可得，，∴．【變式3-1】若a、b是方程的兩個實數(shù)根，則．【答案】5【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關系、完全平方公式、代數(shù)式求值等知識點，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．先利用根與系數(shù)的關系求出與的值，再利用完全平方公式變形后代入計算即可．【解析】解：∵a，b是方程的兩個實數(shù)根，∴，∴．故答案為：5．【變式3-2】（24-25九年級上·四川內江·期中）方程的兩根為，則．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系，代數(shù)式求值，解題的關鍵是理解并掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系，．利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系和完全平方公式變形解答即可．【解析】解：方程的兩根為，，，，故答案為：．【變式3-3】（24-25九年級上·四川遂寧·期中）已知一元二次方程的兩實數(shù)根為、，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)根與系數(shù)的關系，，再代入計算即可得出答案．【解析】解：∵一元二次方程的兩實數(shù)根為、，∴，，∴，故答案為：．例題4．（24-25九年級上·重慶萬州·期中）已知a、b是關于x的一元二次方程的兩個根，則代數(shù)式．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)的關系、求代數(shù)式的值，由題意可得，，再將式子變形為，整體代入計算即可得解．【解析】解：∵a、b是關于x的一元二次方程的兩個根，∴，，∴，∴，故答案為：．【變式4-1】已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，一元二次方程的解，代數(shù)式求值，若是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．先根據(jù)一元二次方程的解得出，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，再整體代入代數(shù)式計算即可得到答案．【解析】解：，是方程的兩個實數(shù)根，，，故答案為：．【變式4-2】（24-25九年級上·四川成都·期中）已知是方程的兩個實數(shù)根，則的值是．【答案】2040【分析】本題考查一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系，一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練掌握，．將代數(shù)式同時加上和減去，根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系直接求解即可得到答案.【解析】解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，，故答案為：．【變式4-3】（24-25九年級上·四川宜賓·期中）已知，是方程的兩個根，那么．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，代數(shù)式求值等知識點，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系是解題的關鍵：如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，，那么，．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得，即，由題意可得，即，于是可推出，進而可得，化簡即可得出答案．【解析】解：，是方程的兩個根，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得：，，，，，，故答案為：．一、單選題1．（23-24八年級下·安徽滁州·期中）如果關于x的一元二次方程的一個實數(shù)根為，另一個實數(shù)根為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，若一元二次方程的兩個根為，則，熟記根與系數(shù)的兩個關系式是解題的關鍵．設一元二次方程的另一個實數(shù)根為a，然后運用一元二次方程根與系數(shù)的關系解答即可．【解析】解：設一元二次方程的另一個實數(shù)根為a，∵一元二次方程的一個實數(shù)根為，另一個實數(shù)根為a，∴，解得：．故選C．2．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）已知，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，牢記根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．利用一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關系，可得出，，將其代入原式中即可求出結論．【解析】解：，是方程的兩個實數(shù)根，，，，．故選：．3．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）已知，是不為0的實數(shù)，且，若，，則的值為（

）A．23 B．15 C．10 D．5【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義，以及根與系數(shù)的關系，熟練掌握解的意義和根與系數(shù)的關系是解決問題的關鍵．將，進行變形可知，為方程的兩個不相等實根，然后利用根與系數(shù)的關系得到，的值,利用完全平方公式對代數(shù)式進行變形即可求得其值．【解析】解：，是不為0的實數(shù)，由，，得，，又，，為一元二次方程的兩個不相等實根，，，，故選：A．4．（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則方程必有一根為；②若方程無實根，則方程有兩個不相等的實根；③若方程兩根為、，且滿足，則方程，必有實根，；④若c是方程的一個根，則一定有；⑤若是一元二次方程的根，則．其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質．按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系、等式的性質、一元二次方程的求根公式等對各選項分別討論，可得答案．【解析】解：①當x=1時，，是方程的解，①的說法正確；②若方程無實根，則，∴，對于方程，，則方程無實根；②的說法不正確．③若方程兩根為，且滿足，，，，，即可得出方程，必有實根，，③的說法正確；④由是方程的一個根，得．當，則；當，則不一定等于0，那么④不一定正確；⑤若是一元二次方程的根，則，，，，，⑤的說法正確；綜上，①③⑤的說法正確；故選：D．二、填空題5．（24-25九年級上·安徽黃山·期中）已知是一元二次方程的一個根，則另一個根為．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可進行求解．【解析】解：設該方程的另一個根為，∵，，∴；故答案為．6．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知，是方程的兩根，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得【解析】解：∵，是方程的兩根，∴，∴，故答案為：．7．（23-24八年級下·安徽六安·期中）若關于x的一元二次方程的兩個根為，，且，下列說法：①；②，；③；④關于x的一元二次方程的兩個根為，．其中正確的說法是．（填寫序號）【答案】①②④【分析】此題考查了根與系數(shù)的關系與根的判別式，解題的關鍵是正確運用：若，是一元二次方程的兩根，則，．根據(jù)根與系數(shù)的關系得，利用消去得到，從而即可對①進行判斷；由于，，利用有理數(shù)的性質可對②進行判斷；根據(jù)根的判別式的意義得到，即，則可對③進行判斷；利用把方程化為，由于方程可變形為，所以或，于是可對④進行判斷．【解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關系得，∵，∴，∴，故①正確；∵，，∴，，故②正確；∵，∴，即，∴，故③錯誤；∵，∴方程化為，∴，∵方程可變形為，∴或，解得，，故④正確．故答案為：①②④．三、解答題8．（24-25九年級上·安徽阜陽·期中）已知等腰三角形一邊長為4，另兩邊恰好是關于的方程的根，求此三角形的另兩邊長．【答案】此三角形的另兩邊長為4和2【分析】本題主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，解題的關鍵是注意進行分類討論．分兩種情況進行討論：當腰長為4時，把代入原方程求出m，