2025年滬科版八年級數(shù)學寒假預(yù)習 第07講 一元二次方程的應(yīng)用

第07講一元二次方程的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實際問題，總結(jié)運用方程解決實際問題的一般步驟；2.通過列方程解應(yīng)用題，進一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力；知識點1列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審：審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等；

設(shè)：設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量；

列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程；

解：解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰；驗：檢驗方程的解能否保證實際問題有意義

答：寫出答案，切忌答非所問。

注意：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

知識點2一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.

如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1；幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2。如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).

利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

4.利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

5.圖形面積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

注意：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實際問題抽象為數(shù)學問題（列方程），然后由數(shù)學問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數(shù)學思想—方程思想.考點01：傳播問題例題1．春季流感爆發(fā)，有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感．(1)每輪傳播中平均一人傳染幾個人？(2)經(jīng)過三輪傳染后會超過700人患流感嗎？請說明理由．【變式1-1】學校“自然之美”研究小組在野外考查時發(fā)現(xiàn)了一種植物的生長規(guī)律，即植物的1個主干上長出個枝干，每個枝干又長出個小分支，現(xiàn)在一個主干上的主干、枝干、小分支數(shù)量之和為68，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】諾如病毒是一種傳染性比較強的病毒，會引起病毒性胃腸疾病，具有發(fā)病急、傳播速度快、涉及范圍廣等特點，在學校、游戲廳等聚集性場所易引起暴發(fā)．假設(shè)有一個人感染了該病毒，經(jīng)過兩輪傳染后共有人感染該病毒，則每輪傳染中平均一個人傳染了人．【變式1-3】在人群密集的場所，信息傳播很快，某居委會有3人同時得知一則喜訊，經(jīng)過兩輪傳播后，使得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達，那么每輪傳播中平均一人傳播了多少人？設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，列方程為．考點02：增長率問題例題2．（24-25九年級上·吉林長春·期中）隨著旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，月份游客人數(shù)為萬人，月份游客人數(shù)為萬人．求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率．【變式2-1】（24-25九年級上·山東濟寧·期中）新能源汽車節(jié)能，環(huán)保，越來越受消費者喜愛，2022年某款新能源汽車銷售量為20萬輛，銷售量逐年增加，2024年預(yù)估銷售量為24萬輛，求這款新能源汽車的年平均增長率，可設(shè)這款新能源汽車的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的為（

）A． B． C． D．【變式2-2】某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由112元降為63元．已知兩次降價的百分率相同．要求每次降價的百分率，若設(shè)每次降價的百分率為x，則得到的方程為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（24-25九年級上·廣東廣州·期中）新能源汽車已逐漸成為人們喜愛的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車經(jīng)銷商8月份至10月份統(tǒng)計，該品牌新能源汽車8月份銷售1000輛，10月份銷售1690輛．設(shè)月平均增長率為，根據(jù)題意可列方程為．考點03：數(shù)字問題例題3．已知一個數(shù)的平方與10的差等于這個數(shù)與10的和，求這個數(shù)．【變式3-1】（24-25九年級上·河北唐山·期中）兩個相鄰奇數(shù)的積是195，則這兩個奇數(shù)的和為（

）A．26 B．28 C．或26 D．或28【變式3-2】一個兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積大40，已知十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大2，則這個兩位數(shù)是．【變式3-3】（24-25九年級上·吉林松原·期中）《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文朵風流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽符．”請你求周瑜去世的年齡．（友情提示：周瑜去世的年齡大于二十七歲．）考點04：營銷問題例題4．（24-25九年級上·江西九江·期中）某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件的進價為80元，當銷售單價為120元時，每天的銷售量是20件，據(jù)測算，每件童裝每降價1元，平均每天可多售出2件．(1)若該專賣店銷售這款童裝要想每天盈利1088元，求該款童裝每件應(yīng)降價多少元？(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在獲利不變的情況下，為盡可能減少庫存，擴大銷售量，該專賣店銷售該款童裝時應(yīng)按原售價的幾折出售？【變式4-1】（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）某水果經(jīng)銷商批發(fā)了一批水果，進貨單價為每箱50元，若按每箱元出售，則每天可銷售箱．現(xiàn)準備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研后發(fā)現(xiàn)：每箱每提價元，每天的銷量就會減少箱．設(shè)該水果售價為每箱元．(1)用含的代數(shù)式表示提價后平均每天的銷售量為______箱；（化為最簡形式）(2)既要考慮經(jīng)銷商的利潤，保證經(jīng)銷商每天可獲得元利潤，又要讓利于消費者，則這批水果應(yīng)按每箱多少元銷售？【變式4-2】（24-25九年級上·山東棗莊·期中）2024年4月25日，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭發(fā)射成功．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個，每個盈利40元．為了擴大銷售，該網(wǎng)店準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個．(1)若每個模型降價5元，平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？(2)在每個模型盈利不超過25元的前提下，要使“中國空間站”模型每天獲利1200元，每個模型應(yīng)降價多少元？【變式4-3】超市銷售某種商品，平均每天可售出件，每件盈利元，為了擴大銷售，增加盈利該店采取了降價措施，在讓顧客得到更大實惠的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低元，平均每天可多售出件．(1)若降價元，則平均每天銷售數(shù)量為多少件；(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？考點05：圖形面積問題例題5．我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是（）A． B．C． D．【變式5-1】圖①是一張長，寬的矩形紙片，將陰影部分裁去（陰影部分為4個完全相同的小矩形）并折疊成一個如圖②的底面積為的有蓋長方體盒子．設(shè)該盒子的高為，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【變式5-2】如圖，利用一面墻，用長的籬笆圍成一個矩形場地，所圍矩形場地的面積為平方米，請求出的長．【變式5-3】（22-23九年級上·四川成都·期中）學校停車場車位布局如圖所示．已知矩形停車場的長為，寬為，共有五個等寬矩形停車區(qū)，其總面積為，其余部分是等寬通道，設(shè)通道寬．(1)用含的代數(shù)式表示：停車區(qū)寬為______，停車區(qū)的長為______．(2)停車場的通道寬為多少米？考點06：動態(tài)幾何問題例題6．如圖所示，中，，，．(1)點從點開始沿邊向以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從，同時出發(fā)，線段能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．(2)若點沿射線方向從點出發(fā)以的速度移動，點沿射線方向從點出發(fā)以的速度移動，、同時出發(fā)，問幾秒后，的面積為？【變式6-1】如圖，在矩形中，，，點P從點A出發(fā)，沿以的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿以的速度向點C運動，點P到達終點后，P，Q兩點同時停止運動．當運動多少時，的面積是．【變式6-2】如圖，在中，，，．點從點開始沿邊向點以的速度勻速移動，同時另一點由點開始以的速度沿著邊勻速移動，當運動時間為多少時，的面積等于？【變式6-3】如圖，在矩形中，，點從點沿AB向點以的速度移動，同時點從點沿邊向點以的速度移動．當其中一點達到終點時，另一點也隨之停止．設(shè)，兩點移動的時間為．(1)當為何值時，；(2)當為何值時，的面積為．一、單選題1．（24-25九年級上·安徽蕪湖·期中）今年“十一”長假某濕地公園迎來旅游高峰，第一天的游客人數(shù)是0.8萬人，第三天的游客人數(shù)為3.2萬人，假設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x，則根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級下·安徽亳州·期中）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪就會有64臺電腦被感染．設(shè)每輪感染中平均一臺電腦可感染臺，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．3．（23-24八年級下·安徽淮北·期中）阿進同學有一塊長，寬的長方形紙板，他想制作一個有蓋的長方體盒子．為了合理使用材料，他設(shè)計了如圖所示的裁剪方案，空白部分為裁剪下來的邊角料，其中左側(cè)兩個空白部分為正方形．如果裁剪并折出底面積為的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀相同），那么裁去的左側(cè)正方形的邊長是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（23-24九年級上·安徽合肥·期中）某商家銷售某種商品，當單價為10元時，每天能賣出200個，現(xiàn)在采用提高售價的方法來增加利潤，已知商品單價每上漲1元，每天的銷售量就少10個，則每天的銷售金額最大為．5．（22-23八年級下·安徽滁州·期中）如圖，把一塊長為，寬為的長方形硬紙板的四個角減去四個相同的小正方形，然后把硬紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為，設(shè)剪去的小正方形的邊長為，則可列方程為．6．（24-25九年級上·安徽蕪湖·期中）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意如下：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢．設(shè)這批椽的數(shù)量為，則根據(jù)題意可列一元二次方程：（化為一般式）．三、解答題7．（24-25九年級上·安徽蕪湖·期中）化學是一門以實驗為基礎(chǔ)的學科，小華在化學老師的幫助下，學會了用高錳酸鉀制取氧氣的實驗，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會了同一個學習小組的名同學做該實驗，第二節(jié)課小華因家中有事請假了，班上其余會做該實驗的每名同學又手把手教會了名同學，這樣全班43名同學恰好都會做這個實驗了．求的值．8．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）某商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為3000元，市場調(diào)研表明：當銷售價為3500元/臺時，平均每天能銷售10臺；而當銷售價每降低20元時，平均每天就能多售出1臺．該商場為了減少庫存，讓利于顧客，且想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到6000元，那么每臺冰箱應(yīng)降價多少元？9．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）如圖，在長方形中，，點P從點A出發(fā)沿以的速度向點B運動，同時，點Q從點B出發(fā)沿以的速度向點C運動．設(shè)運動時間為(1)cm，cm；(用含x的式子表示)(2)若的面積為，求x的值．10．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）某水果商店經(jīng)銷一種名為“陽光玫瑰”水果，現(xiàn)進行春日促銷，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少10千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利3000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應(yīng)漲價多少元？

第07講一元二次方程的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實際問題，總結(jié)運用方程解決實際問題的一般步驟；2.通過列方程解應(yīng)用題，進一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力；知識點1列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審：審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等；

設(shè)：設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量；

列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程；

解：解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰；驗：檢驗方程的解能否保證實際問題有意義

答：寫出答案，切忌答非所問。

注意：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

知識點2一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.

如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1；幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2。如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).

利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

4.利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

5.圖形面積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

注意：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實際問題抽象為數(shù)學問題（列方程），然后由數(shù)學問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數(shù)學思想—方程思想.考點01：傳播問題例題1．春季流感爆發(fā)，有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感．(1)每輪傳播中平均一人傳染幾個人？(2)經(jīng)過三輪傳染后會超過700人患流感嗎？請說明理由．【答案】(1)8個人(2)會，理由見解析【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，（1）設(shè)每輪傳播中平均一人傳染x個人，則第一輪傳染中有x人被感染，第二輪傳染中有人被感染，根據(jù)“有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感”，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）利用經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)等于經(jīng)過兩輪傳染后患流感的人數(shù)，即可求出結(jié)論．【解析】（1）解：設(shè)每輪傳播中平均一人傳染x個人，則第一輪傳染中有x人被感染，第二輪傳染中有人被感染，根據(jù)題意得，，解得：（不符合題意，舍去）.答：每輪傳播中平均一人傳染8個人；（2）經(jīng)過三輪傳染后會超過700人患流感，理由如下：根據(jù)題意得：（人），∵，∴經(jīng)過三輪傳染后會超過700人患流感．【變式1-1】學校“自然之美”研究小組在野外考查時發(fā)現(xiàn)了一種植物的生長規(guī)律，即植物的1個主干上長出個枝干，每個枝干又長出個小分支，現(xiàn)在一個主干上的主干、枝干、小分支數(shù)量之和為68，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由枝干數(shù)及每個枝干又長出個小分支，可得出個枝干上共長出個小分支，結(jié)合一個主干上有主干、枝干、小分支數(shù)量之和為68，即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解析】解：植物的1個主干上長出個枝干，每個枝干又長出個小分支，個枝干上共長出個小分支．根據(jù)題意得：．故選：C．【變式1-2】諾如病毒是一種傳染性比較強的病毒，會引起病毒性胃腸疾病，具有發(fā)病急、傳播速度快、涉及范圍廣等特點，在學校、游戲廳等聚集性場所易引起暴發(fā)．假設(shè)有一個人感染了該病毒，經(jīng)過兩輪傳染后共有人感染該病毒，則每輪傳染中平均一個人傳染了人．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)每輪傳染中平均一人傳染人，根據(jù)題意列一元二次方程，解方程即可．【解析】解：設(shè)每輪傳染中平均一人傳染人，則第一輪有人感染，第二輪有人感染，根據(jù)題意可得：解得：或（不符題意，舍去），故答案為：．【變式1-3】在人群密集的場所，信息傳播很快，某居委會有3人同時得知一則喜訊，經(jīng)過兩輪傳播后，使得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達，那么每輪傳播中平均一人傳播了多少人？設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，列方程為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳播后，使得這則喜訊在共有864人的居民小區(qū)中的知曉率達，列出一元二次方程即可．【解析】解：設(shè)每輪傳播中平均一人傳播了x人，根據(jù)題意得：，即：．故答案為：．考點02：增長率問題例題2．（24-25九年級上·吉林長春·期中）隨著旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，月份游客人數(shù)為萬人，月份游客人數(shù)為萬人．求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率．【答案】這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為．【分析】本題考查了一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用．設(shè)這兩個月的平均增加率為x，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【解析】解：設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，由題意，可得，解得，（不合題意，舍去）．答：這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為．【變式2-1】（24-25九年級上·山東濟寧·期中）新能源汽車節(jié)能，環(huán)保，越來越受消費者喜愛，2022年某款新能源汽車銷售量為20萬輛，銷售量逐年增加，2024年預(yù)估銷售量為24萬輛，求這款新能源汽車的年平均增長率，可設(shè)這款新能源汽車的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)平均變化率的等量關(guān)系，增長為加，降低為減，列出方程即可．【解析】解：由題意，可列方程為：；故選A．【變式2-2】某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由112元降為63元．已知兩次降價的百分率相同．要求每次降價的百分率，若設(shè)每次降價的百分率為x，則得到的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，熟練的掌握由實際問題抽象出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得等量關(guān)系“原零售價×（1-百分比）（1-百分比）=降價后的售價”列出方程即可．【解析】解：設(shè)每次降價的百分率為x，由題意得：．故答案選：A．【變式2-2】（24-25九年級上·廣東廣州·期中）新能源汽車已逐漸成為人們喜愛的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車經(jīng)銷商8月份至10月份統(tǒng)計，該品牌新能源汽車8月份銷售1000輛，10月份銷售1690輛．設(shè)月平均增長率為，根據(jù)題意可列方程為．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)月平均增長率為，根據(jù)題意列出方程即可．【解析】解：設(shè)月平均增長率為，根據(jù)題意可列方程為故答案為：．考點03：數(shù)字問題例題3．已知一個數(shù)的平方與10的差等于這個數(shù)與10的和，求這個數(shù)．【答案】這個數(shù)為或【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，根據(jù)“一個數(shù)的平方與的差等于這個數(shù)與的和”列方程求解．找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)這個數(shù)為x，則：，整理得，因式分解得：，∴，，解得：，．則這個數(shù)為或．【變式3-1】（24-25九年級上·河北唐山·期中）兩個相鄰奇數(shù)的積是195，則這兩個奇數(shù)的和為（

）A．26 B．28 C．或26 D．或28【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)這兩個奇數(shù)分別為，由題意得方程，求得n的值，即可求得這兩個奇數(shù)的和．【解析】解：設(shè)這兩個奇數(shù)分別為，由題意得：，即，解得：，而，故兩個奇數(shù)和為：或28；故選：D．【變式3-2】一個兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積大40，已知十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大2，則這個兩位數(shù)是．【答案】64或75【分析】可設(shè)個位數(shù)字為，則十位上的數(shù)字是．等量關(guān)系：十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的積這個兩位數(shù)．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．正確理解關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確列出方程是解決問題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)個位數(shù)字為，則十位上的數(shù)字是，根據(jù)題意得，整理，得，即，解得，（不合題意，舍去），當時，，這個兩位數(shù)是64；當時，，這個兩位數(shù)是75．答：這兩位數(shù)是64或75．故答案為：64或75．【變式3-3】（24-25九年級上·吉林松原·期中）《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文朵風流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽符．”請你求周瑜去世的年齡．（友情提示：周瑜去世的年齡大于二十七歲．）【答案】周瑜去世時年齡為36歲【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)“十位恰小個位三，個位平方與壽符”以及十位數(shù)字個位數(shù)字個位數(shù)字的平方，據(jù)此列方程可得答案，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)周瑜去世的年齡十位數(shù)字為，則個位數(shù)字為，則根據(jù)題意：，整理得：，解得，，由題意，而立之年督東吳，則舍去，∴周瑜去世的年齡為歲，考點04：營銷問題例題4．（24-25九年級上·江西九江·期中）某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件的進價為80元，當銷售單價為120元時，每天的銷售量是20件，據(jù)測算，每件童裝每降價1元，平均每天可多售出2件．(1)若該專賣店銷售這款童裝要想每天盈利1088元，求該款童裝每件應(yīng)降價多少元？(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在獲利不變的情況下，為盡可能減少庫存，擴大銷售量，該專賣店銷售該款童裝時應(yīng)按原售價的幾折出售？【答案】(1)該款童裝每件應(yīng)降價6元或24元(2)該專賣店銷售該款童裝時應(yīng)按原售價的八折出售【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程．（1）設(shè)該款童裝每件應(yīng)降價x元，則每天可銷售件，每件盈利元，根據(jù)該專賣店銷售這款童裝要想每天盈利1088元，列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)要盡可能減少庫存，擴大銷售量，得出該款童裝每件應(yīng)降價24元，求出售價，然后列式算出答案即可．【解析】（1）解：設(shè)該款童裝每件應(yīng)降價x元，則每天可銷售件，每件盈利元，根據(jù)題意可得：，解得：，，答：該款童裝每件應(yīng)降價6元或24元；（2）解：由（1）可知，該款童裝每件可降價6元或24元，因為要盡可能減少庫存，擴大銷售量，所以該款童裝每件應(yīng)降價24元，此時，售價為：（元），．答：該專賣店銷售該款童裝時應(yīng)按原售價的八折出售．【變式4-1】（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）某水果經(jīng)銷商批發(fā)了一批水果，進貨單價為每箱元，若按每箱元出售，則每天可銷售箱．現(xiàn)準備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研后發(fā)現(xiàn)：每箱每提價元，每天的銷量就會減少箱．設(shè)該水果售價為每箱元．(1)用含的代數(shù)式表示提價后平均每天的銷售量為______箱；（化為最簡形式）(2)既要考慮經(jīng)銷商的利潤，保證經(jīng)銷商每天可獲得元利潤，又要讓利于消費者，則這批水果應(yīng)按每箱多少元銷售？【答案】(1)(2)應(yīng)按每箱元銷售【分析】本題考查列代數(shù)式及一元二次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系列一元二次方程是解題的關(guān)鍵；（1）利用平均每天的銷售量提高的價格，即可用含的代數(shù)式表示出提價后平均每天的銷售量；（2）根據(jù)每天的銷售利潤每箱的銷售利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，即可確定的值．【解析】（1）解：由題意得：（箱），故答案為：；（2）解：依題意得，，解得，，∵要讓利于消費者，∴．答：若超市銷售該水果每天想要獲得元的利潤，則應(yīng)按每箱元銷售．【變式4-2】（24-25九年級上·山東棗莊·期中）2024年4月25日，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭發(fā)射成功．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個，每個盈利40元．為了擴大銷售，該網(wǎng)店準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個．(1)若每個模型降價5元，平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？(2)在每個模型盈利不超過25元的前提下，要使“中國空間站”模型每天獲利1200元，每個模型應(yīng)降價多少元？【答案】(1)30個，1050元(2)20元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用——盈利問題，根據(jù)銷售問題列出方程并正確求解是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)降價，求出降價后得每件利潤和每天得銷量，即可求出利潤；（2）設(shè)每個模型降價元，則每件利潤元，平均每天可以售出個模型，根據(jù)利潤可列方程，解方程，再進行取舍即可．【解析】（1）解：（個）；（元）．答：平均每天可以售出30個模型，此時每天獲利1050元；（2）設(shè)每個模型應(yīng)降價元，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，又每個模型盈利不超過25元，．答：每個模型應(yīng)降價20元．【變式4-3】超市銷售某種商品，平均每天可售出件，每件盈利元，為了擴大銷售，增加盈利該店采取了降價措施，在讓顧客得到更大實惠的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低元，平均每天可多售出件．(1)若降價元，則平均每天銷售數(shù)量為多少件；(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？【答案】(1)平均每天銷售數(shù)量為件．(2)當每件商品降價元時，該商店每天銷售利潤為元．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）利用平均每天的銷售量每件商品降低的價格，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件商品降價元，則每件盈利元，平均每天可售出元，利用總利潤=每件盈利平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合在讓顧客得到更大實惠的前提下，即可得出每件商品應(yīng)降價元．【解析】（1）解∶根據(jù)題意得∶(件)，答∶平均每天銷售數(shù)量為件．（2）解：設(shè)每件商品降價元，則每件盈利元，平均每天可售出元，依題意得∶，整理得∶，即解得∶，，要讓顧客得到更大實惠，．答∶當每件商品降價元時，該商店每天銷售利潤為元．考點05：圖形面積問題例題5．我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出圓的面積是解題關(guān)鍵．直接利用圓的面積減去正方形面積，進而得出答案．【解析】解：設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是：故選：B．【變式5-1】圖①是一張長，寬的矩形紙片，將陰影部分裁去（陰影部分為4個完全相同的小矩形）并折疊成一個如圖②的底面積為的有蓋長方體盒子．設(shè)該盒子的高為，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，設(shè)該盒子的高為，則紙盒底面的長為，寬為，根據(jù)“紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是”即可列出方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)該盒子的高為，則紙盒底面的長為，寬為，紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是，，故選：D．【變式5-2】如圖，利用一面墻，用長的籬笆圍成一個矩形場地，所圍矩形場地的面積為平方米，請求出的長．【答案】的長度為【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)設(shè)的長度為，得出，再結(jié)合矩形面積公式列式計算，即可作答．【解析】解：設(shè)的長度為．則，由題可知，解得：，答：的長度為．【變式5-3】（22-23九年級上·四川成都·期中）學校停車場車位布局如圖所示．已知矩形停車場的長為，寬為，共有五個等寬矩形停車區(qū)，其總面積為，其余部分是等寬通道，設(shè)通道寬．(1)用含的代數(shù)式表示：停車區(qū)寬為______，停車區(qū)的長為______．(2)停車場的通道寬為多少米？【答案】(1)(2)5m【分析】本題主要考查代數(shù)式表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系，一元二次方程的運用，理解數(shù)量關(guān)系，掌握一元二次方程解實際問題的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖示中，矩形停車場的寬為，是停車區(qū)與兩條通道的寬的和，由此列式即可求解；（2）根據(jù)面積的計算方法即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)題意，得停車區(qū)的寬為：，停車區(qū)的長為：，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，得，解得（舍去），∴停車場的通道寬為5米．考點06：動態(tài)幾何問題例題6．如圖所示，中，，，．(1)點從點開始沿邊向以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從，同時出發(fā)，線段能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．(2)若點沿射線方向從點出發(fā)以的速度移動，點沿射線方向從點出發(fā)以的速度移動，、同時出發(fā)，問幾秒后，的面積為？【答案】(1)不能，理由見解析(2)秒、5秒或秒【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，對于（1），設(shè)經(jīng)過秒，線段能否將分成面積相等的兩部分，根據(jù)面積之間的等量關(guān)系和判別式即可求解；對于（2），分三種情況：①點在線段上，點在線段上；②點在線段上，點在線段上；③點在射線上，點在射線上；進行討論即可求解．【解析】（1）解：設(shè)經(jīng)過秒，線段能將分成面積相等的兩部分由題意知：，，則，，，，此方程無解，線段不能將分成面積相等的兩部分；（2）設(shè)秒后，的面積為，①當點在線段上，點在線段上時此時由題意知：，整理得：，解得：（不合題意，應(yīng)舍去），；②當點在線段上，點在線段的延長線上時此時，由題意知：，整理得：，解得：；③當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，此時，由題意知：，整理得：，解得：，，（不合題意，應(yīng)舍去），綜上所述，經(jīng)過秒、5秒或秒后，的面積為.【變式6-1】如圖，在矩形中，，，點P從點A出發(fā)，沿以的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿以的速度向點C運動，點P到達終點后，P，Q兩點同時停止運動．當運動多少時，的面積是．【答案】或時【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)運動時間為秒，則，，利用三角形的面積計算公式，結(jié)合的面積是，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)運動時間為，則，，依題意，得．整理，得，解得，，或時，的面積是．【變式6-2】如圖，在中，，，．點從點開始沿邊向點以的速度勻速移動，同時另一點由點開始以的速度沿著邊勻速移動，當運動時間為多少時，的面積等于？【答案】當5秒時，的面積【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積．設(shè)運動時間為，可得，，，再利用三角形的面積公式建立方程求解即可．【解析】解：設(shè)運動時間為，由題意可得：，，∵，，，∴，∴，解得：或．當時，，∴應(yīng)舍去，所以．∴當5秒時，的面積．【變式6-3】如圖，在矩形中，，點從點沿向點以的速度移動，同時點從點沿邊向點以的速度移動．當其中一點達到終點時，另一點也隨之停止．設(shè)，兩點移動的時間為．(1)當為何值時，；(2)當為何值時，的面積為．【答案】(1)當時，(2)為或時，的面積為【分析】（1）由題意得，得，當，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可求解．【解析】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，∵，∴，解得：，即當時，；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，答：當為或時，的面積為；一、單選題1．（24-25九年級上·安徽蕪湖·期中）今年“十一”長假某濕地公園迎來旅游高峰，第一天的游客人數(shù)是0.8萬人，第三天的游客人數(shù)為3.2萬人，假設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x，則根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x，則第二天的游客為人，第三天的人數(shù)為人，則可列出關(guān)于x的一元二次方程．【解析】解：設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為x，列方程為：，故選B．2．（23-24八年級下·安徽亳州·期中）某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_電腦被感染，經(jīng)過兩輪就會有64臺電腦被感染．設(shè)每輪感染中平均一臺電腦可感染臺，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，能夠正確表示每輪感染中，有多少臺電腦被感染是解決此題的關(guān)鍵．設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染臺電腦．則經(jīng)過一輪感染，1臺電腦感染給了臺電腦，這臺電腦又感染給了臺電腦．根據(jù)等量關(guān)系：經(jīng)過兩輪感染后就會有64臺電腦被感染求解即可．【解析】解：每輪感染中平均一臺電腦會感染臺電腦，列方程得：，即．故選：C．3．（23-24八年級下·安徽淮北·期中）阿進同學有一塊長，寬的長方形紙板，他想制作一個有蓋的長方體盒子．為了合理使用材料，他設(shè)計了如圖所示的裁剪方案，空白部分為裁剪下來的邊角料，其中左側(cè)兩個空白部分為正方形．如果裁剪并折出底面積為的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀相同），那么裁去的左側(cè)正方形的邊長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)裁去左側(cè)正方形的邊長為，則折成的長方體盒子的底面長為，再根據(jù)矩形面積計算公式列出方程求解即可．【解析】解：設(shè)裁去左側(cè)正方形的邊長為，則折成的長方體盒子的底面長為，由題意得，

整理得：，解得：(不合題意，舍去)

∴折成的有蓋盒子，裁去左側(cè)的正方形邊長是，故選：D．二、填空題4．（23-24九年級上·安徽合肥·期中）某商家銷售某種商品，當單價為10元時，每天能賣出200個，現(xiàn)在采用提高售價的方法來增加利潤，已知商品單價每上漲1元，每天的銷售量就少10個，則每天的銷售金額最大為．【答案】2250元【分析】根據(jù)銷售金額=單價銷售總量，進行列式得出一元二次方程進行解答即可．【解析】解：設(shè)售價上漲元，銷售金額元，則所以當時有最大值，最大值為2250．故答案為：2250元．5．（22-23八年級下·安徽滁州·期中）如圖，把一塊長為，寬為的長方形硬紙板的四個角減去四個相同的小正方形，然后把硬紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為，設(shè)剪去的小正方形的邊長為，則可列方程為．【答案】（方程形式不唯一）【分析】設(shè)剪去小正方形的邊長是，則紙盒底面的長為，寬為，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：設(shè)剪去小正方形的邊