2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第6章-第6節(jié) 數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、子數(shù)列問(wèn)題【課件】

第六章數(shù)列第6節(jié)數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、子數(shù)列問(wèn)題1.明確數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的類型，掌握其解決方法.2.會(huì)用化歸的思想方法求解子數(shù)列問(wèn)題.目

錄CONTENTS考點(diǎn)聚焦突破01課時(shí)分層精練02考點(diǎn)聚焦突破1KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一奇偶項(xiàng)問(wèn)題角度1含有(－1)n的類型例1

已知bn＝(－1)nn2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解∵bn＝(－1)nn2，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]所以Tn>Sn；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]所以Tn>Sn.綜上可知，當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.感悟提升1.含有(－1)n的數(shù)列求和問(wèn)題一般采用分組(并項(xiàng))法求和；2.對(duì)于通項(xiàng)公式奇、偶項(xiàng)不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.訓(xùn)練1(2024·青島模擬)已知遞增等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝13，a＝3a4，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b2＝a2－1.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以an＝a1·qn－1＝3n－1，所以b1＝a1＝1，b2＝a2－1＝2，所以等差數(shù)列{bn}的公差為1，故bn＝1＋(n－1)×1＝n.所以c2n－1＋c2n＝－(2n－1)·32n－1＋2n·32n－1＝32n－1＝a2n，所以T20＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c19＋c20＝(c1＋c2)＋(c3＋c4)＋…＋(c19＋c20)考點(diǎn)二子數(shù)列問(wèn)題角度1公共項(xiàng)例3

已知an=3n-1,bn=3n+n,n∈N*.若數(shù)列{an}與{bn}中有公共項(xiàng)，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立.按照從小到大的順序?qū)⑦@些公共項(xiàng)排列，得到一個(gè)新的數(shù)列，記作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn.解由題意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，因?yàn)?k，3m是3的倍數(shù)，所以m＋1也為3的倍數(shù)，令m＋1＝3n，則m＝3n－1(n∈N*)，則3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1，此時(shí)滿足條件，即當(dāng)m＝2，5，8，…，3n－1時(shí)為公共項(xiàng)，所以c1＋c2＋…＋cn＝b2＋b5＋…＋b3n－1＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1)解保持?jǐn)?shù)列{an}中各項(xiàng)先后順序不變，在ak與ak＋1(k＝1，2，…)之間插入k個(gè)1，則新數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)為3，1，21，1，1，22，1，1，1，23，1，1，1，1，24，…，212，1，1，1，1，1，1，1，1，1，則T100＝[3＋(21＋22＋…＋212)]＋[(1＋2＋3＋…＋12)＋9]＝90＋213－2＝88＋213＝8192＋88＝8280.感悟提升1.兩個(gè)等差(比)數(shù)列的公共項(xiàng)是等差(比)數(shù)列，且公差(比)是兩等差(比)數(shù)列公差(比)的最小公倍數(shù)，一個(gè)等差與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)，則要通過(guò)其項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系來(lái)確定.2.數(shù)列的插項(xiàng)、提項(xiàng)問(wèn)題可通過(guò)研究前n次的變化探究出一般性規(guī)律，從而確定新數(shù)列的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(或公比)、末項(xiàng)等信息.訓(xùn)練2

(2024·濟(jì)南模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝4，b1＝2，a2＝2b2－1，a3＝b3＋2.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，∴q＝2，d＝3，∴an＝3n＋1，bn＝2n.(2)數(shù)列{an}和{bn}中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，將A∪B的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前60項(xiàng)和S60.解當(dāng){cn}的前60項(xiàng)中含有{bn}的前6項(xiàng)時(shí)，此時(shí)至多有41＋6＝47項(xiàng)，不符合題意.當(dāng){cn}的前60項(xiàng)中含有{bn}的前7項(xiàng)時(shí)，令3n＋1<28＝256，∴n<85，且22，24，26是{an}和{bn}的公共項(xiàng)，則{cn}的前60項(xiàng)中含有{bn}的前7項(xiàng)且含有{an}的前56項(xiàng)，再減去公共的三項(xiàng).課時(shí)分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以an＝3n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以bn＝2n.(2)把數(shù)列{an}和{bn}的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列稱為{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.解設(shè)3n－1＝2m＝(3－1)m＝3M＋(－1)m，m∈N*，M為3的正整數(shù)倍，故當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，n＝M，故公共項(xiàng)為m＝1，3，5，7，…，∴21，23，25，27，…，構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，cn＝2·4n－1，2.設(shè)cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－1)解因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，公比q≠－1，則a4＝a1q3，a5＝a1q4，a7＝a1q6，a8＝a1q7，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝－(1＋3＋…＋n－1)＋(32＋34＋…＋3n)4.(2024·西安調(diào)研)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－2Sn＝n＋1(n∈N*)，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2，因?yàn)閿?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an＋1－an＝1，又∵a2－a1＝1，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故an＝a1＋n－1＝n.(2)在ak和ak＋1(k∈N*)中插入k個(gè)相同的數(shù)(－1)k＋1·k，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{bn}：

a1，1，a2，－2，－2，a3，3，3，3，a4，…，求{bn}的前100項(xiàng)和T100.∴{bn}