2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第8章-第2節(jié) 兩直線的位置關(guān)系【課件】

第八章平面解析幾何第2節(jié)兩直線的位置關(guān)系1.能根據(jù)斜率判定兩條直線的平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo).3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一直線，l2與l4是同一直線，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系法向量滿足的條件l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行v1∥v2______________________________________________垂直v1⊥v2_________________________相交v1與v2不共線__________________________k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1≠k2A1B2－A2B1≠0交點無解無數(shù)個相交平行(2a－x0，2b－y0)1.五種常用對稱關(guān)系(1)點(x，y)關(guān)于原點(0，0)的對稱點為(－x，－y).(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y).(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x).(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x，2b－y).(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x，2b－y).2.應(yīng)用點到直線的距離公式與兩平行直線間的距離公式中的直線的方程必須是一般式.特別地，在兩平行線的距離公式中，兩直線方程的一般式中x，y的系數(shù)必須對應(yīng)相等.常用結(jié)論與微點提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(

)(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.(

)(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.(

)××√解析(1)兩直線l1，l2有可能重合.(2)當(dāng)l1⊥l2時，若l1的斜率k1＝0，則l2的斜率不存在，不滿足題意.√2.(選修一P102T1(3))與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線的方程為(

)A.3x＋4y－5＝0 B.3x＋4y＋5＝0C.3x－4y＋5＝0 D.3x－4y－5＝0B解析設(shè)所求對稱直線的點的坐標(biāo)(x，y)，關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)(x，－y)在已知的直線上，所以所求對稱直線方程為3x＋4y＋5＝0.

3.(選修一P77T3改編)已知點P(－1，2)到直線l：4x－3y＋C＝0的距離為1，則C＝__________.5或15解析利用點P(－1，2)到直線l：4x－3y＋C＝0的距離為1，4.已知直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a的值為________.0或1解析∵兩直線垂直，∴(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，可得11a2－11a＝0，解得a＝0或1.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一兩直線的平行與垂直例1

已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；解法一由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，故當(dāng)a＝－1時，l1∥l2；a≠－1時，l1與l2不平行.法二當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時，兩直線方程可化為l1：解得a＝－1，綜上，當(dāng)a＝－1時，l1∥l2；a≠－1時，l1與l2不平行.(2)當(dāng)l1⊥l2時，求a的值.法二當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；感悟提升1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.訓(xùn)練1(1)(2024·武漢調(diào)研)設(shè)λ∈R，則“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件A解析若直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行，則3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，經(jīng)檢驗，λ＝1或λ＝－3時兩直線平行，故“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要條件.(2)若a，b為正實數(shù)，直線2x＋(2a－4)y＋1＝0與直線2bx＋y－2＝0互相垂直，則ab的最大值為________.解析由兩直線垂直得4b＋2a－4＝0，考點二兩直線的交點與距離問題A2或－6感悟提升1.求過兩直線交點的直線方程的方法：先求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.2.利用距離公式應(yīng)注意：(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.訓(xùn)練2(1)經(jīng)過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是(

)A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0D所以直線l1與l2的交點為(－1，1)，設(shè)與直線3x＋2y＋7＝0平行的直線為3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直線方程為3x＋2y＋1＝0.B解析設(shè)點A(0，－1)，直線l：y＝k(x＋1)，由l恒過定點B(－1，0)，考點三對稱問題角度1關(guān)于點對稱例3(1)(2024·福州調(diào)研)直線x－2y－3＝0關(guān)于定點M(－2，1)對稱的直線方程是________________.x－2y＋11＝0解析設(shè)所求直線上任意一點的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于M(－2，1)的對稱點(－4－x，2－y)在已知直線上，∴所求直線方程為(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.(2)過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為____________.x＋4y－4＝0解析設(shè)l1與l的交點為A(a，8－2a).由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.A(2)已知入射光線經(jīng)過點M(－3，4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為_____________.6x－y－6＝0解析設(shè)點M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，感悟提升對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.(2)中心對稱問題可以利用中點坐標(biāo)公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.訓(xùn)練3

已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；解設(shè)A′(x，y)，(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；解在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上.(3)直線l關(guān)于點A對稱的直線l′的方程.解法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1，1)，N(4，3)，則P，N關(guān)于點A的對稱點P′，N′均在直線l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.法二設(shè)Q(x，y)為l′上任意一點，則Q(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為Q′(－2－x，－4－y).∵Q′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直線l′的方程為2x－3y－9＝0.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.兩條直線l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交點坐標(biāo)是(

)A.(2，3) B.(－2，3) C.(3，－2) D.(－3，2)A所以兩條直線的交點坐標(biāo)為(2，3).B3.直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是(

)A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0D解析設(shè)所求直線上任一點(x，y)，則它關(guān)于x＝1對稱點為(2－x，y)在直線x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化簡得x＋2y－3＝0.4.若直線a，b的斜率分別為方程x2－4x－1＝0的兩個根，則a與b的位置關(guān)系為(

) A.互相平行 B.互相重合 C.互相垂直 D.無法確定C解析由根與系數(shù)的關(guān)系得ka·kb＝－1，則a與b互相垂直.A把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n.6.(2024·煙臺質(zhì)檢)唐代詩人李欣的詩《古從軍行》的開頭兩句是“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為A(1，1)，若將軍從山腳下的點B(4，4)處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為x－y＋1＝0，則“將軍飲馬”的最短總路程是(

)D解析如圖，設(shè)B(4，4)關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱的點為C(a，b).BC解析由題意知，當(dāng)點M到直線的距離不超過4時，符合要求.8.(多選)(2024·青島調(diào)研)已知直線l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，則(

)A.直線l2過定點(－3，－1) B.當(dāng)m＝1時，l1⊥l2C.當(dāng)m＝2時，l1∥l2 D.當(dāng)l1∥l2時，兩直線l1，l2之間的距離為1ACD解析對于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)變形為m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，因此直線l2過定點(－3，－1)，故A正確；對于B，當(dāng)m＝1時，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，因為4×3＋(－3)×(－2)≠0，所以兩直線不垂直，故B錯誤；對于C，當(dāng)m＝2時，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，9.已知兩直線l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，則l1⊥l2，則m＝__________.－2或3解析l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2.10.已知點P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，則過點A且與點P1，P2距離相等的直線方程為_______________________.x＋3y－5＝0或x＝－1解析當(dāng)直線與點P1，P2的連線所在的直線平行時，當(dāng)直線過線段P1P2的中點時，因為線段P1P2的中點坐標(biāo)為(－1，4)，所以直線方程為x＝－1.綜上，所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.11.設(shè)△ABC的一個頂點是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分線方程分別為x＝0，y＝x，則直線BC的方程為____________.2x－y－5＝0解析∵∠B，∠C的角平分線方程分別是x＝0，y＝x，∴直線AB與直線BC關(guān)于x＝0對稱，直線AC與直線BC關(guān)于y＝x對稱.A(－3，1)關(guān)于x＝0的對稱點A′(3，1)在直線BC上，A(－3，1)關(guān)于y＝x的對稱點A″(1，－3)也在直線BC上.由兩點式，所求直線BC的方程為2x－y－5＝0.12.已知兩直線l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直線l3：ax＋2y－6＝0與l1，l2不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)a＝______________.解析由題意可得，①當(dāng)l3∥l1時，不能構(gòu)成三角形，此時a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；13.已知點(1，－1)關(guān)于直線l1：y＝x的對稱點為A，若直線l2經(jīng)過點A，則當(dāng)點B(2，－1)到直線l2的距離最大時，直線l2的方程為(

) A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0 C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0B設(shè)點B(2，－1)到直線l2的距離為d，當(dāng)d＝|AB|時取得最大值，此時直線l2垂直于直線AB，14.(2024·南昌調(diào)考)若△ABC的頂點A(5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為(

) A.3x＋4y－6＝0 B.x＋3