2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第8章-第5節(jié) 橢圓【課件】

第八章平面解析幾何第5節(jié)橢圓1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.掌握橢圓的簡單應(yīng)用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做______.這兩個定點叫做橢圓的______，兩焦點間的距離叫做橢圓的______，焦距的一半稱為半焦距.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：①若_____，則集合P為橢圓；②若_____，則集合P為線段；③若_____，則集合P為空集.橢圓焦點焦距a＞ca＝ca＜c2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)2a2b2c(0，1)a2－b2常用結(jié)論與微點提醒××√解析(1)由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于|F1F2|時，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于|F1F2|時，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于|F1F2|時，不存在這樣的圖形.√2.(選修一P115習(xí)題3.1T6改編)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是(

) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓A解析連接QA(圖略).由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因為點A在圓內(nèi)，所以|OA|＜|OP|，根據(jù)橢圓的定義知，點Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點，r為長軸長的橢圓.

又a＝2b，則有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，12又a2＝b2＋c2，解得a＝3，所以△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝12.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一橢圓的定義及應(yīng)用例1(1)一動圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內(nèi)切，那么動圓的圓心P的軌跡是(

) A.橢圓 B.雙曲線

C.拋物線 D.雙曲線的一支A解析設(shè)動圓P的半徑為r，又圓A：(x＋1)2＋y2＝1的半徑為1，圓B：(x－1)2＋y2＝64的半徑為8，則|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，則動圓的圓心P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為9的橢圓.8解析根據(jù)橢圓的對稱性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四邊形PF1QF2為對角線相等的平行四邊形，所以四邊形PF1QF2為矩形.設(shè)|PF1|＝m，則|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，則|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.感悟提升橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題.A解析∵△ABC的周長為12，頂點B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，又8>4，∴點A的軌跡是橢圓，且a＝4，c＝2，B所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.20解析如圖，設(shè)F1為橢圓C的左焦點，則由橢圓的定義可得△ABF的周長為|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，當(dāng)A，B，F(xiàn)1共線時，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，當(dāng)A，B，F(xiàn)1不共線時，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周長的最大值為20.考點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2

求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3，0)；解設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，感悟提升求橢圓方程的方法：(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡是否滿足橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.B解析依題意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，考點三橢圓的幾何性質(zhì)C解析法一無論橢圓焦點位于x軸或y軸，根據(jù)點A，B，C為橢圓D的三個頂點，△ABC是正三角形，法二無論橢圓焦點位于x軸或y軸，根據(jù)點A，B，C為橢圓D的三個頂點，△ABC是正三角形，(2)(2024·溫州質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，點M在橢圓C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓C的離心率為________.解析因為點M在橢圓C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，則|MF1|＝2a－|MF2|(a－c≤|MF2|≤a＋c)，所以|MF1|·|MF2|＝(2a－|MF2|)|MF2|＝－(|MF2|－a)2＋a2，所以當(dāng)|MF2|＝a時，|MF1|·|MF2|有最大值a2，當(dāng)|MF2|＝a－c或|MF2|＝a＋c時，|MF1|·|MF2|有最小值a2－c2.因為|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，所以a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，C解析若橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，則以原點為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點，如圖，可得c≥b，即c2≥b2，感悟提升A解析由題意，知A(－a，0)，B(0，b)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，解析由題知圓E的圓心為E(1，0)，半徑為1.∵直線MN與圓E相切于點N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANA設(shè)下焦點為F1，上焦點為F2，則|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因為|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即點P到下焦點的距離為6.DAAB解析設(shè)橢圓C的右焦點為F′，由橢圓的定義，得|MF|＋|MF′|＝2a＝4，所以|MF|＝4－|MF′|，所以|MN|＋|MF|＝|MN|－|MF′|＋4≤|NF′|＋4，當(dāng)且僅當(dāng)M，N，F(xiàn)′三點共線時等號成立，則由題意，知此時|NF′|＋4＝6，CD解析設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，BC對于A，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，故△PF1F2的周長為4＋2＝6，故A錯誤；解析設(shè)mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)，解∵|AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，解由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1