高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】拋物線應(yīng)用(1)-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA044學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期一課題拋物線應(yīng)用（1）教科書書名：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學(xué)人員姓名單位授課教師蘇萌萌北京市第二十五中學(xué)指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)——范圍、頂點(diǎn)、離心率、對稱性等.教學(xué)重點(diǎn)：初步掌握有關(guān)拋物線的解題方法,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決解題的能力.教學(xué)難點(diǎn)：坐標(biāo)法在解決解析幾何問題中的應(yīng)用.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘5分鐘7分中5分鐘3分鐘復(fù)習(xí)引入問題探究類比探究性質(zhì)推廣鞏固練習(xí)小結(jié)問題1拋物線的簡單幾何性質(zhì)都有哪些？各種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的幾何性質(zhì)分別是什么？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、范圍、對稱軸、頂點(diǎn)、和離心率問題2經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線平行于拋物線的對稱軸.追問1：這條拋物線的對稱軸是什么？開口方向與軸的正方向相同，拋物線在軸右側(cè)，對稱軸為軸.追問2：如何證明一條直線平行于軸？直線斜率為0，直線上任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，等等.因此，本題可證明點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.追問3：如何求點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)？點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，需要構(gòu)建直線方程與拋物線方程間的聯(lián)系.點(diǎn)為直線與拋物線準(zhǔn)線的焦點(diǎn)，需要構(gòu)建直線方程與準(zhǔn)線方程間的聯(lián)系.因此，我們從點(diǎn)與焦點(diǎn)弦的關(guān)系出發(fā)，通過設(shè)直線的方程，從而表示點(diǎn).追問4：如何設(shè)直線的方程便于計算？不妨將過焦點(diǎn)的直線方程設(shè)為，從而避免直線斜率是否存在的分類討論.下面我們來具體計算：設(shè)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，所以.即.直線的方程為，因?yàn)?，所以直線的方程為.令，得點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以.所以直線平行于軸.即直線平行于拋物線的對稱軸.方法提煉：本題揭示了處理解析幾何問題的核心方法——坐標(biāo)法.求解中將直線與軸平行問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，借助根與系數(shù)的關(guān)系，整體代換進(jìn)行求解.在順利完成本題的解答后我們又想到，這個結(jié)論在一般的拋物線方程中是否仍然成立？問題3經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線平行于拋物線的對稱軸.分析：我們以拋物線為例進(jìn)行證明.依然用坐標(biāo)法證明這個結(jié)論，即通過建立拋物線及直線的方程，運(yùn)用方程研究直線與拋物線對稱軸之間的位置關(guān)系.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，只要證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可.方法一如圖，以拋物線的對稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，設(shè)拋物線的方程為，①設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程為，②聯(lián)立①②，消去，可得.所以.即.直線的方程為，因?yàn)?，所以直線的方程為.令，得點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以.所以直線平行于軸.即直線平行于拋物線的對稱軸.其他拋物線形式也可以類似得到證明，請同學(xué)們課下完成.追問1：你還有其他證明方法嗎？從點(diǎn)與拋物線的關(guān)系出發(fā)，通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線，直線方程，聯(lián)系拋物線方程和準(zhǔn)線方程，從而表示點(diǎn)，點(diǎn).追問2：點(diǎn)坐標(biāo)如何表示？因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，所以.追問3：為什么用含有的式子表示點(diǎn)坐標(biāo)？因?yàn)楸绢}要求證的是平行關(guān)系，只需證明縱坐標(biāo)相等，因此我們傾向于用縱坐標(biāo)表示點(diǎn)坐標(biāo).方法二如圖，以拋物線的對稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，①拋物線的準(zhǔn)線方程是.②聯(lián)立②③，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因?yàn)榻裹c(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)時，直線的方程為③聯(lián)立①④，消去，可得，所以.即.所以.于是平行于軸.當(dāng)時，易知結(jié)論成立.所以，直線平行于拋物線的對稱軸.方法提煉：問題3是拋物線的一個性質(zhì)，由這個性質(zhì)我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的直線很重要.本題的求解采用了坐標(biāo)法，通過代數(shù)運(yùn)算解決問題，把平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系.

問題4過拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于，經(jīng)過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證三點(diǎn)共線.追問1：如何證明三點(diǎn)共線？（1）且有公共點(diǎn)：但是要考慮斜率是否存在.（2）且有公共點(diǎn)：此方法更普遍適用.追問2：如何證明？如果向量，那么向量與向量共線的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)，使得.這個充要條件可以用坐標(biāo)表示：設(shè)，則.因此我們只需證明與的坐標(biāo)滿足此關(guān)系.追問3：如何求與的坐標(biāo)？需要先求得點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo).追問4：如何求解點(diǎn)的坐標(biāo)？追根溯源，點(diǎn)是過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線得到的垂足，因此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.因此問題又轉(zhuǎn)化為以點(diǎn)坐標(biāo)出發(fā)，聯(lián)系直線與拋物線的關(guān)系，表示點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)的問題.我們不妨循著問題3方法二的思路，具體計算：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.所以.當(dāng)時，易知結(jié)論成立.當(dāng)時，直線的方程為.聯(lián)立消去，可得，所以.即.將代入，得.所以.因?yàn)?，所?又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.本題也可以通過斜率的相等來求證，請同學(xué)們課下完成.小結(jié)：解析幾何的核心方法——坐標(biāo)法用代數(shù)法解決幾何問題，其核心的解題方法是坐標(biāo)法．所謂坐標(biāo)法，就是建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何對象轉(zhuǎn)化為代數(shù)