高三開學(xué)摸底考試卷-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）【含答案】

高三開學(xué)摸底考試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲到過(guò)景點(diǎn)，所以甲不選景點(diǎn)，則不同的選法有（

）A．64種 B．48種 C．36種 D．24種4．某農(nóng)業(yè)研究所對(duì)玉米幼穗的葉齡指數(shù)與可見葉片數(shù)進(jìn)行分析研究，其關(guān)系可以用函數(shù)（為常數(shù)）表示．若玉米幼穗在伸長(zhǎng)期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30，則當(dāng)玉米幼穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時(shí)，可見葉片數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．15 B．16 C．17 D．185．過(guò)圓錐高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，則截面分圓錐上部分圓錐與下部分圓臺(tái)體積比為（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則使得成立的正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知a，，有一組樣本數(shù)據(jù)為，3，，，8，10，，12，13，若在這組數(shù)據(jù)中再插入一個(gè)數(shù)8，則（

）A．平均數(shù)不變 B．中位數(shù)不變 C．方差不變 D．極差不變10．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則B．的最小值為C．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，曲線恒過(guò)直線與圓的交點(diǎn)D．若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）四點(diǎn)共圓，則11．已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，，則（

）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量的夾角為，若，則.13．已知直線是曲線和的公切線，則實(shí)數(shù)a=．14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且.又以雙曲線的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線虛軸的端點(diǎn)，則雙曲線的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．16．（15分）已知底面是平行四邊形，平面，，，，且.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.17．（15分）為提高學(xué)生對(duì)航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校組織學(xué)生參加航天科普知識(shí)挑戰(zhàn)賽，比賽共設(shè)置A，B，C三個(gè)問題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為50分，答對(duì)問題A，B，C分別加10分，20分，30分，答錯(cuò)任一題減10分；②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于40分或答完三題時(shí)累計(jì)分?jǐn)?shù)不足80分，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)失敗；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于80分時(shí)，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)成功；③每位參加者按問題A，B，C順序作答，直至挑戰(zhàn)結(jié)束.設(shè)甲同學(xué)能正確回答出問題A，B，C的概率分別為，，，且回答各題正確與否互不影響.(1)求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率；(2)用X表示甲同學(xué)答題結(jié)束時(shí)答對(duì)問題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（17分）已知橢圓：（）的半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度與焦距相等，且過(guò)焦點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在靠近的一側(cè)）（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）在直線上是否存在一定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（17分）若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．(1)已知函數(shù)，區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”，求的取值集合；(2)已知函數(shù)，設(shè)集合．（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長(zhǎng)度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長(zhǎng)度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．參考答案第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678CDBCDCAD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ADBCDBCD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．413．314．2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）【詳解】（1）依題意，由，可得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，整理，得，，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴；（2）依題意及（1），由可得，則，，兩式相減，可得，∴，故得證．16．（15分）【詳解】（1）證明：在中，，，，則，可得，所以，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）是平行四邊形，平面，，，，且.假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角的大小為，故，整理得，解得或，所以或.17．（15分）【詳解】（1）用表示甲第i個(gè)問題回答正確，表示甲第i個(gè)問題回答錯(cuò)誤，則;.記事件Q：甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率，則：.即甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率為.（2）由題意知的可能取值：0，1，2，∴;,，，∴的分布列為：012∴,即數(shù)學(xué)期望為.18．（17分）【詳解】（1）由題意可得，解得，則：；（2）（ⅰ）設(shè)直線：，，，聯(lián)立，得，則有，，且，則，則，設(shè)，則，則.（ⅱ）設(shè)，則，設(shè)直線，：，，即分別為：，，由，則到直線，的距離相等，聯(lián)立，有是其中一組解，又與等價(jià)，不妨設(shè)，則有，即，即，可得，又，即，則有，通分并整理得：.代入得.化簡(jiǎn)得.故，則，則.

19．（17分）【詳解】（1）由題意，，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，可得的值域?yàn)?，因此只需，即可得，即，則的取值集合為．（2）（i）記函數(shù)，則，由得或；由得；所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．其中，因此當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn)；由在單調(diào)遞減，易知，而，由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的使得；當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)有0和兩