八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一部分基礎(chǔ)知識(shí)篇第4課一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系及其應(yīng)用一元二次方程例題課件浙教版

重點(diǎn)中學(xué)與你有約例1.已知方程的兩根為，不解方程，求：解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，韋達(dá)定理二聯(lián)重要結(jié)論：將所求代數(shù)式變形為用兩根之和和兩根之積來(lái)表示.重要方法：代數(shù)變換三解解：四悟靈活掌握韋達(dá)定理的應(yīng)用是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.由根與系數(shù)的關(guān)系得∴例1.已知方程的兩根為，不解方程，求：舉一反三思路分析:先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=﹣3，αβ=﹣1，利用代數(shù)式變形得到包含α+β和αβ的式子，然后利用整體代入的方法計(jì)算．已知方程x2+3x﹣1=0的兩根實(shí)數(shù)根為α，β，不解方程，求下列各式的值（1）α2+β2；（2）α3β+αβ3；（3）

；（4）（α﹣1）（β﹣1）失誤防范1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的兩根，那么2.一些有用的結(jié)論：在求值時(shí)一些常見(jiàn)的變形：例2.若關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)根的平方和為2，求m的值.重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，韋達(dá)定理二聯(lián)重要結(jié)論：由韋達(dá)定理得到關(guān)于m的方程，求出m后再利用根的判別式確定m值.重要方法：代數(shù)變換三解解：四悟在運(yùn)用韋達(dá)定理時(shí)，不要忽略存在實(shí)數(shù)根的前提條件.設(shè)方程的兩實(shí)根為x1,x2，則例2.若關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)根的平方和為2，求m的值.當(dāng)m=3時(shí)，b2-4ac=16-28<0，方程無(wú)實(shí)根，舍去當(dāng)m=-3時(shí)，b2-4ac=4-4=0，故m的值是-3.舉一反三思路分析:（1）根據(jù)題意可知一元二次方程，必須滿(mǎn)足下列條件：①二次項(xiàng)系數(shù)不為零；②在有實(shí)數(shù)根下必須滿(mǎn)足△=b2﹣4ac≥0，代入數(shù)值解不等式即可；（2）由題意設(shè)方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0兩根為x1，x2，得x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k2﹣2，然后再根據(jù)兩實(shí)根的平方和等于11，從而解出k值．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有實(shí)根（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩實(shí)根的平方和等于11，求k的值．失誤防范1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的兩根，那么2.兩根平方和的應(yīng)用：利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題．例3.設(shè)x1,x2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，且則a=______.重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求未知數(shù)a二聯(lián)重要結(jié)論：由于x2滿(mǎn)足方程根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系將含a的方程重新整體即可求a.重要方法：代數(shù)變換三解解：四悟在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般要結(jié)合根的定義和根與系數(shù)的關(guān)系求解.因?yàn)閤2是一元二次方程的根因?yàn)閤1,x2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根所以-6+a=4,得a=10，故答案為10.例3.設(shè)x1,x2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，且則a=______.舉一反三思路分析:由根與系數(shù)的關(guān)系得到x1x2=﹣2014，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2014=0的根，得出x22﹣3x2=2014，整體代入a﹣x1（x22﹣4x2﹣2014）=1，進(jìn)一步求得答案即可．設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2014=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，且a﹣x1（x22﹣4x2﹣2014）=1，則a=____失誤防范1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的兩根，那么2.關(guān)于兩根非對(duì)稱(chēng)式的值：關(guān)于方程兩根非對(duì)稱(chēng)式的代數(shù)式的值一般要同時(shí)結(jié)合方程根的定義和根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解．例4.已知x1,x2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使成立？若存在求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求使

為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求未知數(shù)a二聯(lián)重要結(jié)論：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把所求表示a的關(guān)系式即可求a.重要方法：代數(shù)變換三解解：四悟在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般要先確定判別式然后再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.(1)根據(jù)題意得由根與系數(shù)的關(guān)系得經(jīng)檢驗(yàn)a=24是上面方程的解.所以存在實(shí)數(shù)a,使式子成立，a=24.例4.已知x1,x2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使成立？若存在求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求使

為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.由(2)為負(fù)數(shù)，則6-a為-1或-2或-3或-6,解得a=7或8或9或12舉一反三思路分析:（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得x1=3x2，根據(jù)根的判別式可得出△=﹣16k，進(jìn)而可得出k≤0以及x1、x2的值，再根據(jù)x1=3x2即可得出關(guān)于k的分式方程，解方程并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，代入數(shù)據(jù)即可找出k的值，再由分母不能為0即可得出結(jié)論．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)根．（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使得x1=3x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）求使

的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值．失誤防范1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的兩根，那么2.求含未知數(shù)的一元二次方程中未知數(shù)的值：首先要確定判別式的情況；然后再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及求根公式找出關(guān)于未知數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵．例5.關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0.（1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根.重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程，兩個(gè)不等實(shí)根，已知兩根關(guān)系求參數(shù)值.二聯(lián)重要結(jié)論：根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系.重要方法：分析計(jì)算三解解：（1）證明：∵△=[-（m-3）]2﹣4m2=5m2﹣6m+9=5（m﹣

）2+，∵無(wú)論m取何值5（m﹣

）2≥0，∴5（m﹣

）2+＞0，∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.5.關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0.（1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根.解題技巧三解解：（2）∵x1，x2是原方程的兩根，∴x1+x2=m﹣3，x1x2=﹣m2，∵|x1|=|x2|﹣2，∴|x2|﹣|x1|=2，兩邊平方得，x12+x22-2|x1x2|=4，即（x1+x2）2-2x1x1-2|x1x2|=4，∴（m﹣3）2-2（﹣m2）-2|﹣m2|=4，即（m﹣3）2=4，解得m=5或m=1.當(dāng)m=5時(shí)，方程為x2﹣2x﹣25=0，解得x1=1+，x2=1-；當(dāng)m=1時(shí)，方程為x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣.四悟弄清題意，靈活應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣1=0．（1）求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，滿(mǎn)足x12+x22=41，求m的值．舉一反三思路分析:

（1）由于無(wú)論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以證明判別式是正數(shù)即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到如果把所求代數(shù)式利用完全平方公式變形，結(jié)合前面的等式即可求解．答案：（1）∵△=（m﹣2）2+4（m+1）=m2﹣4m+4+4m+4=m2+8＞0，∴無(wú)論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，∴x1+x2=﹣（m﹣2），x1?x2=﹣m﹣1，而x12+x22=41，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2=41，∴（m﹣2）2+2m+2=41，∴m2﹣4m+4+2m﹣39=0，m2﹣2m﹣35=0，∴m=﹣5或7．失誤防范1.根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：

如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1+x2=x1x2=失誤防范3.根與系數(shù)關(guān)系使用的前提是：（1）是一元二次方程，即a≠0；（2）方程為一般形式。即形如：ax2+bx+c=0；（3）判別式大于等于零，即b2-4ac≥0.例6.重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程，給值，求值.二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程求解，根與系數(shù)的關(guān)系.重要方法：分析計(jì)算三解解：（1）由已知條件可知，a,b,是方程

的兩個(gè)相異實(shí)根.解題技巧三解解：四悟弄清題意，靈活應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.舉一反三

閱讀下面的材料：如果關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則

綜合得：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則有x1+x2=，x1x2=請(qǐng)利用這一結(jié)論解決問(wèn)題：（1）方程x2+bx+c=0的兩根為﹣1和3，求b與c的值；（2）設(shè)方程2x2﹣3x+1=0的兩根為x1，x2，求

以及2x12+2x22的值．舉一反三思路分析:（1）根據(jù)兩根之和等于﹣b，兩根之積等于c求解；（2）應(yīng)把所求的代數(shù)式整理為和根與系數(shù)的關(guān)系有關(guān)的式子求解．答案：（1）∵﹣1+3=﹣b，（﹣1）×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3；2x12+2x22=2（x12+x22）=2[（x1+x2）2﹣2x1x2]失誤防范1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：

如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1+x2=x1x2=說(shuō)明：（1）定理成立的條件△≥0；（2）注意公式中x1+x2=的負(fù)號(hào)與b的符號(hào)的區(qū)別失誤防范2.根與系數(shù)關(guān)系應(yīng)用：直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系（驗(yàn)根）；已知方程的一個(gè)根求另一個(gè)根及未知數(shù)；已知兩根求作一元二次方程；求關(guān)于兩根的對(duì)稱(chēng)式或代數(shù)式的值；解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.3.解決此類(lèi)型題目的技巧:本題解題時(shí)關(guān)鍵是讀懂題意，理解已知中敘述的方程的解與方程的根之間的關(guān)系．把所求的代數(shù)式整理成用兩根的和與兩根的積表示的形式．例7.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a>0）.（1）證明：這個(gè)方程的一個(gè)根比2大，另一個(gè)根比2??；（2）若對(duì)于a=1,2，…，2004，相應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根分別為α1，β1，α2，β2，…，α2004，β2004，求

的值．重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程，兩個(gè)不等實(shí)根，求值.二聯(lián)重要結(jié)論：根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系.重要方法：發(fā)現(xiàn)規(guī)律計(jì)算三解解：（1）設(shè)方程的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2，x1x2=﹣a2﹣a，a>0.∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=﹣a2﹣a﹣4+4=﹣a2﹣a＜0.∴x1﹣2與x2﹣2異號(hào)，即x1與x2中一個(gè)比2大，一個(gè)比2?。?）當(dāng)a=1,2，…，2004時(shí)對(duì)應(yīng)的方程分別為x2-2x-2=0,x2