2024學(xué)年天津市武清區(qū)楊村一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次檢測(cè)卷附答案解析

學(xué)年天津市武清區(qū)楊村一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次檢測(cè)卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知向量，，若，則（

）A． B．1 C． D．2．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離3．在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．10 B．20 C．30 D．404．已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A． B．1 C．2 D．5．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別記為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若弦長(zhǎng)|AB|的最小值為3，且的周長(zhǎng)為8，則橢圓的焦距等于（

）A．1 B．2 C． D．6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，其中為方程的兩根，則（）A． B． C． D．7．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點(diǎn)，且，若，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．8．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，為其公差，且，給出以下命題：①；②；③使得取得最大值時(shí)的n為8；④滿足成立的最大n值為17.其中正確命題的序號(hào)為（）A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④9．拋物線：焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于K，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，的角平分線與軸交點(diǎn)為，則m最大值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.11．已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為．12．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為圓心，為半徑的圓與直線相切，則拋物線的方程為．13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，則.14．如圖，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)F1作圓的切線與雙曲線C的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若則雙曲線C的離心率為.15．已知F是拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，AB，CD是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦，且，直線AB的斜率為k，且，C，A兩點(diǎn)在x軸上方，則下列結(jié)論中正確的有：①；②若則；③；④四邊形ACBD面積的最小值為三、解答題（本大題共5小題）16．如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面AMC；(2)求異面直線AM與所成角的余弦值；(3)求平面AMC與平面的夾角的余弦值．17．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為，且.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，且滿足，若直線的斜率為，求直線的方程.18．已知等差數(shù)列公差為d，，且，，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，并求證：.19．已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．20．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為上的一點(diǎn).(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證：為定值，并求出該定值；(3)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點(diǎn)P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時(shí)圓M的方程.

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即，所以解得即．故選：A.2．【答案】B【詳解】的圓心為，半徑為2，的圓心為，半徑為3，由于，，故兩圓相交.故選：B3．【答案】D【詳解】由已知，，則，所以.故選：D4．【答案】C【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線垂直，因此，解得，故答案為C.5．【答案】B【詳解】由題意可知，焦距等于2故選：B．6．【答案】B【詳解】由題得，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，則，由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可得：.因?yàn)榈缺葦?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，都是負(fù)數(shù)，所以.故選：B.7．【答案】D【詳解】橢圓中，，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，在三角形中，，所以，所以，即，所以，由題焦點(diǎn)在軸上，故雙曲線方程為，故選：D．8．【答案】A【詳解】由，即存在最大值，故，①③對(duì)；可得，所以，②錯(cuò)；由，可知，所以滿足成立的最大n值為15，④錯(cuò).故選：A9．【答案】B【詳解】解：由題意可得，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝?1，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，記∠KPF的平分線與軸交于根據(jù)角平分線定理可得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，綜上：．故選：B．10．【答案】【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列方程組求解可得.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以，解得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：11．【答案】或【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為2．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為，符合題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即所以圓心到直線的距離為，解得直線的方程為．綜上可知，直線的方程為或．故答案為：或．12．【答案】【詳解】由題意知拋物線：的焦點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以：，又因?yàn)椋?，解得：，則拋物線的方程為：.故答案為：.13．【答案】0【詳解】因?yàn)楣?，且成等比?shù)列，所以，即，解得，所以．故答案為：014．【答案】【詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，連接，作作，垂足為，由于圓的半徑為，則，且為的中位線，可得，又，所以，即有，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，則，可得，所以，由雙曲線的定義可得，即，所以，由，則，所以雙曲線C的離心率為.故答案為：．15．【答案】①③【詳解】設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，，，所以，，設(shè)點(diǎn)、，直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，所以，，③正確；，解得，，則，直線的斜率為，②不正確；對(duì)于①，，同理可得，，①正確.四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，④錯(cuò)誤；故答案為：①③.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，確定，，得到證明.（2）確定，，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.（3）確定平面的法向量和平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，則，；，.，平面，故平面.（2），，則.故異面直線AM與所成角的余弦值為.（3）設(shè)平面的法向量為，則，取得到；設(shè)平面的法向量為，則，取得到；平面AMC與平面的夾角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：由題意可得，解得，，所以，，所以，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立可得，則為方程的一根，所以，，可得，則，即點(diǎn)，由，得，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，所以，，即，解得或，因?yàn)?，解得或，所以，直線的方程為或.18．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）等差數(shù)列公差為d，，且，，，成等比數(shù)列，則有，解得，所以（2），，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.所以，易知單調(diào)遞增，同時(shí)，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，同時(shí)，所以19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在；或【詳解】（1）證明：法一：分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，由題意可知點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．所以，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；法二：因?yàn)闉檎叫?，且平面，所以、、兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，易知平面的一個(gè)法向量，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫?）解：設(shè)平面的法向量，，，則，取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角余弦值為；（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使得，其中，則，由（2）得平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，整理可得．即，因?yàn)椋獾没?，所以，或?0．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，0；(3)，圓M的方程為或.【分析】（1）將點(diǎn)代入求出，再求出左、右焦點(diǎn)即可求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.（3）設(shè)出直線:，直線:，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得、是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，根據(jù)題意為定值，可得，，設(shè)，，將直線:，直線:與橢圓聯(lián)立，求出，即求.【詳解】（1）由已知條件得，因?yàn)?，則，又，因此的面積為.（2）設(shè)，由，得，，又，，，于是，即為定值.（3）因?yàn)橹本€:與相切，則，即，同理，由直線:與相切，可得，于是、是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，注意到，且，故，因?yàn)槎ㄖ?，故不妨設(shè)（定值），于是有，即.依題意可知，變化，而、均為定值，即有，解得，，設(shè)，，由