交錯級數(shù)及其審斂法 絕對收斂與條件收斂_第1頁
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交錯級數(shù)及其審斂法絕對收斂與條件收斂交錯級數(shù)及其審斂法絕對收斂與條件收斂

第二節(jié)我們討論了正項級數(shù)的審斂法，那么，對任意項級數(shù)我們又該如何來審斂呢？這一節(jié)我們首先討論一種特殊的任意項級數(shù)——交錯級數(shù)的審斂問題.一、交錯級數(shù)及其審斂法設(shè)級數(shù)u1,u2,u3,…,un,…的每一項都是正數(shù)，則稱級數(shù)

u1－u2+u3－u4+…+(－1)n－1un+…或

－u1+u2－u3+u4－…+(－1)nun+…為交錯級數(shù).例如，級數(shù)

都是交錯級數(shù).對于交錯級數(shù)，我們有下面的萊布尼茲(Leibniz)定理.一、交錯級數(shù)及其審斂法定理7一、交錯級數(shù)及其審斂法證我們就n是奇數(shù)或偶數(shù)分別考察Sn.設(shè)n為偶數(shù)，此時

Sn=S2m=u1－u2+u3－u4+…+u2m－1－u2m

=(u1－u2)+(u3－u4)+…+(u2m－1－u2m).由已知條件(1)可知，S2m的每個括號內(nèi)的值都大于等于0，因而

S2≤S4≤…≤S2m≤….又可將S2m改寫成

S2m=u1－(u2－u3)－…－(u2m－2－u2m－1)－u2m一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法上式仍是交錯級數(shù)，也滿足定理7的兩個條件，所以級數(shù)也收斂，且其和

|rn|≤un+1.我們稱滿足定理1兩個條件的交錯級數(shù)為萊布尼茲型交錯級數(shù).例如，級數(shù)

由于un=1n是單調(diào)減小的，且limn→∞un=0，所以該交錯級數(shù)收斂且為萊布尼茲型交錯級數(shù).而級數(shù)(－1)+2+(－3)+4+(－5)+…+(－1)nn+…雖是交錯級數(shù)，但卻不是萊布尼茲型交錯級數(shù).一、交錯級數(shù)及其審斂法【例22】一、交錯級數(shù)及其審斂法【例23】二、絕對收斂與條件收斂前面我們已經(jīng)討論了正項級數(shù)、交錯級數(shù)收斂性的判別方法，那么，對于其他的級數(shù)又如何來判別呢？下面給出任意項級數(shù)的概念.設(shè)有級數(shù)其中u

n(n=1,2,…)為任意實數(shù)，這樣的級數(shù)稱為任意項級數(shù).為了判定任意項級數(shù)的收斂性，通常先考察其各項的絕對值所組成的正項級數(shù)二、絕對收斂與條件收斂定理8二、絕對收斂與條件收斂定義3二、絕對收斂與條件收斂【例24】二、絕對收斂與條件收斂定義4二、絕對收斂與條件收斂【例25】二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件

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