空間 直線及其方程

空間直線及其方程一、空間直線方程空間直線的點(diǎn)向式方程1.首先給出直線的方向向量的概念.已知直線L，任意一個(gè)平行于L的非零向量稱(chēng)為這條直線的方向向量，直線方向向量s的坐標(biāo)m,n,p稱(chēng)為這條直線的方向數(shù),而向量s的方向余弦稱(chēng)為該直線的方向余弦.顯然,直線上任一向量都可視為該直線的方向向量.一、空間直線方程在空間中給定直線L上一點(diǎn)M0x0,y0,z0及它的一個(gè)方向向量s=m,n,p,就可以唯一地確定直線L的位置.下面來(lái)建立直線L的方程,如圖7-39所示.圖7-39一、空間直線方程設(shè)M(x,y,z)為直線L上的任一點(diǎn),那么有與s平行，所以兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，從而有

（7-12）這就是直線L的方程，稱(chēng)為直線的點(diǎn)向式方程或?qū)ΨQ(chēng)式方程.一、空間直線方程因?yàn)閟≠0，所以m,n,p不全為零，但當(dāng)m,n,p中有一個(gè)為零，如m=0時(shí)，方程(7-12)成為表示一條平行于yOz面的直線，其上的點(diǎn)恒滿足x=x0；而當(dāng)m,n,p中有兩個(gè)為零，如m=n=0時(shí)，方程(7-12)成為表示一條平行于z軸的直線，其上的點(diǎn)恒滿足x=x0,y=y0.一、空間直線方程求過(guò)點(diǎn)A(2,-3,4)，且和y軸垂直相交的直線的方程.

解因?yàn)橹本€和y軸垂直相交,所以交點(diǎn)為B(0,-3,0)，于是取方向向量因此，直線方程為也可寫(xiě)為【例1】一、空間直線方程已知兩點(diǎn)M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，試求過(guò)M1,M2的直線方程.

解由直線過(guò)點(diǎn)M1和M2知，其方向向量s=x2-x1,y2-y1,z2-z1，于是直線的點(diǎn)向式方程為【例2】一、空間直線方程空間直線的參數(shù)方程2.由直線的點(diǎn)向式方程，可以得出直線的參數(shù)方程.設(shè)則此方程組就是直線的參數(shù)方程，其中t為參數(shù).若s=m,n,p為單位向量，則t的絕對(duì)值代表動(dòng)點(diǎn)Mx,y,z到定點(diǎn)M0x0,y0,z0的距離與s同向時(shí)，t為正；反向時(shí)，t為負(fù).一、空間直線方程空間直線的一般方程3.更一般的情況下，空間直線L可以看作是兩個(gè)平面π1和π2的交線.設(shè)直線L是平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0與π2：A2x+B2y+C2z+D2=0的交線（見(jiàn)圖7-40）,則直線L上的任一點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程,即

圖7-40一、空間直線方程反之,若點(diǎn)M不在直線L上,顯然它不可能同時(shí)在平面π1和π2上,所以其坐標(biāo)必不滿足上述方程組.由此可見(jiàn)，直線L可用方程組(7-13)來(lái)表示，此方程組就稱(chēng)為空間直線的一般方程.通過(guò)空間一直線L的平面有無(wú)窮多個(gè)，把通過(guò)該直線的所有平面的全體稱(chēng)為有軸平面束，簡(jiǎn)稱(chēng)平面束，直線L稱(chēng)為平面束的軸.只要在平面束中任意選取兩個(gè)平面，將其方程聯(lián)立起來(lái)，所得方程組就表示空間直線L.一、空間直線方程已知直線的一般方程試求其點(diǎn)向式方程及參數(shù)方程.

解首先任求直線上的一點(diǎn)，如令x=1，可得到解得y=-1,z=2，于是點(diǎn)1,-1,2在直線上.設(shè)兩平面的法向量分別為n1，n2，直線的方向向量為s，則【例3】一、空間直線方程

因此，直線的點(diǎn)向式方程為

令，得所給直線的參數(shù)方程為一、空間直線方程設(shè)兩條不平行的直線與若在L1與L2上分別任取M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)兩點(diǎn)，試證明L1與L2的距離為其中s1,s2分別為L(zhǎng)1,L2的方向向量.【例4】一、空間直線方程由向量混合積的幾何意義可知，的絕對(duì)值為以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的體積，如圖7-41所示.證明圖7-41一、空間直線方程同時(shí)，這個(gè)平行六面體的體積V還可表示為高與底面積的乘積，即V=d·s1×s2，從而有由兩直線不平行，可知s1×s2≠0，故有二、兩直線的夾角及位置關(guān)系兩直線的夾角1.把兩直線的方向向量的夾角φ稱(chēng)為兩直線的夾角，由于方向向量有兩個(gè)方向，這里同樣約定設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，則L1和L2的夾角因此，根據(jù)兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式可得二、兩直線的夾角及位置關(guān)系已知直線試求這兩直線的夾角.

解兩直線的方向向量分別為其中n1,n2分別為L(zhǎng)2所對(duì)應(yīng)的兩平面的法向量.所以兩直線的夾角φ滿足故兩直線的夾角為【例5】二、兩直線的夾角及位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系2.設(shè)兩直線分別為其位置關(guān)系有三種情況：平行（包含重合），相交（包含垂直）和異面.首先討論兩直線平行及垂直的條件.由于兩直線平行即其方向向量平行，兩直線垂直即其方向向量垂直，故可得兩直線平行與垂直的充分必要條件分別為：二、兩直線的夾角及位置關(guān)系

當(dāng)兩直線不平行時(shí)，由直線的位置關(guān)系知，兩直線可能相交，也可能異面.若兩直線相交則兩直線間的距離為0，異面則兩直線間的距離不為0，結(jié)合例4可得如下結(jié)論：（1）若L1與L2相交，則（2）若L1與L2異面，則其中M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)分別為L(zhǎng)1與L2上的任意點(diǎn)，s1和s2分別為L(zhǎng)1與L2的方向向量.三、直線與平面直線與平面的夾角1.直線和它在平面上的投影直線間的夾角稱(chēng)為直線與平面的夾角（見(jiàn)圖7-42）.圖7-42三、直線與平面當(dāng)直線與平面垂直時(shí),直線在平面上的投影為點(diǎn)，此時(shí)規(guī)定直線與平面的夾角為注意三、直線與平面設(shè)直線的方向向量為s=（

m,n,p,）平面的法向量為n=（A,B,C,）直線與平面的夾角為φ,則，所以.由兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,有三、直線與平面設(shè)直線，平面π:x-y+2z=3，求直線與平面的夾角.

解直線L的方向向量為s=（2,-1,2,）平面π的法向量為n=（1,-1,2,）則L與π的夾角φ滿足因此，L與π的夾角φ為【例6】三、直線與平面直線與平面的位置關(guān)系2.直線與平面的位置關(guān)系有兩種情況：相交（包含垂直），平行（包含在平面上）.設(shè)直線L的方向向量為s=m,n,p,平面π的方程為Ax+By+Cz+D=0,其法向量為n=A,B,C,則L與π垂直、平行的充要條件分別為：（1）因?yàn)長(zhǎng)⊥π相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法向量平行,即

，故有三、直線與平面（2）因?yàn)?/p>

相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法向量垂直,即s⊥n，故有特別地，直線L在平面π上的充要條件為且對(duì)三、直線與平面求過(guò)點(diǎn)1,-2,4且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程.

解平面的法向量2,-3,1，由于直線與平面垂直，故平面的法向量可作為所求直線的方向向量，因此，所求直線的方程為【例7】三、直線與平面求過(guò)點(diǎn)(-1,0,4)，且平行于平面3x-4y+z-10=0，又與直線相交的直線方程.

解設(shè)所求直線方程因?yàn)樗笾本€平行于平面3x-4y+z-10=0，所以3m-4n+p=0.【例8】三、直線與平面又由于所求直線與直線相交，故有即10m-4n-3p=0.

由得故所求直線方程為三、直線與平面平面束方程3.有時(shí)應(yīng)用平面束的方程解題比較方便.下面介紹平面束的方程.在已知直線L的情況下，任取兩個(gè)過(guò)該直線的平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0和π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，即可得其一般方程三、直線與平面現(xiàn)在來(lái)考察三元一次方程A1x+B1y+C1z+D1+λA2x+B2y+C2z+D2=0(λ為任意常數(shù)），整理可得A1+λA2x+B1+λB2y+C1+λC2z+D1+λD2=0,(7-14)由于π1,π2兩平面相交，故系數(shù)A1，B1，C1與A2，B2，C2必不完全成比例,所以對(duì)任取λ值,上述方程的系數(shù)必不全為零,從而這個(gè)三元一次方程可表示平面.同時(shí)，對(duì)于不同的λ值,它對(duì)應(yīng)的平面也不同,而且這些平面顯然都通過(guò)直線L.反之，通過(guò)直線L的所有平面（除平面π2外）都包含在方程(7-14)所表示的一族平面內(nèi)，于是把方程A1x+B1y+C1z+D1+λA2x+B2y+C2z+D2=0稱(chēng)為過(guò)直線L的平面束方程.三、直線與平面設(shè)平面外一點(diǎn)（1，-1，0）到這平面的距離為且該平面過(guò)直線L：