空間直線及其方程

空間直線及其方程一、空間直線方程空間直線的點(diǎn)向式方程1.首先給出直線的方向向量的概念.已知直線L，任意一個(gè)平行于L的非零向量稱為這條直線的方向向量，直線方向向量s的坐標(biāo)m,n,p稱為這條直線的方向數(shù),而向量s的方向余弦稱為該直線的方向余弦.顯然,直線上任一向量都可視為該直線的方向向量.在空間中給定直線L上一點(diǎn)M0x0,y0,z0及它的一個(gè)方向向量s=m,n,p,就可以唯一地確定直線L的位置.下面來(lái)建立直線L的方程,如圖7-25所示.圖7-25一、空間直線方程設(shè)M(x,y,z)為直線L上的任一點(diǎn),那么有M0M與s平行，所以兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，從而有(7-22)

這就是直線L的方程，稱為直線的點(diǎn)向式方程或?qū)ΨQ式方程.因?yàn)閟≠0，所以m,n,p不全為零，但當(dāng)m,n,p中有一個(gè)為零，如m=0時(shí)，方程(7-22)成為

表示一條平行于yOz面的直線，其上的點(diǎn)恒滿足x=x0；而當(dāng)m,n,p中有兩個(gè)為零，如m=n=0時(shí)，方程(7-22)成為

表示一條平行于z軸的直線，其上的點(diǎn)恒滿足x=x0,y=y0.一、空間直線方程【例19】求過(guò)點(diǎn)A(2,-3,4)且和y軸垂直相交的直線的方程.解因?yàn)橹本€和y軸垂直相交,所以交點(diǎn)為B(0,-3,0)，于是取方向向量s=BA=2,0,4，因此，直線方程為一、空間直線方程【例20】已知兩點(diǎn)M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，試求過(guò)M1,M2的直線方程.解由直線過(guò)點(diǎn)M1和M2知，其方向向量s=x2-x1,y2-y1,z2-z1，于是直線的點(diǎn)向式方程為一、空間直線方程空間直線的參數(shù)方程2.由直線的點(diǎn)向式方程，可以得出直線的參數(shù)方程.此方程組就是直線的參數(shù)方程，其中t為參數(shù).若s=m,n,p為單位向量，則t的絕對(duì)值代表動(dòng)點(diǎn)Mx,y,z到定點(diǎn)M0x0,y0,z0的距離.M0M與s同向時(shí)，t為正；反向時(shí)，t為負(fù).一、空間直線方程空間直線的一般方程3.更一般的情況下，空間直線L可以看作是兩個(gè)平面π1和π2的交線.設(shè)直線L是平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0與π2：A2x+B2y+C2z+D2=0的交線(見(jiàn)圖7-26),則直線L上的任一點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程.圖7-26一、空間直線方程(7-23)反之,若點(diǎn)M不在直線L上,顯然它不可能同時(shí)在平面π1和π2上,所以其坐標(biāo)必不滿足上述方程組.由此可見(jiàn)，直線L可用方程組(7-23)來(lái)表示，此方程組稱為空間直線的一般方程.通過(guò)空間一直線L的平面有無(wú)窮多個(gè)，把通過(guò)該直線的所有平面的全體稱為有軸平面束，簡(jiǎn)稱平面束，直線L稱為平面束的軸.只要在平面束中任意選取兩個(gè)平面，將其方程聯(lián)立起來(lái)，所得方程組就表示空間直線L.一、空間直線方程【例21】二、兩直線的夾角及位置關(guān)系兩直線的夾角1.把兩直線的方向向量的夾角φ稱為兩直線的夾角，由于方向向量有兩個(gè)方向，這里同樣約定φ∈0,π2.設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，則L1和L2的夾角φ=s1,s2［或π-s1,s2］,因此，cosφ=coss1,s2.根據(jù)兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式可得

二、兩直線的夾角及位置關(guān)系【例22】二、兩直線的夾角及位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系2.三、直線與平面直線與平面的夾角1.直線和它在平面上的投影直線間的夾角φ0≤φ≤π2稱為直線與平面的夾角(見(jiàn)圖7-27).圖7-27三、直線與平面注：當(dāng)直線與平面垂直時(shí),直線在平面上的投影為點(diǎn)，此時(shí)規(guī)定直線與平面的夾角為π2.注三、直線與平面【例23】三、直線與平面直線與平面的位置關(guān)系2.直線與平面的位置關(guān)系有兩種情況：相交(包含垂直)或平行(包含在平面上).設(shè)直線L的方向向量為s=m,n,p,平面π的方程為Ax+By+Cz+D=0,其法向量為n=A,B,C,則L與π垂直、平行的充要條件分別為：(1)因?yàn)長(zhǎng)⊥π相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法向量平行,即s∥n，故有(2)因?yàn)長(zhǎng)∥π相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法向量垂直,即s⊥n，故有L∥π=Am+Bn+Cp=0.特別地，直線L在平面π上的充要條件為Am+Bn+Cp=0，且對(duì)M0(0,y0,z0)∈L，有Ax0+By0+Cz0+D=0.三、直線與平面【例24】求過(guò)點(diǎn)1,-2,4且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程.解平面的法向量2,-3,1，由于直線與平面垂直，故平面的法向量可作為所求直線的方向向量，因此，所求直線的方程為三、直線與平面平面束方程3.有時(shí)應(yīng)用平面束的方程解題比較方便.下面介紹平面束的方程.在已知直線L的情況下，任取兩個(gè)過(guò)該直線的平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0和π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，即可得其一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.現(xiàn)在來(lái)考察三元一次方程A1x+B1y+C1z+D1+λA2x+B2

y+C2z+D2=0(λ為任意常數(shù))，整理可得A1+λA2x+B1+λB2y+C1+λC2z+D1+λD2=0,(7-24)

三、直線與平面由于π1,π2兩平面相交，故系數(shù)A1，B1，C1與A2，B2，C2必不完全成比例,所以對(duì)任取λ值,上述方程的系數(shù)必不全為零,從而這個(gè)三元一次方程可表示平面.同時(shí)，對(duì)于不同的λ值,它對(duì)應(yīng)的平面也不同,而且這些平面顯然都通過(guò)