林公式及其應(yīng)用

林公式及其應(yīng)用一、格林公式本節(jié)介紹的格林公式建立了平面閉區(qū)域D上的二重積分與D的邊界曲線L上的第二類曲線積分之間的聯(lián)系.這種聯(lián)系不論在理論上還是實(shí)際計(jì)算中，對(duì)曲線積分都有著重要作用.在給出格林公式之前，先介紹單（復(fù)）連通平面區(qū)域的概念.一、格林公式設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域.例如,平面上的圓形區(qū)域和右半平面(x,y)|x>0都是單連通區(qū)域；圓環(huán)形區(qū)域和去心圓盤都是復(fù)連通區(qū)域.一、格林公式規(guī)定區(qū)域D的邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿L的某個(gè)方向行進(jìn)時(shí)，區(qū)域D總在它的左側(cè)，則該方向即為L(zhǎng)的正向，稱該方向的邊界曲線L為D的正向邊界曲線.例如，對(duì)于區(qū)域(x,y)|x2+y2<1，逆時(shí)針方向的圓周x2+y2=1是它的正向邊界曲線；對(duì)于區(qū)域逆時(shí)針方向的圓周與順時(shí)針方向的圓周x2+y2=1共同組成了它的正向邊界曲線.一、格林公式設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)Px,y及Qx,y在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

（10-6）其中L是D的正向邊界曲線.公式(10-6)稱為格林公式.定理1一、格林公式證明根據(jù)D的不同形狀，分兩種情況來證明.（1）穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與D的邊界曲線L的交點(diǎn)恰好為兩點(diǎn)，即區(qū)域D既是X-型區(qū)域又是Y-型區(qū)域的情形，如圖10-8所示.圖10-8一、格林公式若把D看作X-型區(qū)域，設(shè)其中y=φ1x和y=φ2x分別為曲線

和

的方程.因?yàn)?/p>

連續(xù)，所以一、格林公式若把D看作Y型區(qū)域，設(shè)

其中和分別為曲線

和

的方程.因?yàn)?/p>

連續(xù)，所以一、格林公式

（10-8）由于對(duì)區(qū)域D，式(107)和式(108)同時(shí)成立，合并后即得公式(10-6).（2）再考慮一般情形.如果閉區(qū)域D不滿足以上條件，那么可以在D內(nèi)引入一條或幾條輔助曲線把D分成有限個(gè)既是X-型又是Y-型的子區(qū)域，然后逐塊按（1）的情形得到它們的格林公式，并相加即可.一、格林公式例如，如圖10-9所示的閉區(qū)域D.圖10-9一、格林公式用一條線ABC，將D分成三個(gè)既是X型又是Y型的子區(qū)域D1,D2,D3.于是，如果D為復(fù)連通區(qū)域，格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部正向邊界曲線上的曲線積分.注意一、格林公式在格林公式中，取P=－y,Q=x，即得閉區(qū)域D的面積一、格林公式求星形線所圍圖形的面積A.

解【例1】一、格林公式求其中L為圓周x2+y2=R2依逆時(shí)針方向（見圖10-10）.【例2】圖10-10一、格林公式

解由題意知,P=2xy－2y，Q=x2-4x.L為區(qū)域邊界的正向,故根據(jù)格林公式,有一、格林公式求其中a,b為正的常數(shù)，L為從點(diǎn)A(2a,0)沿曲線到點(diǎn)O(0,0)的?。ㄒ妶D10-11）.【例3】圖10-11一、格林公式

解添加從點(diǎn)O(0,0)沿x軸到點(diǎn)A(2a,0)的有向直線段OA（記為L(zhǎng)1），則由格林公式，前一部分積分為一、格林公式其中D是L與L1所圍成的半圓域.直接計(jì)算后一積分可得從而本例中，通過添加一段簡(jiǎn)單的輔助曲線，使它與所給曲線構(gòu)成一封閉曲線，然后利用格林公式把所求曲線積分化為二重積分來計(jì)算.在利用格林公式計(jì)算曲線積分時(shí)，這是常用的一種方法.一、格林公式求其中D是由x軸與擺線的第一拱所圍成的區(qū)域（見圖10-12）.【例4】圖10-12一、格林公式

解由格林公式得因此，可取P=0,Q=xy2，故一、格林公式而所以一、格林公式求其中L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線,L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.

解記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈,令則當(dāng)4x2+y2≠0時(shí),有【例5】一、格林公式當(dāng)(0,0)D時(shí),由格林公式,得當(dāng)(0,0)∈D時(shí),作一位于D內(nèi)的橢圓周l:4x2+y2=δ2(δ>0),記由L和l所圍成的區(qū)域?yàn)镈1(見圖10-13),則由格林公式,得所以利用l的參數(shù)方程得二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件通過本章第二節(jié)的學(xué)習(xí)知道，沿著具有相同起點(diǎn)和終點(diǎn)但積分路徑不同的第二類曲線積分，其積分值可能相等，也可能不相等.在什么情況下，積分值相等呢？這就是下面將要討論的平面曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件.為了研究這個(gè)問題，先要明確曲線積分與路徑無關(guān)的定義.二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件設(shè)D是一個(gè)區(qū)域，P(x,y)以及Q(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).L1，L2是D內(nèi)具有相同起點(diǎn)和終點(diǎn)的任意兩條曲線（見圖10-14），如果等式恒成立，就說曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān)，否則稱與路徑有關(guān).下面給出平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件.圖10-14二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件設(shè)區(qū)域D是一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)P（

x,y

），Q（

x,y

）在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列命題等價(jià)：(1)在D內(nèi)處處成立.(2)對(duì)D內(nèi)任意光滑閉曲線L的曲線積分(3)對(duì)D內(nèi)任意光滑曲線L，曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān).(4)微分式Px,ydx+Qx,ydy在D內(nèi)為某一函數(shù)ux,y的全微分，即定理2二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件

設(shè)D內(nèi)任意光滑閉曲線L所圍的區(qū)域?yàn)镈1，由于D為單連通區(qū)域，所以D1含在D內(nèi).應(yīng)用格林公式及在D內(nèi)恒有

于是證明二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件

設(shè)與為區(qū)域D內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條路徑（見圖10-14），則由（2）知所以二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件設(shè)起點(diǎn)M0(x0,y0)為D內(nèi)某一定點(diǎn)，終點(diǎn)M(x,y)為D內(nèi)任意一點(diǎn).由（3）知，曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān)，故可將其記為當(dāng)點(diǎn)M(x,y)在D內(nèi)變動(dòng)時(shí)，其積分值是x,y的函數(shù)，即有

（10-9）要證(4)成立，只要證二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件由于曲線積分與路徑無關(guān),可以取先從M0(x0,y0)到M(x,y),然后沿平行于x軸的直線段從M(x,y)到Nx+Δx,y作為上式右端曲線積分的路徑（見圖10-15）,于是圖10-15二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件

從而由于MN平行于x軸,所以dy=0，從而由積分中值定理得由于P(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)連續(xù),P(x,y)也一定連續(xù),于是有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件同理可證這里的u(x,y)可通過取平行于坐標(biāo)軸的折線路徑（見圖10-16）得

或圖10-16二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件由（4）知，du=P（x,y）dx+Q（x,y）dy，則有從而由于P，Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，所以連續(xù)，因此二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件函數(shù)P(x,y)，Q(x,y)滿足定理2的條件時(shí)，表達(dá)式P（x,y）dx+Q(x,y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y)的全微分.因此可解決一類特殊的一階微分方程——全微分方程.若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(10-12)的左端恰好是某個(gè)函數(shù)u=u(x,y)的全微分du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，則稱方程(10-12)為全微分方程.此時(shí)方程(10-12)可寫成du(x,y)=0,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件因而u(x,y)=C就是方程(10-12)的通解,其中C為任意常數(shù).這樣,求解方程(10-12)實(shí)質(zhì)上就歸結(jié)為求全微分函數(shù)u(x,y).當(dāng)P(x,y)，Q(x,y)在單連通區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足定理2的條件時(shí)，由式(10-9)知全微分方程(10-12)的通解為其中x0,y0是在區(qū)域D內(nèi)適當(dāng)選定的點(diǎn)M0的坐標(biāo).二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件是否為某個(gè)函數(shù)的全微分？若是則求出一個(gè)這樣的函數(shù).

解設(shè)