曲線的曲率課件

曲線的曲率一、曲率的概念我們知道不同的曲線彎曲程度是不一樣的.例如，半徑較小的圓弧曲線彎曲得比半徑較大的厲害，而同一曲線的不同部分也有不同的彎曲度，如拋物線y=x2在頂點附近彎曲得比遠離頂點的部分厲害．這都要求我們對曲線的彎曲程度給出定量的刻畫.

在圖3-17中可以看出，弧段比較平直，當動點沿這弧段從M1移動到M2時，切線轉(zhuǎn)過的角度φ1不大，而弧段彎曲得比較厲害，切線轉(zhuǎn)過的角度φ2就比較大．也就是說，曲線的彎曲程度的大小與切線的轉(zhuǎn)角成正比．一、曲率的概念

但是，只有切線轉(zhuǎn)過的角度的大小還不能完全反應曲線彎曲的程度．例如，在圖3-18中我們可以看出，兩段曲線弧和，盡管它們的切線轉(zhuǎn)過的角度都是φ，然而其彎曲程度并不相同，弧長短的比弧長長的彎曲得厲害．由此可見，曲線弧的彎曲程度與曲線弧的長度也有關(guān)．曲線弧的彎曲程度的大小與曲線的弧長成反比．一、曲率的概念定義

設在具有連續(xù)轉(zhuǎn)動切線的曲線L上，有一長為|Δs|的弧段，此弧段的切線轉(zhuǎn)角為|Δα|（見圖3-19），則稱比值為弧段的平均曲率，并記作，即一、曲率的概念

當Δs→0時（即M′→M時），上述平均曲率的極限叫作曲線L在點M處的曲率，記作K，即在存在的條件下，K也可以表示為(3-13)一、曲率的概念

已知圓的半徑為R，求圓上：（1）任一段弧的平均曲率.（2）任一點的曲率.【例1】一、曲率的概念

解（1）在圓上任取一段弧，它的長度為Δs（見圖3-20），根據(jù)平面幾何知識，切線的轉(zhuǎn)角Δα等于圓心角∠MDM′，于是Δs=RΔα，因此，的平均曲率為一、曲率的概念

（2）圓上任一點的曲率為

上述結(jié)論表示圓上任一段弧的平均曲率和任一點的曲率都相等，而且都等于半徑R的倒數(shù).這就是說，圓的彎曲程度處處都一樣，且半徑越小曲率越大，即圓彎曲的越厲害．

為了更方便地計算曲線在某一點處的曲率，我們先看弧長微分的概念和計算.一、曲率的概念二、弧微分

設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導數(shù)．在曲線y=f(x)上取固定點A(x0,y0)作為度量弧長的基點（見圖3-21），并規(guī)定以x增大的方向為曲線的正向．對曲線上任一點M(x,y)，規(guī)定有向弧段的值s（簡稱為弧s）如下：s的絕對值等于這段弧的長度，當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s>0，相反時s<0．顯然，弧s與x存在函數(shù)關(guān)系：s=s(x)，而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù)．下面來求s(x)的導數(shù)及微分

設x,x+Δx為(a,b)內(nèi)兩個鄰近的點，它們在曲線y=f(x)上的對應點為M,M′，并設對應于x的增量Δx，弧s的增量為Δs，那么二、弧微分二、弧微分

求拋物線y=2x2－3x+1的弧微分.解由弧微分公式（3-14）得【例2】【例3】二、弧微分三、曲率的計算公式

我們通過曲率的定義，根據(jù)式（3-14）導出計算曲率的公式．

設曲線的直角坐標方程是y=f(x)，且f(x)具有二階導數(shù)（這時f′(x)連續(xù)，從而曲線是光滑的）．因為tanα=y′，所以于是又由式（3-14）可知，從而，根據(jù)曲率的表達式（3-13），有(3-17)設曲線由參數(shù)方程給出，則可利用參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法，求出y′及y″，代入式（3-17）便得（3-18）三、曲率的計算公式

求拋物線y=x2的曲率K及K|x=0．解y′=2x,y″=2，把y′,y″代入式（3-17）得下面利用曲率來對鐵路的彎道進行分析.鐵路彎道的主要部分是圓弧狀的，如圖3-22中的弧AB.設半徑為R，則圓弧上每點的曲率為1/R.如果火車由直線軌道直接進入圓弧軌道行駛，在直線與圓弧的聯(lián)結(jié)點的曲率將由零突然上升到1/R，軌道的彎曲就有一個跳躍，這樣就會影響火車的平穩(wěn)運行，甚至出現(xiàn)脫軌.因此，在直線與圓弧之間必須接入一緩沖曲線?！纠?】三、曲率的計算公式

如圖3-22中的弧OA，使軌道的曲率由零逐步地過渡到1/R.通常采用立方拋物線作為緩沖曲線，圖3-22中x軸(x<0)表示直線軌道，AB是圓弧軌道，其圓心為C，OA是立方拋物線，方程為其中L為緩沖曲線OA的長度.三、曲率的計算公式

求證：當所取L比R小得多時，緩沖曲線OA在端點O的曲率為零，在端點A的曲率近似于1/R.證明

故緩沖曲線在點O處的曲率為零.設點A的橫坐標為x0，由于L≈x0，于是故緩沖曲線在點A處的曲率為【例5】三、曲率的計算公式

因為L比R小得多，所以L/2R≈0，于是KA≈1/R．因此，緩沖曲線的曲率由零逐步變化到1/R，起到了緩沖作用．在有些實際問題中，|y′|同1比較起來是很小的（|y′|<<1），可以忽略不計．這時，1+y′2≈1，曲率有近似計算公式這就是說，當|y′|<<1時，曲率K近似于|y″|．對一些復雜問題的計算和討論就方便多了．三、曲率的計算公式四、曲率圓與曲率半徑

設曲線y=f(x)在點M(x,y)處的曲率為K（K≠0）．在點M處曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點D，使|DM|=1/K=R．以D為圓心，R為半徑畫圓（見圖3-23），這個圓叫作曲線在點M處的曲率圓，曲率圓的圓心D叫作曲線在點M處的曲率中心，曲率圓的半徑R叫作曲線在點M處的曲率半徑．

由上述規(guī)定可知，曲率圓與曲線在點M處有相同的切線和曲率，且在點M鄰近有相同的凹向．因此，在實際問題中，常常用曲率圓在點M鄰近的一段圓弧來近似替代曲線弧，使問題簡化．按上述規(guī)定，曲線在點M處的曲率K（K≠0）與曲線在點M處的曲率半徑R有如下關(guān)系：

這就是說：曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù)．四、曲率圓與曲率半徑

設工件表面的截線為拋物線y=0.4x2，現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問用直徑多大的砂輪才比較合適（見圖3-24）？【例6】四、曲率圓與曲率半徑解為了在磨削時不使砂輪與工件接觸處附近的那部分工件磨去太多，砂輪的半徑應不大于拋物線上各點處曲率半徑的最小值．拋物線在其頂點處的曲率最大，也就是說，拋物線在其頂點處的曲率半徑最?。虼耍灰蟪鰭佄锞€y=0.4x2在頂點O(0,0)處的曲率半徑．由y′=0.8x，y″=0.8，而有y′|x=0=0，y″|x=0=0.8.把它們代入公式（3-17）,得K=0.8.因而求得拋物線頂點處的曲率半徑R=1/K=1.25.所以選用砂輪的半徑不得超過1.25個單位長，即直徑不得超過2.50個單位長．四、曲率圓與曲率半徑

對于用砂輪磨削一般工件的內(nèi)表面時，也有類似的結(jié)論，即選用的砂輪的半徑不應超過這工件的內(nèi)表面的截線上各點處曲率半徑中的最小