經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程-微積分課件：定積分及其應(yīng)用（下）

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》

本節(jié)將分析和解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.其目的不僅在于建立一些公式，而更重要的是運(yùn)用實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常采用的一種“微元法”的分析方法.它使得定積分應(yīng)用于實(shí)踐更加方便.什么是微元法呢？以下先來(lái)回顧一下本章第一節(jié)中討論過(guò)的曲邊梯形的面積問(wèn)題.第五節(jié)

定積分在幾何中的應(yīng)用《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》第二步，求和：在任意一個(gè)子區(qū)間上任取一點(diǎn)小曲邊梯形的面積的近似值，曲邊梯形的面積第一步，分割：

將區(qū)間任意分割成n個(gè)子區(qū)間《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》.

如果將第三步近似形式中的用代替,用代替，即得為第三步中的被積表達(dá)式.

第三步，求極限：當(dāng)時(shí)，曲邊梯形面積《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》于是，求面積過(guò)程如下：第一步，選取積分變量（或）,并確定其變化范圍，例如選，在其上任取一個(gè)子區(qū)間；

第二步，取曲邊梯形面積在子區(qū)間上的部分量的近似值，即.如圖4－13.

叫做面積微元，記為.于是

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一般地，為求得某一實(shí)際問(wèn)題中的量，只需先求出的微元量，然后，對(duì)取相應(yīng)的定積分即可.這種方法通常叫做微元法.下面將應(yīng)用這種方法來(lái)先來(lái)討論一些幾何問(wèn)題.

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定積分為不規(guī)則的圖形求面積問(wèn)題提供了有效的解決方法.一、平面圖形的面積

一般地，設(shè)是上的兩條連續(xù)曲線(xiàn).不論的位置如何，由這兩條曲線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成的平面圖形的面積的微元（如圖4－14）總可以表示為，從而.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》類(lèi)似地，設(shè)是上的兩條連續(xù)曲線(xiàn).不論的位置如何，由這兩條曲線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成的平面圖形的面積的微元總可以表示為，從而

.

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例1

求由兩條拋物線(xiàn)及所圍圖形的面積.

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例2求由拋物線(xiàn)，其上點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸所圍圖形的面積.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》

例3求由曲線(xiàn)，直線(xiàn)，，所圍圖形的面積.

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例4求由拋物線(xiàn)與所圍成的平面圖形面積

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》如果選取縱坐標(biāo)y為積分變量， 積分變量的恰當(dāng)選取，可使計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)便.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例5求橢圓所圍圖形的面積.

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》由一平面圖形繞此平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體，這條直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸.例如，矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的一條直角邊、直角梯形繞它的直角腰和半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的分別是常見(jiàn)的圓柱體、圓錐體、圓臺(tái)體和球體.

二、旋轉(zhuǎn)體的體積

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》設(shè)有一旋轉(zhuǎn)體，如圖4－20(a)，是由連續(xù)曲線(xiàn)，直線(xiàn)及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，現(xiàn)在用定積分計(jì)算它的體積.取橫坐標(biāo)為積分變量，其變化范圍時(shí)是.任取一子區(qū)間上的窄曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的薄片的體積近似于以為底半徑、為高的扁圓柱體的體積，即體積微元，于是

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》類(lèi)似地，可求得由曲線(xiàn)軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(如圖4－20(b))

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例6求由，所圍圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解：(1)繞軸旋轉(zhuǎn),如圖4-21(a)，取為積分變量,體積微元，積分區(qū)間為，所以旋轉(zhuǎn)體體積為

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》(2)繞軸旋轉(zhuǎn),如圖4-21(b)，取為積分變量,積分區(qū)間為,體積微元分別為，所求旋轉(zhuǎn)體體積為

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例7求由橢圓所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.解：由對(duì)稱(chēng)性知，這個(gè)旋轉(zhuǎn)體也可看作是由半個(gè)橢圓及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.積分區(qū)間為體積微元為《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》故所以旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

特別，當(dāng)時(shí)，就得到了球體的體積公式.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》

*第六節(jié)定積分的近似計(jì)算如果被積函數(shù)是解析式，牛頓－萊布尼茨公式為計(jì)算定積分提供了有力的工具.但在許多實(shí)際問(wèn)題中遇到的定積分，有一些函數(shù)不是用解析式，而是用圖形或者用表格給出的，有一些被積函數(shù)雖然能用解析式表示，但要計(jì)算它的原函數(shù)卻十分困難，或者它的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；另一方面，許多實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果也不一定要求其精確值，因此需要解決定積分的近似計(jì)算問(wèn)題.由于計(jì)算機(jī)日益普及，定積分的近似計(jì)算容易實(shí)現(xiàn)從而在實(shí)際應(yīng)用中顯得更加重要.

根據(jù)定積分(的幾何意義是曲邊梯形的面積，由此可以得到求定積分的近似值計(jì)算法的基本思想.下面介紹三種常用而簡(jiǎn)便的近似計(jì)算方法──矩形法、梯形法、拋物線(xiàn)法.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》一、矩形法矩形法就是把曲邊梯形先分成若干個(gè)小曲邊梯形，然后用小矩形來(lái)近似代替小曲邊梯形，將小矩形的面積累加，從而求得定積分的近似值.具體做法如下：

（1）分割把區(qū)間分成等分，設(shè)分點(diǎn)為

每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為，過(guò)各分點(diǎn)作平行于軸的直線(xiàn)，把曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形（如圖4－23）.設(shè)曲線(xiàn)與上述直線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

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（1）

（2）求和取小區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值作為小矩形的高，此時(shí)個(gè)小矩形的面積分別為所以

類(lèi)似地，若取小區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值作為小矩形的高，此時(shí)，個(gè)小矩形的面積分別為.所以有

（2）式（1）和式（2）都叫做矩形法公式.它們其中一個(gè)是不定積分的不足近似值而另一個(gè)是不定積分的過(guò)剩近似值.

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例1用矩形法計(jì)算，取計(jì)算到三位小數(shù)的近似值.

解：把區(qū)間分成10等份，設(shè)分點(diǎn)為將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列表如下：《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》利用矩形法公式(1)，得

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》也可以利用矩形法公式(2)，得

.

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為了提高計(jì)算的精確度，分割的小區(qū)間個(gè)數(shù)的取值一般較大，這一目標(biāo)利用計(jì)算機(jī)編程容易達(dá)到.

如果在分割的每個(gè)小區(qū)間上采用一次或二次多項(xiàng)式來(lái)近似代替被積函數(shù)，對(duì)于相同的分割等分n，得到定積分的近似計(jì)算公式比矩形法的精確程度更好．梯形法和拋物線(xiàn)法就是這一思想的具體體現(xiàn)．《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》二、梯形法

梯形法就是先把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形然后連接曲線(xiàn)上相鄰分點(diǎn)，得到小直角梯形，將小直角梯形面積累加，從而求得定積分的近似值.具體做法如下:

（1）分割

把區(qū)間分成等分，設(shè)分點(diǎn)為每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為過(guò)各分點(diǎn)作平行于軸的直線(xiàn)，把曲邊梯形分割成個(gè)小曲邊梯形（如圖4—24）.設(shè)曲線(xiàn)與上述直線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》式(3)叫做梯形法公式.由這個(gè)公式所得的近似值實(shí)際上是式(1)，式(2)所得近似值的平均值.

所以

(3)

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例2用梯形法計(jì)算，取計(jì)算到三位小數(shù)的近似值.解：把區(qū)間分成10等分，設(shè)分點(diǎn)為將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，列于下表：《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》由梯形公式(3)，得≈

=0.1×(0.5000+8.3403)≈0.884.

由梯形法求定積分近似值，當(dāng)函數(shù)曲線(xiàn)為凹曲線(xiàn)時(shí)，計(jì)算結(jié)果就偏?。划?dāng)函數(shù)曲線(xiàn)為凸曲線(xiàn)時(shí)，它就偏大．為了進(jìn)一步提高精確度，可用與函數(shù)曲線(xiàn)凹凸性相同的拋物線(xiàn)來(lái)近似每個(gè)小區(qū)間上的曲線(xiàn)，這就是拋物線(xiàn)法．

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》三、拋物線(xiàn)法（Sinpson法）拋物線(xiàn)法就是把曲邊梯形先分割成若干個(gè)小曲邊梯形，然后用對(duì)稱(chēng)軸平行于軸的拋物線(xiàn)上的一段弧來(lái)近似代替原來(lái)的曲線(xiàn)弧，即以?huà)佄锞€(xiàn)為曲邊的小曲邊梯形近似代替原小曲邊梯形，從而算出定積分的近似值.具體做法如下：

（1）分割把區(qū)間分成等份，設(shè)分點(diǎn)為

每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為，過(guò)各分點(diǎn)作軸的平行直線(xiàn)，與曲線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

從而得到個(gè)小曲邊梯形（如圖4－25）.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》

（2）求和

為不失一般性，不妨把軸平移至直線(xiàn)處，設(shè)過(guò)三點(diǎn),,的拋物線(xiàn)方程為，以此拋物線(xiàn)為曲邊的曲邊梯形面積

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》注意到，因此可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

同樣地可以計(jì)算得到區(qū)間上以過(guò)三個(gè)點(diǎn)，的拋物線(xiàn)為曲邊的曲邊梯形的面積為

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上式稱(chēng)為拋物線(xiàn)公式（或辛普森（Simpson）公式）．

把以?huà)佄锞€(xiàn)作曲線(xiàn)邊構(gòu)成的個(gè)曲邊梯形的面積相加，即可得到定積分的近似值《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》

例3分別用矩形法、梯形法和拋物線(xiàn)法計(jì)算定積分的近似值.解：把區(qū)間等分為段，設(shè)分點(diǎn)為()，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值()，計(jì)算數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》則用矩形法（取左端點(diǎn)），得；用矩形法（取右端點(diǎn)），得；用梯形法，得；《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》用拋物線(xiàn)法，得

由N—L公式知，定積分，因此，對(duì)于相同的分割等分n=10，三種近似計(jì)算方法中，其中拋物線(xiàn)法誤差最小.

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例4分別用矩形法、梯形法和拋物線(xiàn)法計(jì)算定積分的近似值.

解：由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以無(wú)法用牛頓—萊布尼茨公式計(jì)算出此積分值.把區(qū)間等分為段設(shè)分點(diǎn)為()，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值()計(jì)算數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》則用矩形法（取左端點(diǎn)），得用矩形法（取右端點(diǎn)），得利用梯形法，得；《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》

當(dāng)被積函數(shù)不用解析式給出，而通過(guò)圖形或表格給出時(shí)，定積分的計(jì)算就只能采取近似計(jì)算的方法.

利用拋物線(xiàn)法，得

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例5

某河床橫截面如圖4-26所示，測(cè)量各點(diǎn)()處所得的數(shù)據(jù)如下表所示（為測(cè)量站點(diǎn)，為河床深度，單位：米），分別用矩形法、梯形法和拋物線(xiàn)法計(jì)算該圖形的面積.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》解：由定積分的幾何意義知，該圖形的面積等于曲線(xiàn)段在區(qū)間上的定積分，所以利用矩形法（取左端點(diǎn)），得利用矩形法（取右端點(diǎn)），得《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》利用梯形法，得利用拋物線(xiàn)法，得

由以上三例可知，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題取相同的，其精確程度依矩形法、梯形法、拋物線(xiàn)法而逐步增高；另一方面，計(jì)算定積分的近似值時(shí)，無(wú)論采用哪種方法，當(dāng)取得越大則近似程度就越好．《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》

第七節(jié)

定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用舉例

定積分在經(jīng)濟(jì)分析中也有著廣泛的應(yīng)用1、求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)問(wèn)題

由邊際函數(shù)求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)(即原函數(shù))，一般采用不定積分來(lái)解決，也可以通過(guò)求一個(gè)變上限的定積分解決.利用變上限的定積分可以求總需求函數(shù),總成本函數(shù),總收益函數(shù)以及總利潤(rùn)函數(shù).

設(shè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)的邊際函數(shù)為,則有《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例1

生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為,固定成本,求出生產(chǎn)個(gè)產(chǎn)品的總成本函數(shù).例2某企業(yè)生產(chǎn)噸產(chǎn)品時(shí)的邊際成本為(元/噸)，固定成本為元,求產(chǎn)量為多少時(shí)平均成本最低?《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例3某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每日總收入的變化率（即邊際收益）是日產(chǎn)量的函數(shù)（單位：元/件）.該廠生產(chǎn)此種產(chǎn)品的能力為每小時(shí)30件，問(wèn)怎樣安排生產(chǎn)才能使這種產(chǎn)品每日的總收益最大？并求出此最大總收益《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例4設(shè)生產(chǎn)個(gè)產(chǎn)品的邊際成本,固定成本為元,產(chǎn)品單價(jià)為500元，假設(shè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能完全銷(xiāo)售,問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》2、求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的增量成本、收益和利潤(rùn)在產(chǎn)量的變動(dòng)區(qū)間上的改變量（增量）分別等于邊際成本，邊際收益和邊際利潤(rùn)在區(qū)間上的定積分，即

《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》例5已知一工廠某商品邊際收益為（萬(wàn)元/t），邊際成本為5（萬(wàn)元/t），求產(chǎn)量從250t增加到300t時(shí)銷(xiāo)售收入，總成本，利潤(rùn)的改變量（增量）.例6已知某產(chǎn)品邊際產(chǎn)量為(件/天),求從第5天到第10天產(chǎn)品的產(chǎn)量.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》.3、求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余

由第一章已知，需求函數(shù)是價(jià)格p的單調(diào)遞減函數(shù)，供給函數(shù)是價(jià)格p的單調(diào)遞增函數(shù).如圖4-27，其中，是生產(chǎn)者會(huì)生產(chǎn)此商品的最低價(jià)，是消費(fèi)者會(huì)購(gòu)買(mǎi)此種商品的最高價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)功能調(diào)節(jié)后，商品在市場(chǎng)均衡點(diǎn)處成交.

消費(fèi)者以均衡價(jià)格購(gòu)買(mǎi)了商品，他們本來(lái)打算出較高的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)這種商品，消費(fèi)者因此而省下來(lái)的錢(qián)的總數(shù)稱(chēng)為消費(fèi)者剩余.生產(chǎn)者以均衡價(jià)格出售了商品，他們本來(lái)打算以較低的售價(jià)售出這些商品，生產(chǎn)者因此而獲得的額外收入稱(chēng)為生產(chǎn)者剩余《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》即曲線(xiàn)三邊形的面積；生產(chǎn)者剩余為

即曲線(xiàn)三邊形的面積.

因?yàn)樾枨蠛瘮?shù)和供給函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，因此為計(jì)算消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余，可以把需求函數(shù)表示為即為反需求函數(shù),供給函數(shù)表示為