2.3 有理數(shù)的乘法 解答專練 2023-2024學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)七年級上冊 帶解析

2.3有理數(shù)的乘法—解答專練—>>>精品解析<<<1、觀察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每個等式中兩邊數(shù)字是分別對稱的，且這個等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對稱等式”．（1）根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子成為“數(shù)字對稱等式”：①52×2＝×25；②×396＝693×．（2）設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b，且2≤a+b＜9，寫出表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明你所寫的式子的正確性．［思路分析］（1）觀察規(guī)律，左邊，兩位數(shù)所乘的數(shù)是這個兩位數(shù)的個位數(shù)字變?yōu)榘傥粩?shù)字，十位數(shù)字變?yōu)閭€位數(shù)字，兩個數(shù)字的和放在十位；右邊，三位數(shù)與左邊的三位數(shù)字百位與個位數(shù)字交換，兩位數(shù)與左邊的兩位數(shù)十位與個位數(shù)字交換然后相乘，根據(jù)此規(guī)律進行填空即可；（2）按照（1）中對稱等式的方法寫出，然后利用多項式的乘法進行證明即可．［答案詳解］解：（1）①∵5+2＝7，∴左邊的三位數(shù)是275，右邊的三位數(shù)是572，∴52×275＝572×25，②∵左邊的三位數(shù)是396，∴左邊的兩位數(shù)是63，右邊的兩位數(shù)是36，63×369＝693×36；故答案為：①275，572；②63，36；（2）∵左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，∴左邊的兩位數(shù)是10a+b，三位數(shù)是100b+10（a+b）+a，右邊的兩位數(shù)是10b+a，三位數(shù)是100a+10（a+b）+b，∴一般規(guī)律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]＝[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），證明：左邊＝（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，＝（10a+b）（100b+10a+10b+a），＝（10a+b）（110b+11a），＝11（10a+b）（10b+a），右邊＝[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），＝（100a+10a+10b+b）（10b+a），＝（110a+11b）（10b+a），＝11（10a+b）（10b+a），左邊＝右邊，所以“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]＝[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．［經(jīng)驗總結(jié)］本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，根據(jù)已知信息，理清利用左邊的兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字變化得到其它的三個數(shù)字是解題的關(guān)鍵．2、觀察下列各式：×＝××＝×××＝…（1）猜想×××…×＝；（2）根據(jù)上面的規(guī)律，計算：（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）．［思路分析］（1）直接利用有理數(shù)的乘法運算法則計算得出答案；（2）直接利用有理數(shù)的乘法運算法則計算得出答案．［答案詳解］解：（1）×××…×＝；故答案為：；（2）（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）＝﹣×（﹣）×（﹣）×…×（﹣）＝﹣．［經(jīng)驗總結(jié)］此題主要考查了有理數(shù)的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．3、用簡便方法計算（1）99×（﹣9）（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）［思路分析］（1）將99變形為（100﹣），然后依據(jù)乘法的分配律進行計算即可；（2）逆用乘法的分配律計算即可．［答案詳解］解：（1）原式＝（100﹣）×（﹣9）＝﹣900+＝﹣899．（2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3）＝0×（﹣3）＝0．［經(jīng)驗總結(jié)］本題主要考查的是有理數(shù)的乘法，應(yīng)用乘法分配律進行簡便計算是解題的關(guān)鍵．4、用簡便方法計算：29×（﹣3）．［思路分析］先變形，再根據(jù)乘法的分配律進行計算即可．［答案詳解］解：29×（﹣3）＝（30﹣）×（﹣3）＝30×（﹣3）﹣×（﹣3）＝﹣90+＝﹣89．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握乘法分配律是解題的關(guān)鍵．5、“格子乘法”作為兩個數(shù)相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計算46×71，將乘數(shù)46寫在方格上邊，乘數(shù)71寫在方格右邊，然后用乘數(shù)46的每位數(shù)字乘以乘數(shù)71的每位數(shù)字，將結(jié)果計入相應(yīng)的方格中，最后沿斜線方向相加得3266．（1）如圖2，用“格子乘法”計算兩個兩位數(shù)相乘，則x＝，y＝；（2）如圖3，用“格子乘法”計算兩個兩位數(shù)相乘，得2176，則m＝，n＝；（3）如圖4，用“格子乘法”計算兩個兩位數(shù)相乘，則k＝．［思路分析］（1）由21＝7x，10+y＝3×4，即可求x、y的值；（2）由題意可得，m+n+8＝11，ad＝10n+4，bc＝10m+2，再推理出m、n的值即可；（3）根據(jù)運算法則，將表格補充，當千位是0時，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；當千位是1時，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；即可求k的值．［答案詳解］解：（1）∵63＝9×7，21＝7x，∴x＝3，∵10+y＝3×4，∴y＝2，故答案為：3，2；（2）由題意可得，m+n+8＝11，∴m+n＝3，∵ad＝10n+4，∴n＝0或n＝1或n＝2或n＝3，∵bc＝10m+2，∴m＝3或m＝1或m＝0，∵ac＝18＝2×9＝3×6，∴m＝1，∴n＝2，故答案為：1，2；（3）如圖4，當千位是0時，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，解得：k＝；當千位是1時，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，k＝6；∵k是整數(shù)，∴k＝6，故答案為：6．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考查有理數(shù)的運算，理解所給的算法，借助有理數(shù)的運算求解是解題的關(guān)鍵．6、﹣24×（﹣+﹣）［思路分析］利用乘法分配律進行計算即可得解．［答案詳解］解：﹣24×（﹣+﹣），＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24），＝20﹣9+2，＝22﹣9，＝13．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考查了有理數(shù)的乘法，利用運算定律可以使計算更加簡便．7、分類討論思想是數(shù)學(xué)的重要思想，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的過程中，也深有感受?。?）當ab＜0時，若b＞0，|a|＜|b|，則a+b0；（2）當abc＜0時，若ab＞0，則c0；（3）當a與b都是整數(shù)，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（寫出分類討論的過程）［思路分析］（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則和加法法則即可確定；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可確定；（3）a與b都是整數(shù)，且|a|+|b|＝1，分情況討論：①a＝1，b＝0，②a＝0，b＝1，③a＝﹣1，b＝0，④a＝0，b＝﹣1，分別計算a+b的值即可．［答案詳解］解：（1）∵ab＜0，b＞0，∴a＜0，∵|a|＜|b|，∴a+b＞0，故答案為：＞；（2）∵abc＜0，ab＞0，∴c＜0，故答案為：＜；（3）∵a與b都是整數(shù)，且|a|+|b|＝1，分情況討論：①a＝1，b＝0，此時a+b＝1；②a＝0，b＝1，此時a+b＝1；③a＝﹣1，b＝0，此時a+b＝﹣1；④a＝0，b＝﹣1，此時a+b＝﹣1，∴a+b的值為±1．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則和加法法則是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．8、已知a的相反數(shù)是2，|b|＝6．（1）若ab＜0，求a+b的值．（2）若|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值．［思路分析］（1）根據(jù)相反數(shù)以及絕對值的定義，得a＝﹣2，b＝±6．再根據(jù)有理數(shù)的乘法解決此題．（2）根據(jù)相反數(shù)以及絕對值的定義，得a＝﹣2，b＝±6．再根據(jù)有理數(shù)的加法解決此題．［答案詳解］解：由題意得，a＝﹣2，b＝±6．（1）∵ab＜0，∴a與b異號．∴a＝﹣2，b＝6．∴a+b＝﹣2+6＝4．（2）∵|a+b|＝﹣（a+b），∴a+b≤0．∴當a＝﹣2，則b＝﹣6．∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣6）＝4．［經(jīng)驗總結(jié)］本題主要考查相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的乘法以及有理數(shù)的加法，熟練掌握相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的乘法法則以及加法法則是解決本題的關(guān)鍵．9、25×11＝275，13×11＝143，48×11＝528，74×11＝814．觀察上面的算式我們可以發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)乘11的速算方法：頭尾一拉，中間相加，滿十進一．請根據(jù)上面的速算方法，回答下列問題．（一）填空：①54×11＝；②87×11＝；③95×（﹣11）＝；（二）已知一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是a，個位上的數(shù)字是b，將這個兩位數(shù)乘11．（1）若a+b＜10；①計算結(jié)果的百位、十位、個位上的數(shù)字分別是、、，這個三位數(shù)可表示為．②請通過化簡①中所表示的三位數(shù)并計算該兩位數(shù)乘11的結(jié)果驗證該速算方法的正確性．（2）若a+b≥10，請直接寫出計算結(jié)果的百位、十位、個位上的數(shù)字．［思路分析］（一）根據(jù)題中的例題確定所求即可；（二）（1）①根據(jù)a+b＜10時”頭尾一拉，中間相加“即可判斷出，②將100a+10（a+b）+b因式分解即可得其是11的倍數(shù)；（2）根據(jù)a+b≥10時”頭尾一拉，中間相加，滿十進一“即可寫出．［答案詳解］解：（一）①54×11＝594；②87×11＝957；③95×（﹣11）＝﹣1045；故答案為：594，957，﹣1045；（二）（1）①a；a+b；b；100a+10（a+b）+b；②∵100a+10（a+b）+b＝100a+10a+10b+b＝110a+11b（10a+b）×11＝110a+11b，∴100a+10（a+b）+b＝（10a+b）×11，∴該速算方法是正確的；（2）百位、十位、個位上的數(shù)字分別為：a+1，a+b﹣10，b．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考察了有理數(shù)的乘法運算，弄清例題中的計算方法“頭尾一拉，中間相加，滿十進一”是解題關(guān)鍵．10、閱讀理解題在求兩位數(shù)乘兩位數(shù)時，可以用“列豎式”的方法進行速算，例如：你能理解上述三題的解題思路嗎？理解了，請完成：如圖給出了部分速算過程，可得a＝，b＝，c＝，d＝，e＝，f＝．［思路分析］根據(jù)表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律：“第二行的前兩格是兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字相乘得到的結(jié)果，積如果是一位數(shù)前面補0，第二行的后兩格是兩個兩位數(shù)的個位數(shù)字相乘得到的結(jié)果，積如果是一位數(shù)前面補0，第三行的前三格是第一個兩位數(shù)字的個位數(shù)字乘以第二個兩位數(shù)的十位數(shù)字再加上第二個兩位數(shù)的十位數(shù)字乘以第二個兩位數(shù)的個位數(shù)字，第四行，同列的兩個數(shù)相加，如果大于9，進一位．“即可得到答案．［答案詳解］解：（1）由題意得，第二行的前兩格是兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字相乘得到的結(jié)果，積如果是一位數(shù)前面補0，第二行的后兩格是兩個兩位數(shù)的個位數(shù)字相乘得到的結(jié)果，積如果是一位數(shù)前面補0，第三行的前三格是第一個兩位數(shù)字的個位數(shù)字乘以第二個兩位數(shù)的十位數(shù)字再加上第二個兩位數(shù)的十位數(shù)字乘以第二個兩位數(shù)的個位數(shù)字，如第二個表格：2×8+3×7＝16+21＝37，第四行，同列的兩個數(shù)相加，如果大于9，進一位，∵64×87＝5568，6×8＝48，4×7＝28，6×7+4×8＝42+32＝74，∴a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4，故答案為4，8，2，8，7，4．［經(jīng)驗總結(jié)］本題屬于與有理數(shù)乘法有關(guān)的規(guī)律探索題，根據(jù)表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．11、已知非零有理數(shù)a，b，c滿足ab＞0，bc＞0．（1）求的值；（2）若a+b+c＜0，求的值．［思路分析］（1）根據(jù)ab＞0，bc＞0可得a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，所以ac＞0，化簡即可；（2）若a+b+c＜0，則a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可．［答案詳解］解：（1）∵ab＞0，bc＞0，∴a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，∴ac＞0，∴＝＝1+1+1＝3；（2）∵a+b+c＜0，∴a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，∴＝＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法．能不重不漏的分類，會確定字母的范圍和字母的值是關(guān)鍵．12、對于點M，N，給出如下定義：在直線MN上，若存在點P，使得MP＝kNP（k＞0），則稱點P是“點M到點N的k倍分點”．例如：如圖，點Q1，Q2，Q3在同一條直線上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，則點Q1是點Q2到點Q3的倍分點，點Q1是點Q3到點Q2的3倍分點．已知：在數(shù)軸上，點A，B，C分別表示﹣4，﹣2，2．（1）點B是點A到點C的倍分點，點C是點B到點A的倍分點；（2）點B到點C的3倍分點表示的數(shù)是；（3）點D表示的數(shù)是x，線段BC上存在點A到點D的2倍分點，寫出x的取值范圍．［思路分析］（1）通過計算，的值，利用題干中的定義解答即可；（2）設(shè)這點為E，對應(yīng)的數(shù)字為a，利用分類討論的思想方法根據(jù)＝3分別列出方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況：①點D在點B的左側(cè)，②點D在點C的右側(cè)，分別計算出x的兩個臨界值即可得出結(jié)論．［答案詳解］解：（1）∵點A，B，C分別表示﹣4，﹣2，2，∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，∴點B是點A到點C的倍分點，∵，∴點C是點B到點A的倍分點．故答案為：；；（2）設(shè)這點為E，對應(yīng)的數(shù)字為a，則＝3．當點E在B，C之間時，∵＝3，∴，解得：x＝1．當點E在C點的右側(cè)時，∵＝3，∴＝3，解得：x＝4．綜上，點B到點C的3倍分點表示的數(shù)是1或4．故答案為：1或4．（3）①點D在點B的左側(cè)，∵＝2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值為﹣3．②點D在點C的右側(cè)，∵，解得：x＝5，∴x的最大值為5，綜上，線段BC上存在點A到點D的2倍分點，則x的取值范圍為：﹣3≤x≤5．［經(jīng)驗總結(jié)］本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上的點與表示這個的點的數(shù)字的特征，本題是新定義型題目理解新定義并熟練應(yīng)用以及用數(shù)軸上的點對應(yīng)的數(shù)字表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．13、紅旗中學(xué)美術(shù)課外小組女同學(xué)占全組人數(shù)的，加入6個女同學(xué)后，女同學(xué)就占全組人數(shù)的，求美術(shù)課外小組原來的人數(shù)．［思路分析］列方程求解．［答案詳解］解：設(shè)美術(shù)課外小組原有x人，由題意得：x+6＝（x+6）．解得：x＝12．答：美術(shù)課外小組原有12人．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考查列方程解應(yīng)用題，找到等量關(guān)系，正確列出方程是求解本題的關(guān)鍵．14、用簡便方法計算：（﹣9）×18．［思路分析］原式變形后，利用乘法分配律計算即可求出值．［答案詳解］解：原式＝（10﹣）×（﹣18）＝﹣180+＝﹣179．［經(jīng)驗總結(jié)］此題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．15、碳足跡標簽是一種碳排放量的標示方式，讓大眾了解某一產(chǎn)品或服務(wù)所產(chǎn)生的碳排放量多寡，如圖所示．碳足跡標簽的數(shù)據(jù)標示有其規(guī)定，以碳排放量大于20公克且不超過40公克為例，此范圍內(nèi)的碳足跡數(shù)據(jù)標示只有20、22、24、…、38、40公克等11個偶數(shù)；碳足跡數(shù)據(jù)標示決定于碳排放量與這11個偶數(shù)之中的哪一個差距最小，兩者對應(yīng)標示的范例如下表所示．碳排放量碳足跡數(shù)據(jù)標示20.2公克20公克20.8公克20公克21.0公克20公克或22公克皆可23.1公克24公克請根據(jù)上述資訊，回答下列問題，并詳細解釋或完整寫出你的解題過程．（1）若有一個產(chǎn)品的碳足跡數(shù)據(jù)標示為38公克，則它可能的碳排放量之最小值與最大值分別為多少公克？（2）承（1），當此產(chǎn)品的碳排放量減少為原本的90%時，請求出此產(chǎn)品碳足跡數(shù)據(jù)標示的所有可能情形．［思路分析］（1）由碳排放量20.2公克，碳足跡數(shù)據(jù)標示20公克，碳排放量21.0公克，碳足跡數(shù)據(jù)標示，20公克或22公克皆可，可得碳足跡數(shù)據(jù)標示為38公克，碳排放量之最小值與最大值分別為37.0和39.0公克．（2）由（1）的最大值和最小值乘以90%就求出此產(chǎn)品碳足跡數(shù)據(jù)標示的所有可能情形．［答案詳解］解：（1）碳排放量之最小值與最大值分別為37.0和39.0公克．（2）∵此產(chǎn)品的碳排放量減少為原本的90%，∴37.0×90%＝33.3（公克），39.0×90%＝35.1（公克），∴此產(chǎn)品碳足跡數(shù)據(jù)標示為：34公克或36公克．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考查了不等式的相關(guān)知識，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題目即可求解．16、閱讀下列材料：|x|＝，即當x＜0時，＝﹣1．用這個結(jié)論可以解決下面問題：（1）已知a，b是有理數(shù)，當ab≠0時，求的值；（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當abc≠0時，求的值；（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．［思路分析］（1）對a、b進行討論，即a、b同正，a、b同負，a、b異號，根據(jù)絕對值的意義計算+得到結(jié)果；（2）對a、b、c進行討論，即a、b、c同正、同負、兩正一負、兩負一正，然后計算++得結(jié)果；（3）根據(jù)a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，把求轉(zhuǎn)化為求++的值，根據(jù)abc＜0得結(jié)果．［答案詳解］解：（1）已知a，b是有理數(shù)，當ab≠0時，①a＜0，b＜0，+＝﹣1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，+＝1+1＝2；③a，b異號，+＝0．故+的值為±2或0．（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當abc≠0時，①a＜0，b＜0，c＜0，++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，++＝1+1+1＝3；③a，b，c兩負一正，++＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c兩正一負，++＝﹣1+1+1＝1．故++的值為±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c兩正一負，所以++＝++＝﹣[++]＝﹣1．［經(jīng)驗總結(jié)］本題考查了有理數(shù)的加法、絕對值的化簡，解決本題的關(guān)鍵是對a、b、c的分類討論．注意＝±1（x＞0，結(jié)果為1，x＜0，結(jié)果為﹣1）17、已知|x|＝5，|y|＝3．（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；（3）求x﹣y的值．［思路分析］（1）根據(jù)題意，利用絕對值的代數(shù)意義求出x與y的值，代入原式計算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，利用絕對值的代數(shù)意義求出x與y的值，代入原式計算即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，利用絕對值的代數(shù)意義求出x與y的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．［答案詳解］解：∵|x|＝5，∴x＝5或﹣5，∵|y|＝3，∴y＝3或﹣3，（1）當x﹣y＞0時，x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3，此時x+y＝5+3＝8或x+y＝5+（﹣3）＝2，即x+y的值為：8或2；（2）當xy＜0，x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3，此時|x﹣y|＝8或|x﹣y|＝8，即|x﹣y|的值為：8；（3）①x＝5時，y＝3時，x﹣y＝5﹣3＝2；②x＝5時，y＝﹣3時，x﹣y＝5+3＝8；③x＝﹣5時，y＝3時，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8；④x＝﹣5時，y＝﹣3時，x﹣y＝﹣5+3＝﹣2，綜上：x﹣y＝±2或±8．［經(jīng)驗總結(jié)］此題考查了有理數(shù)的加減法以及絕對值，熟練掌握運算法則及絕對值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵．18、用短除法求48和120的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．［思路分