1.4-與三角形有關的角（2） 帶解析-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?1.4與三角形有關的角（2）考點先知考點先知知識考點三角形外角的性質1.三角形的外角的概念2.三角形的外角的性質3.利用三角形的外角性質求角度4.與外角有關的模型題型精析題型精析知識點一三角形的外角知識點一三角形的外角內容三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.【注意】1.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角；2.三角形的一個外角與它相鄰的內角互補；3.三角形的外角和等于360°．題型一三角形的外角的概念題型一三角形的外角的概念例1如圖，在中，點D，E分別是邊AB，BC上的點，連接AE和DE，請寫出圖中的外角__________；的外角有__________.例1【答案】∠DEC，∠ADE；∠BEA例2如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，連接AD，作射線DE交AC于E，則△ABD例2（）A．∠ADEB．∠ADCC．∠EDCD．∠ACD【分析】根據(jù)三角形外角定義（三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角）作答．【解答】解：因為∠ADC是邊AD與邊BD的延長線組成的角，所以∠ADC是△ABD的外角．故選：B．例3如圖，點B，G，C在直線上，點D在線段上，則下列是的外角的是（）例3A．B．C．D．【分析】三角形的一邊與另一邊的反向延長線組成的角，叫做三角形的外角．根據(jù)外角定義先找出△ABD的外角，對各選項進行對比判斷即可解：△ABD的外角是∠BDC選項C中∠CDB就是∠BDC，故選：C．變1如圖，點B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是變1（）A．∠BCFB．∠CBEC．∠DBCD．∠BDF【分析】根據(jù)三角形的外角的定義得出即可．【解答】解：△ABD的一個外角是∠BDF，故選：D．變2如圖，下列角中是△ACD的外角的是（）變2A．∠EADB．∠BACC．∠ACBD．∠CAE【分析】根據(jù)三角形的外角的定義即可判斷．【解答】解：三角形的一邊與另一邊的延長線的夾角是三角形的外角，圖中∠ACB是△ACD的外角．故選：C．變3如圖，在∠1、∠2、∠3和∠4這四個角中，屬于△ABC外角的有（）變3A．1個B．2個C．3個D．4個【分析】根據(jù)三角形的一條邊的延長線于另一邊的夾角叫做這個三角形的外角判斷．【解答】解：屬于△ABC外角的有∠4共1個．故選：A．題型二三角形外角的性質題型二三角形外角的性質例1如圖，已知△ABC，∠1是它的一個外角，點E為邊AC上一點，點D在邊BC的延長線上，連接DE例1A．∠1＞∠2B．∠1＞∠3C．∠3＞∠5D．∠4＞∠5【分析】三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的內角，根據(jù)以上知識點逐個判斷即可．【解答】解：A、∵∠3＞∠2，∠1＞∠3，∴∠1＞∠2，故本選項錯誤；B、∠1＞∠3，故本選項錯誤；C、∠3＞∠5，故本選項錯誤；D、不能比較∠4和∠5的大小，故本選項正確；故選：D．例2如圖，已知點p是內的一點，連接并延長交于點，連接，給出下列結論：①；②；③，其中正確的為（）例2A．只有①B．只有②C．只有①②D．①②③【答案】D【分析】由三角形外角的性質可得、、和之間大小關系，即可得到答案．【詳解】解：是的外角，，，故①正確；是的外角，，故②③正確；綜上，①②③正確；故選：D．變1如圖，在△ABC中，∠3是它的一個外角，E為邊AC上一點，D在BC的延長上，則∠1、∠2、∠3之間的關系是（）變1A．∠3＞∠2＞∠1B．∠2＞∠3＞∠1 C．∠3=∠1+∠2D．∠1+∠2+∠3=180°【分析】根據(jù)三角形的外角性質得出∠3＞∠2，∠2＞∠1，即可得出結論．【解答】解：∵在△ABC中，∠3是它的一個外角，∴∠3＞∠2，又∵∠2是△CDE的外角，∴∠2＞∠1，∴∠3＞∠2＞∠3；故選：A．變2如圖，下列哪種說法不正確（）變2A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°-∠A C．∠B＞∠ACDD．∠HEC＞∠B【分析】根據(jù)三角形的外角性質、三角形內角和定理判斷即可．【解答】解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＜180°，本選項說法正確，不符合題意；B、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，本選項說法正確，不符合題意；C、∵∠ACD是△ACB的一個外角，∴∠B＜∠ACD，本選項說法錯誤，符合題意；D、∵∠HEC＞∠ACD，∠ACD＞∠B，∴∠HEC＞∠B，本選項說法正確，不符合題意；故選：C．題型三利用外角性質求角度題型三利用外角性質求角度例1如圖，在中，是延長線上一點，，，則（）例1A．B．C．D．【分析】由，直接可得答案．【解答】解：，，，故選：．變1如圖，在中，，，延長到，則的度數(shù)為（）變1A．B．C．D．【分析】由三角形的外角性質即可得出結果．【解答】解：由三角形的外角性質得：；故選：．例2如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，，則的度數(shù)為（）例2A．25°B．26°C．27°D．28°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質求出，根據(jù)三角形的外角的性質計算即可．【詳解】解：，，，故選：A．例3如圖，，則（）例3A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質求出，再根據(jù)鄰補角，用表示出，最后根據(jù)三角形的外角即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵，∴，∵是外角，即，∴，∴，故選：．變2如圖，，點E在上，若，，則的度數(shù)是（）變2A．30°B．50°C．100°D．80°【答案】D【分析】根據(jù)得到，結合計算判斷即可．【詳解】∵，∴，∴，故選D．變3欣欣在觀察“抖空竹”時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是（）變3A．23°B．26°C．28°D．32°【答案】C【分析】延長交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質，即可得到．【詳解】解：如圖，延長交于，，，，又，，故選：C．例4將一副三角尺按如圖所示的方式疊放，則的度數(shù)為（）例4A．45°B．60°C．75°D．15°【答案】C【分析】先求出和的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質求解即可．【詳解】解：由三角板的性質可得：，，∴，故選C．例5一副直角三角板如圖放置，點C在的延長線上，，，則的度數(shù)為（）例5A．15°B．18°C．25°D．30°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質可以得到，再根據(jù)三角形的外角和內角的關系，即可計算出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，，故選：A．變4一副三角板如圖方式放置，其中，，點、分別在，上，與相交于點，，則的度數(shù)為（）變4A．85°B．75°C．60°D．50°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質可得，再結合外角的性質求解即可．【詳解】故選：B

．變5將一副直角三角板如圖放置，使兩直角重合，則∠DFB的度數(shù)為（）變5A．145°B．155°C．165°D．175°【分析】利用三角形的外角性質可求出∠AFD的度數(shù)，再利用鄰補角互補可求出∠DFB的度數(shù)．【解答】解：∵∠CDF＝∠A+∠AFD，∴∠AFD＝∠CDF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．又∵∠DFB+∠AFD＝180°，∴∠DFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣15°＝165°．故選：C．例6如圖，在中，，，，則的度數(shù)是（）例6A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形外角的性質先求出，進而可求出的度數(shù)．【詳解】∵，，，∴．∵，∴．故選C．例7如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則（）例7A．70°B．80°C．90°D．100°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和，可求出的度數(shù)，根據(jù)補角的定義求出的度數(shù)，根據(jù)三角形的內角和即可求出的度數(shù)，即可求出結果．【詳解】解：是中的平分線，是的外角的平分線，又，，，，，，，，，，故選：C．變6如圖，在中，為邊上的一點，，，，則的度數(shù)______．變6【答案】##度【分析】設，再用表示出的度數(shù)，由三角形內角和定理得出的度數(shù)，進而可得出的值，由此得出結論．【詳解】解：設，則．，，即，，．故答案為：變7如圖，，，，點、、三點在一條直線上，，，則度數(shù)為（）變7A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴．故選：B．題型四利用外角性質求角度（折疊）題型四利用外角性質求角度（折疊）例1將紙片沿折疊使點A落在點處，若，則的度數(shù)為______．例1【答案】##度【分析】先由折疊的性質得到，再由三角形外角的性質推出，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由折疊的性質可知，∵，∴，∵，∴，故答案為：．例2如圖，將△ABC沿AB邊上的中線CD折疊，點B落在點B′處，連接AB′．若∠BDC=30°，則∠BAB′的度數(shù)為（例2A．25°B．30°C．45°D．60°【分析】根據(jù)折疊的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質計算判斷即可．∵△ABC沿AB邊上的中線CD折疊，點B落在點B′處，∠BDC＝30°，∴∠BDC＝∠B′DC＝30°，B′D=BD=AD，∴∠BAB′＝∠AB′D，∠BAB′+∠AB′D=60°，B′D=BD=AD，∴∠BAB′＝30°，故選B．例3如圖，在中，，點D、E分別在上，將沿折疊，使點A落在點F處．則（）例3A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的內角和定理及推論用∠1表示出∠CEF，兩式相減可得結論．【詳解】如圖，∵△DEF是由△DEA折疊成的，∴∠1=∠2，∠3=∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2=180°，∴∠BDF=180°-2∠1．∵∠CEF+∠CED=∠DEF，∠CED=∠1+∠A，∠3+∠1+∠A=180°，∴∠CEF=∠3-∠CED=180°-∠1-∠A-∠1-∠A=180°-2∠1-40°=140°-2∠1．∴∠BDF-∠CEF=180°-2∠1-（140°-2∠1）=180°-2∠1-140°+2∠1=40°．故選：C．變1如圖，中，，，點D為邊上一點，將沿直線折疊后，點C落到點E處，若，則的度數(shù)為______．變1【答案】##110度【分析】根據(jù)三角形的內角和得到，由折疊的性質得到，，根據(jù)平行線的性質得到，根據(jù)三角形的內角和即可得到結論．【詳解】解：∵，，∴，由折疊的性質得，，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．變2如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE的外面時，此時測得∠1=112°，∠A=40°，則∠2的度數(shù)為（）變2A．32°B．33°C．34°D．38°【分析】由折疊的性質可知，再由三角形外角的性質即可求出的大小，再次利用三角形外角的性質即可求出的大?。鐖D，設線段和線段交于點F．由折疊的性質可知．∵，即，∴．∵，即，∴．題型五與外角有關的模型題型五與外角有關的模型例1例1【答案】∠BDC=∠A+∠B+∠C例2如圖，，，，則的度數(shù)為______．例2【答案】##105度【分析】過點A，C，作射線，根據(jù)三角形的外角性質即可求得的度數(shù)．【詳解】解：過點A，C，作射線，如圖∵，∴∵，，，∴故答案為：變1如圖，一種機械工件，經測量得∠A=20°，∠C=27°，∠D=45°．那么不需工具測量，可知∠ABC=______°．變1【答案】92【分析】延長CB，交AD于點E，根據(jù)三角形外角的性質得出∠AEC=∠C+∠D=72°，∠ABC=∠A十∠AEC=92°．【詳解】延長CB，交AD于點E．∵∠C=27°，∠D=45°，∴∠AEC=∠C+∠D=72°，∵∠A=20°，∴∠ABC=∠A+∠AEC=92°．故答案為92°．變2如圖所示，點D是內一點，若，，，則的大小為（）變2A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質即可求解．【詳解】解：如圖：，，，，，故選：B．例3如圖，，交于點．求證：．例3例4如圖，______度．例4【答案】【分析】先由三角形的外角的性質得出，，，繼而利用三角形外角和等于360°即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，∵，，，∴，又∵、、是的三個不同的外角，∴，∴．故答案為：．變3如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為______.變3【答案】見試題解答內容【分析】根據(jù)三角形外角的性質和四邊形內角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案為：360°．變4如圖，的度數(shù)為______度．變4【答案】【分析】如圖，交于點，交于點，利用外角的性質，得到：進而得到：，即可得解．【詳解】解：如圖，交于點，交于點，則：，∴．故答案為：．課后強化課后強化1.如圖，，，中是外角的是（）A．，B．，C．，D．，，【詳解】屬于外角的有．故選C．2.如圖，是的一個外角，是邊上一點，連接，下列結論不一定正確的是（）A．B．C．D．、【分析】三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的內角，根據(jù)以上知識點逐個判斷即可．【解答】解：、是的一個外角，則，不符合題意．、是的一個外角，則是的一個外角，與無法比較大小，符合題意．、是的一個外角，則，不符合題意．、是的一個外角，則，不符合題意．故選：．3.觀察如圖，填空：（1），；（2）用“＞”或“＜”填空：；．【答案】(1)，，；(2)＞，＞【分析】（1）根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和即可得出答案；（2）根據(jù)三角形的外角大于和它不相鄰的其他內角．【詳解】（1）解：，；故答案為：，，；（2）解：用“＞”或“＜”填空：；，故答案為：＞，＞．4.如圖，下列結論中不一定正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形外角的性質逐項判斷即可．【詳解】解∶根據(jù)題意，得，，，，∴，∴選項A、B、C都正確，無法判斷，的大小，故選項D不一定正確．故選：D．5.將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，兩直角三角板各有一條直角邊在同一條直線上，則的度數(shù)是（）A．B．C．D．【分析】由題意可得，利用三角形的內角和可求得，則由對頂角相等得，再利用三角形的外角性質即可求的度數(shù)．【解答】解：如圖，由題意得：，，，，．故選：．6.如圖，直線，，，則度數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質得出，然后利用三角形外角的性質求解即可．【詳解】解：，，∴，，，故選：C．7.如圖，a//b，，，則的度數(shù)是______．【答案】##50度【分析】根據(jù)平行線的性質可得，然后根據(jù)三角形的外角可得，從而可得，最后進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：∵，∴，∵是的一個外角，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．8.一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中的度數(shù)為（）A．65°B．75°C．85°D．95°【答案】B【分析】根據(jù)三角板中角度的特點求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質求出的度數(shù)即可．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，故選B．9.如圖，在銳角三角形中，和分別是和邊上的高，且和相交于點P，若，則的度數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【分