2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)專題20 解三角形(含詳解)

專題20解三角形

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是〃，b,c,R為△A8C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+C2-2/?ccosA；

2=上=上=2R

公式b2=c2+a2-2?<?cosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

222

Ab^c-a

⑴a=2RsinA,b=27?sinB?c=27?sinC；2bc

常見c2+a2-br

(2)sinA=—,sinB=—?sinC=—:cosDB=----------；

變形2R2R2Rlac

C儲(chǔ)十從一。2

cosC=----------.

2ab

(2)面積公式：

5.ABC=—￡7^sinC=—Z>csinA=—ncsinBS.ABC==—(a+b+c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并

A222△4R2

可由此計(jì)算R,r.)

知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊u>a:〃:c=sinA:sin8:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

a>OoA>8osinA>sin8ocos4vcos8③合分比

a+b+ca+bb-\-ca+cabc

----------------------------=------------------=------------------=------------------=--------=--------=--------=2A

sin4+sin8+sinCsinA+sinBsin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=TT

?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acos8+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

tQnA+tqnA?

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)--------------<=>tanA+tanB+tanC=tanA-tailtanC

1-tanA-tanB

⑷sin(-----)=cos—；cos(-----)=sin—

2222

⑤在AABC中，內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列=B=工,A+C=@.知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用

33

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線二方的角叫俯角（如圖①）.

圖①圖②圖③圖④（2）方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)Q到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

⑵北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度

⑴坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）.坡度又稱為坡比.

【方法技巧與總結(jié)】

L方法技巧：解三角形多解情況

在△ABC中，已知小力和4時(shí)，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

圖形zA

4,ABJ….B4B

AB

bsinA<a<ba>b

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個(gè)

一解兩解一解一解無解

數(shù)

2.在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要

選擇“邊化角'’或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有8sx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到4+8+。=萬.

【題型歸納目錄】

題型一：正弦定理的應(yīng)用

題型二：余弦定理的應(yīng)用

題型三：判斷三角形的形狀

題型四：正、余弦定理與的綜合

題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

題型六：倍角關(guān)系

題型七：三角形解的個(gè)數(shù)

題型八：三角形中的面積與周長問題

【典例例題】

題型一：正弦定理的應(yīng)用

例1.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高三開學(xué)考試）在中，A=30°,崗'=1,則“IBC外接圓的半徑為（）

A.1B.gC.2D.3

例2.（2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角A,8,C所電的邊分別為mA,c,且“BC

的面積5=立（/+/一02）

（1）求角B的大??；

Q）若a+6b=2c，求sinC.

例3.（2022?全國?高考真題）記入48。的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以。，b,c為邊長

的三個(gè)正三角形的面積依次為§2,S3,已知￡-S,+色=且,sin8=」.

23

⑴求的面積；

（2）^sinAsinC=?求b.

3

例4.（2022?安徽?合肥一六八中學(xué)模雙預(yù)測(cè)（文））在AABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c

3

若&114=14=28,角。為鈍角，b=5.

（1）求sin（A-B）的值;

（2）求邊c的長.

例5.（2022?湖北?黃石市有色第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,h,c,

已知2cosc（acos8+灰2sA）=c.

⑴若8s4=包，求sin（2A+C）的值；

4

Q）若c=@,AABC的面積為述，求邊“，b的值.

2

例6.（2022?青海西寧?二模（理））在①。=6；②&=8；③a=12這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面問題中，若問題中的三角形存在，求8sA的值：若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b?c,GQ積為S,且a?+〃-（？=4S,

5&，?

【方法技巧與總結(jié)】

（1）已知兩角及一邊求解三角形;

（2）已知兩邊一對(duì)角；.

大角求小角一解（銳）

兩解一sinA<1（一銳角、一鈍角）

小角求大角一1一解一sinA=l（直角）（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊.

無解一sinA>1

題型二：余弦定理的應(yīng)用

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)“ABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)邊的長分別為〃，b,c,若的面

積為S,且4&S=（a+力）2-/,則sin（c4）=（）

A.1B.；C.也D.立例8.（2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)（理））在入48。中，內(nèi)角4,

222

B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且。=2#，cosA=-isinB=2sinC,則6=（）

4

A.1B.2C.3D.4

例9.（2022?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（理））在AABC中，a,b,c?分別是角A,B,C

的對(duì)邊.若a,Ac成等比數(shù)列，且〃2-=5-加，則A的大小是（）

A-B.工C.?D.學(xué)

6336

例10.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)（理））在AABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為小b,a滿足

2b2-3c2-ac=0,sin（A+B）=2sinA,則tanC=.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊.

（2）己知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

>0,則△ABC為銳角三角形

若余弦值，=0,則△ABC為直角三角形.

<0,則△ABC為鈍角三角形

題型三：判斷三角形的形狀

例11.（2022?吉林?三模（理））在“1BC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若/一6=/一島°且

bcosC=as\nB,則AABC是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

例12.（2022.陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是

從a+-=—\—，貝UAAAC的方色狀是（）

abca+b-c

A.等邊三角形

B.C為直角的直角三角形

c.C為頂角的等腰三角形

D.A為頂角的等腰三角形或B為頂角的等腰三角形

例13.（2022?青海?海東市教育研究室一模（理））A/WC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若

c2+b1cos2A=2bccosA,則AABC為（）

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

例14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知“IBC中，三內(nèi)角A仇C滿足28=4+C,三邊。也c滿足力2=加,

則△ABC是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

例15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)AABC的三個(gè)內(nèi)角4氏C滿足2A=A+C,又sir?8=sinAsinC，

則這個(gè)三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

Ab-4-r

例16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，乙4,,NC的對(duì)邊分別為叫b,c,cos2-=——,

22c

則AMC的形狀一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【方法技巧與總結(jié)】

（1）求最大角的余弦，判斷AABC是銳角、直角還是鈍角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.

題型四：正、余弦定理與的綜合

例17.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理）〕如圖，在“18。中，。是AC邊上一點(diǎn)，Z48C為鈍角，NOBC=90。.

⑴證明:cosZADB+sinC=0：

（2）若A8=25/7,BC=2,再從下面①②中選取一個(gè)作為條件，求△48。的面積.

①sin/ABC=;?AC=3AD.

14

注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

例18.(2022?全國?高三專題練習(xí))在①AB=2A￡>,@sinZ4CB=2sinZ4CD,③5.0=25.8這三

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知在四邊形A8CO中，ZABC+ZADC=n,8C=CO=2,且.(1)證明：tanZABC=3UinZBAC；

(2)若AC=3,求四邊形ABC。的面積.

例19.(2022?全國?高三專題練習(xí))在①sin2C=GcosC,?c(2+cosfi)=^sinC,③

bsin4+島cos8=0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形

的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在IBC,它的內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為。出c,且。=7,c=5,?

例20.(2022?全國?高三專題練習(xí))aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面

積為

(1)證明：sinA=2sin^；

3

(2)若〃cosC=2%,求cosA.

例2L(2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè))在銳角△ABC中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知8c邊

上的高等于

⑴求證：sinA=sin^sinC；

cb

(2)若NBAC=45。，求:+一的值.

bc

例22.(2022?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))在“IBC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a/,c"gnA+blan8=二叵土.

cosA

⑴求角8；

(2)。是AC邊上的點(diǎn)，若8=1,AD=BD=3,求sinA的值.

【方法技巧與總結(jié)】

先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化

求解.

題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用例23.(2022?陜西?西安中學(xué)一模(理))為了測(cè)量隧道口A、8間的距離，

開車從A點(diǎn)出發(fā)，沿正西方向行駛400&米到達(dá)。點(diǎn)，然后從。點(diǎn)出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)C

點(diǎn)，再從C點(diǎn)出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達(dá)隧道口8點(diǎn)處，測(cè)得8。間的距離為1000米.

c

⑴若隧道口8在點(diǎn)。的北偏東。度的方向上，求COS。的值;

(2)求隧道口間的距離.

例24.(2022?上海市建平中學(xué)高三期中)如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一柒電纜聯(lián)通A、8兩地，A處位

于東西方向的直線MN上的陸地處，8處位于海上一個(gè)燈塔處，在A處用測(cè)角器測(cè)得tan/BAN=±,在A

4

處正西方向1km的點(diǎn)。處，用測(cè)角器測(cè)得tan/8CN=l.現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段A8在水下鋪設(shè)；②在

岸MN上選一點(diǎn)P,設(shè)/BPN=9,先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算

地下、水下的電纜鋪設(shè)裁用分別為2萬元/km、4萬元/km.

西---東

(1)求A、8兩點(diǎn)間的距離:

DPCAM

(2)請(qǐng)選擇一種鋪設(shè)費(fèi)用較低的方案，并說明理由.

例25.(2022?廣東湛江?二模)如圖，一架飛機(jī)從A地飛往8地，兩地相距200km.飛行員為了避開某一

區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成。角的方向飛行，飛行到C地，再沿與原來的

飛行方向成45角的方向繼續(xù)飛行60夜km到達(dá)終點(diǎn).

(1)求A、。兩地之間的距離；

⑵求tan?.

例26.(2022?山東泰安?高三期末)在某海域A處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東60方向，相距。海里的8處有一

可疑船只，此可疑船只正沿射線y=^x(xN0)(以4點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為“軸，V軸正

方向，I海里為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系)方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡

邏船出發(fā)/小時(shí)后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為次.若巡邏船以30海里〃J、時(shí)的速度向正東方向追擊，則恰

好1小時(shí)與可疑船只相遇.

(1)求4b的值;

(2)若巡邏船以5日海里/小時(shí)的速度進(jìn)行追擊攔截，能否撼截成功？若能，求出據(jù)截時(shí)間，若不能，請(qǐng)

說明理由.

例27.(2022?遼寧?大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島B

位于小島A北偏東75距離60海里處，小島8北偏東15距離306-30海里處有一個(gè)小島C.

(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C,求游船航行的方向.

例28.(2022?黑龍江大慶?高三階段練習(xí)(理))如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底8在

同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與。.現(xiàn)測(cè)得N8CD=a=35。，ZfiDC=/?=100°,C0=400m.在點(diǎn)C測(cè)得

(1)求"與O兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果精確到1m)：

(2)求塔高A8(結(jié)果精確到1m).

參考數(shù)據(jù)：取及sin35。=0.811，0sin80。=1.393，tan50.5°=1.2.

【方法技巧與總結(jié)】

根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解.

題型六：倍角關(guān)系

例29.(2022?北京豐臺(tái)?二模)在△舫。中，a=2,b=BA=2B,貝ijcos8=.

例30.(2022?全國?高考真題(文))汜AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-i4).

⑴若A=28,求C；

(2)證明：2/=/+。2

例31.(2022.江蘇?華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí))在AABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c

且6=4.

（1）若sinC=2sinB,?cosC=4,求AABC的面積：

（2）若A=28,且AABC的邊長均為正整數(shù)，求

例32.（2022?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）已知AABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c.

⑴若A<8vC,?=pAABC的外接圓半徑為R,OC=2R2（1-2COS4COSC）,求A的大小；

（2）若a=3,b=2,A=2B,求。邊的長.

例33.（2022?山東?高三開學(xué)考試）在△48。中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,邊長均為正

整數(shù)，且。=4.

（1）若角8為鈍角，求△48C的面積；

（2）若A=28,求a.

例34.（2022?天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知AABC的內(nèi)角A仇C的對(duì)邊分別為且

b=3,c=\,A=2B.

⑴求。的值；

⑵求cos（2A+￡）的值.

題型七：三角形解的個(gè)數(shù)

例35.（2022?江西二模（文））設(shè)在“18。中，角4、8、。所對(duì)的邊分別為42,。,若滿足〃=6/=皿8=鄉(xiāng)

例36.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)（理））在/XABC中，ZA=y,b=6,下面使得三角形有兩組解的。的值

可以為（）

A.4B.3v/5C.2>/7D.373

例37.（2022?河南?許昌高中高三開學(xué)考試（文））在三角形ABC中（A點(diǎn)在8c上方），若A=。，8。=2右,

8C邊上的高為/?,三角形ABC的解的個(gè)數(shù)為〃，則以下錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)力>3時(shí)，〃=0B.當(dāng)"=3時(shí)，〃=1

C.當(dāng)Ov/iKl時(shí)，n=0D.當(dāng)lv〃<3時(shí)，n=2

例38.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））已知在“1BC中，。、b、。分別為角A、B、C的對(duì)邊，則

根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（）

A.a=3,6=4,A=—B.a=4,b=3,A=—

63

C.a=l,b=2,A=—D.a=2,b=3,A=—

43

例39.(2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)(文))中，已知下列條件：①力=3,c=4,8=30；②

a=5,b=8,A=30。；③c=6,〃=3G,8=60。；@c=9,b=12,C=60°,其中滿足上述條件的三角形有兩解的

是()A.①④B.①@C.①②③D.③④

題型八：三角形中的面積與周長問題

例40.(2022,湖南?模擬預(yù)測(cè))在△MC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c,已知C=2A.

(1)求證：c=2acosA；

(2)若C=〃8S4,A<B<C,6=10,且a+c=2Z?,求的面積.

例41.(2022?全國?模擬預(yù)測(cè))從①力=。，②〃=3&sin8這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，

并完成解答.

已知銳角“IBC中，a,b,c分別是內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊，fisin2B=sin2A+sin2C-5/2sinAsinC-

⑴求角B；

(2)己知〃="，且_____,求sinC的值及AABC的面積.

例42.(2022?全國?高考真題(理))汜的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為?Ac,已知

sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A).

(1)證明：2a2=b2+c2:

25

(2)若〃=5,cosA=下，求AABC的周長.

例43.(2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))在AASC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,

c.AE(0，T)，GsinA+cosA=\/5.

⑴求tan24的值；

(2)若h=26,a=2,b2>a2+c2,求c和面積S的值.

例44.(2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,

222

c,\/^sinA+cosA=G,b=2石.請(qǐng)?jiān)購臈l件①：a=2,sinB>sinA+sinC;條件②：a<bt

acosAcosCucsin?4+ga.這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求：

(l)tan2A的值；

(2)c和面積S的值.

例45.(2022?北京?高考真題)在“18。中，sin2C=百sinC.

⑴求NC;

（2）若力=6,且AABC的面積為6百，求△ABC的周長.

例46.（2022?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文））在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分

別為。、bc,且2Z?cosB=c8sA+acosC.

（1）求角8的大?。?/p>

（2）若。+2c=16,且AABC的面積為86,求AABC的周長.

例47.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，

b,c,且asin（A+B-C）=csin（8+C）.

（1）求角C的值；

⑵若2a+b=6,且AABC的面積為白，求的周長.

例48.（2022?廣東深圳?高三階段練習(xí)）已知“IBC的內(nèi)角人脫。的對(duì)邊分別為〃也叫〃=近，

c=4,2cos（8一9+近sinC=3.

⑴求8；

（2）若C為銳角，求AABC的面積.

例49.（2022?浙江?高考真題）在中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a",c.已知4〃二6c,cosC=|.

⑴求sinA的值；

（2）若力=11,求AABC的面積.

【過關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022?江西師大附中三模（理））滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永

徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鷲齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，小明同學(xué)為測(cè)量滕王

閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物A8,高為12m,在它們的地面上的點(diǎn)M（5,M,。三點(diǎn)共

線）測(cè)得樓頂A,滕工閣頂部C的仰角分別為15。和60。，在樓頂A處測(cè)得閣頂部。的仰角為3伊，則小明

估算滕王閣的高度為（）（精確到1m）

D.57m

2.（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測(cè)（文））記△枷的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,smC二號(hào),

c=2,b=3,則cosB的值為（）

B./C.土也

A.一旦

141414

4

3.（2022?江西?模擬預(yù)測(cè)（理））在中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為。也c,且bsinB+csinC=-?sinA,

則包鬻的值為（

)

sinosinC

A.4B.5C.6D.7

4.（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sinC=—,

7

b=3,c=2.則cosB的值為（）

A.一遮B,且

1414

C,土也D,土立

147

5.（2022?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)（文））“IBC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為〃也%若4=苧，。=2日,

6

C=5/%，則ZkABC的面積為（）

A.276B.76C.75D.25/3

6.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在“ISC中，已知AB=5,BC=3,CA=4,則而.而=（）

A.16B.9C.-9D.-167.（2022?北京昌平?二模）在△ABC中，/8=45°,c=4,只需添加

一個(gè)條件，即可使△A8C存在且唯一.條件：①°=3&;②b=26；③cosC=-g中，所有可以選擇的

條件的序號(hào)為（）

A.①B.（D?C.②③D.①②③

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，三邊長。，"c滿足a+c=幼，則tan,tan］的值為（）

A.1B,1

54

C-D-

J23

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c.已知切inA=（勸-c）sinB,

且8sA=g,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a+c=3bB.tanA=2夜

C.AABC的周長為4cD.AABC的面積為里/

9

10.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè)i已知“IBC中，A8=3,AC=5,8C=7,。為AABC外接圓的圓心,

/為AABC內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述正確的是（）

A.AABC外接圓半徑為妁叵B.AABC內(nèi)切圓半徑為立

32

C.AOBC=SD.AIBC=\

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在中各角所對(duì)得邊分別為。，b,c,下列結(jié)論正確的有（）

A.上7=3=三則AABC為等邊三角形；

cosAcosocosc

B.已知（a+6+c）（a+b-c）=%b,則NC=60;

C.已知a=7,b=?6C=ji5,則最小內(nèi)角的度數(shù)為30。；

D.在a=5,A=60,b=4,解三角形有兩解.

12.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且滿足

sinB（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列結(jié)論可能成立的是（）

A.a=2bB.h=2aC.A=2BD.C=90

三、填空題

13.（2022?河北?高三期中）已知AABC中角4,B,C所對(duì)的邊分別為小b,c,〃=缺±二則”15。

的面積S=Jp（p-〃）（p-3（p-c）,該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出.若△4?。的

周長為15,（sinA+sinB）:（sinB+sinC）:（sinC+sinA）=4:6:5,則AABC的面積為

.14.（2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)（理））在銳角“IBC中，角A,B,。的對(duì)邊分

別為a,b,c,sin*2B=sinA?b=4a,a+c=5?則AABC的面積為.

2

15.（2022?遼寧?沈陽二中模擬預(yù)測(cè)）沈陽二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水

蜿蜒形成了一個(gè)“秀''字，故稱“秀湖湖峰有秀湖閣（A）和臨秀亭（6）兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)，如圖.若為測(cè)量隔

湖相望的A、B兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與A、8不共線的C處，構(gòu)成△ABC,以下是測(cè)量數(shù)據(jù)

的不同方案:

①測(cè)量NA、AC、BC：

②測(cè)量N4、BB、BC；

③測(cè)量NC、AC.BC；

④測(cè)量NA、/C、DA.

其中一定能唯一確定A、B兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是

16.（2022.河南安陽.模擬預(yù)測(cè)（文））右△4次？中，角A,B,C的對(duì)

邊分別為a,b,c,滿足2b呢=o,sin（A+B）=2sinA,則cosC=.

四、解答題

17.（2022,上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知在三角形AABC中，a=2b,三角形的面積S=12.

⑴若6=4,求tan(A+8)；

3

(2)若sinC=《，求sinAsinB.

18.（2022?上海交大附中高三階段練習(xí)）已知三角形花園A8C,頂點(diǎn)A、B、C為花園的三個(gè)出入口,

滿足A8=20歷，BC=20屈，CA=20回（單位：米）.

（1）求三角形花園的面積（精確到1平方米）；

（2）若三角形3個(gè)內(nèi)角均小于120。，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)M必滿足MA、MB、正好

三等分M點(diǎn)所在的周角，該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120,所以這個(gè)點(diǎn)也稱為三角形的等角中

心.請(qǐng)根據(jù)此知識(shí)求出三角形花園的最佳會(huì)合點(diǎn)P到三個(gè)出入口的最小距離和（滿足到三個(gè)出入口的距離

和最?。?

19.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=cosxsinx/3sinxsin

（1）求人幻的最小正周期以及在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將/（用的圖象向右平移?個(gè)單位長度得到函

O

數(shù)g（x）的圖象.在中，a,b,c分別是角A,B,。的對(duì)邊，若g（8）=0,〃=4,b=g,求c的值.

29.（2022?河南?平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在△48。中.角B.。所對(duì)的邊分別為“

byc,且/一/=c（acos8-2）.

2

（1）求角A的大小；

（2）若c=8,“8C的面積為4",求3c邊上的高.

21.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）在“15（”sin4cos

⑴求角A；

（2）若AC=8,點(diǎn)。是線段8C的中點(diǎn)，OE_L4C于點(diǎn)E,且。E=3叵，求CE的長.

4

22.（2022?重慶?高三階段練習(xí)）已知對(duì)任意出8,都有：sin2^-sin2^=sin（＜9+^）sin（^-^）,若“IBC

1

的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.aht且asinA-bsinB=3sin（A-B）.

⑴求c；

⑵若方二為，過點(diǎn)C作垂足為“，若AH=4,求AA5C的面積S.

專題20解三角形

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是〃，b,c,R為△A8C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+C2-2/?ccosA；

2=上=上=2R

公式b2=c2+a2-2?<?cosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

222

Ab^c-a

⑴a=2RsinA,b=27?sinB?c=27?sinC；2bc

常見c2+a2-br

(2)sinA=—,sinB=—?sinC=—:cosDB=----------；

變形2R2R2Rlac

C儲(chǔ)十從一。2

cosC=----------.

2ab

(2)面積公式：

5.ABC=—￡7^sinC=—Z>csinA=—ncsinBS.ABC==—(a+b+c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并

A222△4R2

可由此計(jì)算R,r.)

知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊u>a:〃:c=sinA:sin8:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

a>OoA>8osinA>sin8ocos4vcos8③合分比

a+b+ca+bb-\-ca+cabc

----------------------------=------------------=------------------=------------------=--------=--------=--------=2A

sin4+sin8+sinCsinA+sinBsin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=TT

?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acos8+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

tQnA+tqnA?

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)--------------<=>tanA+tanB+tanC=tanA-tailtanC

1-tanA-tanB

⑷