2025年滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 專題24.14 圓單元提升卷（滬科版）

第24章圓單元提升卷【滬科版】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（23-24九年級(jí)·云南紅河·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，D是圓上A，C之間的一點(diǎn)，AD=2DC，BD與OC相交于點(diǎn)E，則A．30° B．40° C．45° D．15°2．（3分）（23-24·江蘇南京·三模）如圖，⊙O與矩形ABCD的三邊AB、BC、CD分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接OB、OD，OB=4，OD=3，則AB的長(zhǎng)為（

）

A．5 B．22+2 C．4 3．（3分）（23-24九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，A點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P點(diǎn)是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為（

）A．1 B．2 C．2 D．無(wú)法計(jì)算4．（3分）（23-24九年級(jí)·山東威?！て谀┤鐖D，CD是⊙O的弦，把⊙O的劣弧沿著CD對(duì)折，A是對(duì)折后劣弧上的一點(diǎn)，若∠A=2∠B，則∠B的度數(shù)是（

）

A．100° B．80° C．60° D．50°5．（3分）（23-24九年級(jí)·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB=40°，點(diǎn)D是劣弧BC上一點(diǎn)，連結(jié)CD、BD，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．130° D．140°6．（3分）（23-24九年級(jí)·江蘇南京·期中）如圖，圓內(nèi)接正九邊形兩條對(duì)角線AB,CD相交，則∠1的度數(shù)是（

）A．45° B．54° C．60° D．72°7．（3分）（23-24九年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為BDA．π3 B．2π3 C．2π8．（3分）（23-24九年級(jí)·江蘇連云港·期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AD，BC=3．劣弧BC沿弦BC翻折，剛好經(jīng)過(guò)圓心O．當(dāng)對(duì)角線BD最大時(shí)，則弦AB的長(zhǎng)為（

）A．6 B．23 C．32 9．（3分）（23-24·吉林延邊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O切于點(diǎn)A，點(diǎn)C在OB上，連接PC與⊙O交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若CD=AD=3，則DE的長(zhǎng)為（A．2 B．22 C．3 D．2310．（3分）（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點(diǎn)C是圓上不與A、B重合的點(diǎn)，CD平分∠ACB，交⊙O于D，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，CD與AB交于點(diǎn)F．以下說(shuō)法：①點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)；②AD=DE；③∠ABE=∠BDC；④若AD=AF，則∠BAC=22.5°．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（23-24九年級(jí)·黑龍江七臺(tái)河·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，CD⊥AB，若∠DAB=65°，則∠OCD=．12．（3分）（23-24九年級(jí)·湖北·期末）如圖，從一塊圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，若圍成圓錐的底面半徑為1，則該圓形鐵皮⊙O的直徑是．

13．（3分）（23-24九年級(jí)·四川南充·期末）圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個(gè)正方形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規(guī)律，將一個(gè)正六邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)°，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則所得正八邊形的面積為．14．（3分）（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥AC于點(diǎn)D，OE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，若AB=4，則DE的長(zhǎng)為．

15．（3分）（23-24·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與弦AB相交于點(diǎn)C，OB⊥OP，若OB=3，OC=1，則PA的長(zhǎng)為．16．（3分）（23-24九年級(jí)·山東淄博·期末）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD外接圓的劣弧AD上的一點(diǎn)，則代數(shù)式PA+PCPB的值是三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（23-24九年級(jí)·湖北十堰·期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)，且BC∥OD，過(guò)點(diǎn)D作(1)求證：BD平分∠ABC；(2)若BC=4，DE=3，求⊙O的半徑長(zhǎng)．18．（6分）（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，AB=AE，BE分別交AD，AC于點(diǎn)(1)求證：FA=FG；(2)若BD=DO=3，求弧EC的長(zhǎng)度．19．（8分）（23-24九年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖1，AD，BC是⊙O的弦，且AD=BC，連接AB，CD．(1)求證：AB=CD；(2)如圖2，連接BD，若BD=AB+CD，BD=24，20．（8分）（23-24·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點(diǎn)，∠ABD=2∠BAC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，直線AB與CE交于點(diǎn)F．(1)求證：CF為⊙O的切線；(2)填空：①若AB=4，當(dāng)OB=BF時(shí)，BE=______；②當(dāng)∠CAB的度數(shù)為_(kāi)_____時(shí)，四邊形ACFD是菱形．21．（8分）（23-24九年級(jí)·天津?qū)幒印て谀┮阎鰽BC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠ACB=68°，D是⊙O上的點(diǎn)．

(1)如圖①，求∠ADC和∠BDC的大??；(2)如圖②，OD⊥AC，垂足為E，求∠ODC的大?。?2．（8分）（23-24·山東濰坊·中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，在AB上取一點(diǎn)E，連接AE，DE．過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AE，交⊙O于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，連接CG，DG．

(1)求證：△AFD≌(2)若AB=2，∠BAE=30°，求陰影部分的面積．23．（8分）（23-24·陜西西安·二模）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，△ACD為等邊三角形，AD=4，則線段BD的長(zhǎng)為_(kāi)__________；【問(wèn)題解決】（2）如圖②，在等腰直角△ABC中，∠B=90°,BC=AB=2，以AC為直徑作半圓O，點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)B、D之間的最大距離；【問(wèn)題探究】（3）一次手工制作課程中，老師要求小明和小麗組制作一種特殊的部件，部件的要求如圖③，部件是由直角△ABC以及弓形BDC組成，其中∠B=90°,AB=4,BC=6.4,DE=2.4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，這時(shí)候小明和小麗在討論這個(gè)部件，其中小麗說(shuō)點(diǎn)A到BC的最大距離是點(diǎn)A、D之間的距離，小明說(shuō)不對(duì)，你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出點(diǎn)A到BC的最大距離．

第24章圓單元提升卷【滬科版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（23-24九年級(jí)·云南紅河·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，D是圓上A，C之間的一點(diǎn)，AD=2DC，BD與OC相交于點(diǎn)E，則A．30° B．40° C．45° D．15°【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理、等邊對(duì)等角，先求出∠AOD=60°，再由圓周角定理得出∠ABD=1【詳解】解：∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠AOD+∠DOC=90°，∵AD=2∴∠AOD=2∠DOC，∴∠AOD=60°，∵AD=∴∠ABD=1∵OB=OD，∴∠ODB=∠ABD=30°，故選：A．2．（3分）（23-24·江蘇南京·三模）如圖，⊙O與矩形ABCD的三邊AB、BC、CD分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接OB、OD，OB=4，OD=3，則AB的長(zhǎng)為（

）

A．5 B．22+2 C．4 【答案】D【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，連接OE、OF、OG，則OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，可證四邊形OEBF為正方形，AEGD都為矩形，得到OE=BE，AE=DG，利用勾股定理可得OE=BE=22OB=2【詳解】解：連接OE、OF、OG，則OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，則∠OEB=∠OEA=∠OFB=∠OGD=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AB∥∴點(diǎn)E、O、G三點(diǎn)共線，∴四邊形OEBF、AEGD都為矩形，∴AE=DG，∵OE=OF，∴四邊形OEBF為正方形，∴OE=BE，∵OB=4，∴OE=BE=2∴OG=22∴DG=O∴AE=1，∴AB=BE+AE=22故選：D．

3．（3分）（23-24九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，A點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P點(diǎn)是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為（

）A．1 B．2 C．2 D．無(wú)法計(jì)算【答案】B【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，對(duì)稱的性質(zhì)；作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)D，連接OC，PC，當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)D，連接OC，則BN=NC=∵A點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，∴∠AON=13×180°=60°∴∠AOC=∠AON+∠CON=90°；∵AP+BP=AP+PC≥AC，∴當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，AP+BP最小，最小值為線段AC的長(zhǎng)；在Rt△AOC中，OA=OC=1由勾股定理得：AC=O即AP+BP的最小值為2；故選：B．4．（3分）（23-24九年級(jí)·山東威海·期末）如圖，CD是⊙O的弦，把⊙O的劣弧沿著CD對(duì)折，A是對(duì)折后劣弧上的一點(diǎn)，若∠A=2∠B，則∠B的度數(shù)是（

）

A．100° B．80° C．60° D．50°【答案】C【分析】本題主要考查了折疊，圓內(nèi)接四邊形．熟練掌握折疊的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，將△ACD沿CD翻折，點(diǎn)A落在A'處，得到∠A'=∠A，點(diǎn)A'在⊙O上，根據(jù)∠A=2∠B，得到∠【詳解】如圖，沿CD翻折△ACD，點(diǎn)A落在A'

則∠A由對(duì)折知，CAD=∴點(diǎn)A'在⊙O∵∠A=2∠B，∴∠A∵四邊形A'CBD是∴∠A∴∠B=60°，故選：C．5．（3分）（23-24九年級(jí)·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB=40°，點(diǎn)D是劣弧BC上一點(diǎn)，連結(jié)CD、BD，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．130° D．140°【答案】C【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，先根據(jù)圓周角定理，由∠ABC=90°，則利用互余可計(jì)算出∠A=50°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D的度數(shù)，熟練掌握三角形的外心的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°?∠ACB=90°?40°=50°，∵∠D+∠A=180°，∴∠D=180°?50°=130°．故選：C．6．（3分）（23-24九年級(jí)·江蘇南京·期中）如圖，圓內(nèi)接正九邊形兩條對(duì)角線AB,CD相交，則∠1的度數(shù)是（

）A．45° B．54° C．60° D．72°【答案】C【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正多邊形與圓求出相應(yīng)的圓心角度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)這個(gè)正九邊形的外接圓為⊙O，則∠BOD=360°∴∠BAD=1∴∠1=∠BAD+∠ADC=20°+40°=60°，故選：C．7．（3分）（23-24九年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為BDA．π3 B．2π3 C．2π【答案】B【分析】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形的面積公式，勾股定理的應(yīng)用，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形ABD的面積是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理得到AB=22，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出S扇形ABD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Rt【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=22∴S又∵Rt△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到∴Rt∴S故選：B．8．（3分）（23-24九年級(jí)·江蘇連云港·期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AD，BC=3．劣弧BC沿弦BC翻折，剛好經(jīng)過(guò)圓心O．當(dāng)對(duì)角線BD最大時(shí)，則弦AB的長(zhǎng)為（

）A．6 B．23 C．32 【答案】A【分析】首先作好輔助線，利用翻折性質(zhì)得出△OBF為等邊三角形，進(jìn)而得出OB，再利用過(guò)直徑的三角形是直角三角形得出OE=EB=22【詳解】當(dāng)BD過(guò)圓心時(shí)最大，連接OA，作OE⊥AB，還原劣弧BC，設(shè)與點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為F，連接FB、FC、OF，OF交BC于G，如圖所示：由翻折的性質(zhì)，得OB=BF，∠OBC=∠FBC∵翻折后剛好經(jīng)過(guò)圓心O∴OB=OF∴△OBF為等邊三角形，即∠OBC=30°∵OF⊥BC∴OB=∵BC=3∴BG=CG=1.5∴OB=∵AB=AD，OE⊥AB，OA=OB∴∠ABD=∠ADB=45°∴OE=EB=2∴AB=故選：A.【點(diǎn)睛】此題主要考查折疊的性質(zhì)以及圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是作輔助線，利用特殊角三角函數(shù)進(jìn)行求解.9．（3分）（23-24·吉林延邊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O切于點(diǎn)A，點(diǎn)C在OB上，連接PC與⊙O交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若CD=AD=3，則DE的長(zhǎng)為（A．2 B．22 C．3 D．23【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠CAP=90°，再利用平行線的性質(zhì)可得∠ACE=90°，從而可得∠CAE+∠E=90°，∠ACD+∠DCE=90°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACD=∠CAE，從而可得∠E=∠DCE，進(jìn)而可得DC=DE=3，即可解答．【詳解】解：∵PA與⊙O切于點(diǎn)A，∴∠CAP=90°，∵CE∥∴∠ACE=180°?∠CAP=90°，∴∠CAE+∠E=90°，∠ACD+∠DCE=90°，∵CD=AD=3，∴∠ACD=∠CAE，∴∠E=∠DCE，∴DC=DE=3，故選：C．10．（3分）（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點(diǎn)C是圓上不與A、B重合的點(diǎn)，CD平分∠ACB，交⊙O于D，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，CD與AB交于點(diǎn)F．以下說(shuō)法：①點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)；②AD=DE；③∠ABE=∠BDC；④若AD=AF，則∠BAC=22.5°．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠BCD，再由圓周角定理即可判斷①；由①可得AD=BD，由角平分線的定義、圓周角定理結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)證明∠DBE=∠DEB，得到BD=DE，即可判斷②；令∠BAC=20°，則∠ABC=70°，此時(shí)，∠BDE=∠BAC=20°，∠ABE=35°，即∠ABE≠∠BDC，即可判斷③；由AD=AF，得∠ADF=∠AFD=∠BFC=【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，故①正確，符合題意；∵AD∴AD=BD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠BCD=∠ABD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠DEB=∠DCB+∠CBE，∠DBE=∠ABD+∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴BD=DE，∴AD=DE，故②正確，符合題意；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+令∠BAC=20°，則∠ABC=70°，此時(shí)，∠BDE=∠BAC=20°∵AD=AF，∠ADF=∴∠ADF=∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB∴∠ACF=1∴∠ABC=∵∠ABC+∴∠BAC=22.5°，故④正確，符合題意；綜上所述，正確的有①②④，共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、圓周角定理、三角形外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（23-24九年級(jí)·黑龍江七臺(tái)河·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，CD⊥AB，若∠DAB=65°，則∠OCD=．【答案】40°【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得∠ODA=65°，由角的和差得∠ODC=40°，由圓的基本性質(zhì)得OD=OC，即可求解；理解圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：如圖，連接OD，∵OD=OA，∠DAB=65°，∴∠ODA=65°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=25°，∴∠ODC=∠ODA?∠ADC=40°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=40°，故答案為：40°．12．（3分）（23-24九年級(jí)·湖北·期末）如圖，從一塊圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，若圍成圓錐的底面半徑為1，則該圓形鐵皮⊙O的直徑是．

【答案】4【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．連接BC，根據(jù)扇形圓心角為90°，得到B,O,C三點(diǎn)共線，BC為⊙O的直徑，首先求得扇形的弧長(zhǎng)，再求出圓錐的母線長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出BC即可．【詳解】解：如圖，連接BC，

∵∠BAC=90°，∴B,O,C三點(diǎn)共線，BC為⊙O的直徑，∵圍成圓錐的底面半徑為1，∴BC∵90×2π?AB∴AB=4，∵AC=AB=4，∴BC=A∴該圓形鐵皮⊙O的直徑是42故答案為：4213．（3分）（23-24九年級(jí)·四川南充·期末）圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個(gè)正方形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規(guī)律，將一個(gè)正六邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)°，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則所得正八邊形的面積為．【答案】308【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，圖形規(guī)律以及等腰直角三角形的性質(zhì)，由題意得正n邊形繞其中心最小旋轉(zhuǎn)180°n，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形，旋轉(zhuǎn)得到正八邊形相當(dāng)于將正方形剪掉了4個(gè)全等的等腰直角三角形，設(shè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)為2x，根據(jù)x+x+2【詳解】解：由題意得：正n邊形繞其中心最小旋轉(zhuǎn)180°n，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形，則將一個(gè)正六邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)180°由題意得：旋轉(zhuǎn)得到正八邊形相當(dāng)于將正方形剪掉了4個(gè)全等的等腰直角三角形，設(shè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)為2x∴x+x+2解得：x=2?2∴減去的每個(gè)等腰直角三角形的面積為：12∴正八邊形的面積為2×2?4×3?2故答案為：30，8214．（3分）（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥AC于點(diǎn)D，OE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，若AB=4，則DE的長(zhǎng)為．

【答案】2【分析】本題主要考查垂徑定理，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理得到中點(diǎn)D與E．【詳解】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥AC，OE⊥AB，∴AD=DC，BE=CE，∴D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∵AB=4，∴DE=1故答案為：2．15．（3分）（23-24·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與弦AB相交于點(diǎn)C，OB⊥OP，若OB=3，OC=1，則PA的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，余角性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，勾股定義，連接OA，由切線的性質(zhì)可得∠OAP=90°，由OB⊥OP得∠BOC=90°，又由OA=OB得到∠B=∠OAB，即可根據(jù)余角性質(zhì)得到∠OCB=∠PAC，進(jìn)而得到∠PCA=∠PAC，即得到PA=PC，設(shè)PA=x，則PC=x，PO=x+1，由勾股定理可得32【詳解】解：連接OA，如圖，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵OB⊥OP，∴∠BOC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠B+∠OCB=90°，∠OAB+∠PAC=90°，∴∠OCB=∠PAC，∵∠OCB=∠PCA，∴∠PCA=∠PAC，∴PA=PC，設(shè)PA=x，則PC=x，PO=x+1，∵OA=OB=3，∴32解得x=4，即PA的長(zhǎng)為4，故答案為：4．16．（3分）（23-24九年級(jí)·山東淄博·期末）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD外接圓的劣弧AD上的一點(diǎn)，則代數(shù)式PA+PCPB的值是【答案】2；【分析】延長(zhǎng)PA到E，使AE=PC，連接BE，易證得△ABE≌△CBP，繼而可證得△BEP是等腰直角三角形，則可求得答案．【詳解】解：延長(zhǎng)PA到E，使AE＝PC，連接BE，∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，∴∠BAE＝∠PCB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，在△ABE和△CBP中，AB=BC∠BAE=∠PCB∴△ABE≌△CBP（SAS），∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴PE=2PB，∵AE=CP，∴PA+PC＝PE＝2PB．即：PA+PCPB故答案為：2．．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（23-24九年級(jí)·湖北十堰·期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)，且BC∥OD，過(guò)點(diǎn)D作(1)求證：BD平分∠ABC；(2)若BC=4，DE=3，求⊙O的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)13【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得到∠ODB=∠CBD，根據(jù)半徑相等可得∠ODB=∠OBD，等量代換得到∠OBD=∠CBD，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）過(guò)O點(diǎn)作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理得到BH=CH=2，再證明△ODE≌△BOH得到DE=OH=3，然后利用勾股定理計(jì)算【詳解】（1）證明：∵BC∥∴∠ODB=∠CBD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）解：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥BC于H，如下圖，∵BC=4，∴BH=CH=1∵DE⊥AB，OH⊥BC，∴∠DEO=∠OHB=90°，∵OD∥∴∠DOE=∠OBH，在△ODE和△BOH中，∠DEO=∠OHB∠DOE=∠OBH∴△ODE≌∴DE=OH=3，在Rt△OBH中，OB=即⊙O的半徑長(zhǎng)為13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．18．（6分）（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，AB=AE，BE分別交AD，AC于點(diǎn)(1)求證：FA=FG；(2)若BD=DO=3，求弧EC的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】此題主要考查了圓周角定理和應(yīng)用，以及弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，要熟練掌握．（1）根據(jù)BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，AB=AE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得（2）連接AO、EO，根據(jù)BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根據(jù)AB=AE，求出【詳解】（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠AGB=90°；∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD=90°；∵AB=∴∠C=∠ABE，∴∠AGB=∠CAD，∴FA=FG．（2）解：如圖，連接AO、EO，∵BD=DO=2，AD⊥BC，∴AB=AO，∵AO=BO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等邊三角形，∴∠AOB=60°，∵AB=∴∠AOE=60°，∴∠EOC=60°，∴弧EC的長(zhǎng)度=2π×2×219．（8分）（23-24九年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖1，AD，BC是⊙O的弦，且AD=BC，連接AB，CD．(1)求證：AB=CD；(2)如圖2，連接BD，若BD=AB+CD，BD=24，【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)13【分析】本題考查了圓心角，弧，弦之間的關(guān)系以及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本知識(shí)．（1）欲證明AB=CD，只要證明AB=（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接OB，根據(jù)BD得出BF=AB，在Rt△BEF中利用勾股定理求出EF，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=r?8，利用勾股定理求出r【詳解】（1）證明：∵AD=BC，∴AD∴AD?AC∴AB=CD；（也可通過(guò)證明三角形全等解決）（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接OB，BF，∴BE=12BD=12，又∵BD=AB∴BF=∴BF=AB=413在Rt△BEF中，EF=設(shè)⊙O的半徑為x，Rt△OBE中，B∴12解得x=13，即⊙O的半徑為13．20．（8分）（23-24·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點(diǎn)，∠ABD=2∠BAC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，直線AB與CE交于點(diǎn)F．(1)求證：CF為⊙O的切線；(2)填空：①若AB=4，當(dāng)OB=BF時(shí)，BE=______；②當(dāng)∠CAB的度數(shù)為_(kāi)_____時(shí)，四邊形ACFD是菱形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①1；②30°【分析】（1）連接OC，如圖，由于∠OAC=∠OCA，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BOC=2∠OAC，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據(jù)平行線的判定得到OC平行BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得CF為⊙O的切線；（2）①由平行線分線段成比例可得BFOF=BEOC=12，即可求BE的長(zhǎng)；②根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠F=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC=CF【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠OAC，∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=∠BOC，∴OC∥∵CE⊥BD，∴OC⊥CE，∴CF為⊙O的切線；（2）解：∵AB=4，∴OB=BF=OC=2，∴OF=4，∵BE∥∴BF∴BE=1，故答案為：1；②當(dāng)∠CAB的度數(shù)為30°時(shí)，四邊形ACFD是菱形，理由如下：∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∴∠CFO=30°，∴∠CAB=∠CFA，∴AC=CF，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BD，而CE⊥BD，∴AD∥∴∠DAF=∠CFA=30°，在△ACB與△ADB中，∠CAB=∠DAB=30°∠ACB=∠D=90°∴△ACB≌△ADBAAS∴AD=AC，∴AD=CF，∵AD∥∴四邊形ACFD是菱形．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（23-24九年級(jí)·天津?qū)幒印て谀┮阎鰽BC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠ACB=68°，D是⊙O上的點(diǎn)．

(1)如圖①，求∠ADC和∠BDC的大小；(2)如圖②，OD⊥AC，垂足為E，求∠ODC的大?。敬鸢浮?1)112°，44°(2)56°【分析】本題主要考查圓的內(nèi)接四邊形，圓的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出答案即可；（2）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等求出答案．【詳解】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=68°．∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC=180°?∠ABC=112°．∵∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=44°，∴∠BDC=∠BAC=44°；（2）解：連接BD．∵OD⊥AC，∴AD=∴∠ABD=∠CBD=1∴∠ACD=∠ABD=34°．∴∠ODC=90°?∠ACD=56°．

22．（8分）（23-24·山東濰坊·中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，在AB上取一點(diǎn)E，連接AE，DE．過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AE，交⊙O于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，連接CG，DG．

(1)求證：△AFD≌(2)若AB=2，∠BAE=30°，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)S【分析】（1）如圖，連接EG，證明∠EDG=∠EAG=90°=∠EDC+∠CDG，再證明∠ADC=90°，AD=CD，可得∠ADF=∠CDG，結(jié)合∠DAF=∠DCG，從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接OA，OD，過(guò)F作FK⊥AD于K，設(shè)FK=x，在AD上取Q，使QF=QD，證明∠OAE=75°，∠EAD=30°+90°=120°，∠FAD=120°?90°=30°，可得AF=2x，AK=3x，求解∠ADF=180°?30°?135°=15°，而QF=QD，可得∠KQF=30°，F(xiàn)Q=2x=QD，QK=3x，可得23【詳解】（1）解：如圖，連接EG，∵AE⊥AG，則∠EAG=90°，

∴∠EDG=∠EAG=90°=∠EDC+∠CDG，∵正方形ABCD，∴∠ADC=90°，AD=CD，∴∠ADF+∠EDC=90°，∴∠ADF=∠CDG，∵∠DAF=∠DCG，∴△AFD≌（2）如圖，連接OA，OD，過(guò)F作FK⊥AD于K，設(shè)FK=x，在AD上取Q，使QF=QD，

∵O為正方形中心，∴∠OAB=∠OAD=∠ODA=45°，∠AOD=90°，而∠BAE=30°，∴∠OAE=75°，∠EAD=30°+90°=120°，∵∠EAG=90°，∴∠FAD=120°?90°=30°，∴AF=2x，AK=3∵∠AED=1∴∠AFD=∠AED+∠EAF=45°+90°=135°，∴∠ADF=180°?30°?135°=15°，而QF=QD，∴∠QFD=∠