2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第03講 等腰三角形（第3課時(shí)）

第03講等腰三角形（第3課時(shí)）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．掌握反證法的概念，學(xué)會(huì)用反證法證明；2．知道直角三角形30°角的性質(zhì)；3.學(xué)會(huì)等腰三角形的綜合應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)1反證法引入：小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為小明這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?小明是這樣想的：如圖1-9,在△ABC中，已知∠B≠∠C,此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等.假設(shè)AB=AC,那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C=∠B,這與已知條件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.小明在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.要點(diǎn)：一般證明步驟如下：（1）假定命題的結(jié)論不成立；（2）從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出與學(xué)過(guò)的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果；（3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說(shuō)明命題的結(jié)論是正確的.例用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC.求證：∠A,∠B,∠C中不能有兩個(gè)角是直角.證明：假設(shè)∠A,∠B,∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°,∠B=90°于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.知識(shí)點(diǎn)2含有30°角的直角三角形思考：用兩個(gè)含30°角的全等的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?說(shuō)說(shuō)你的理由.定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.已知：如圖1-10(1),△ABC是直角三角形，∠C=90°,∠A=30°.求證：證明：如圖1-10(2),延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD.∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴∠ACD=90°,∠B=60°.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).∴△ABD是等邊三角形(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形).∴例求證：如果等腰三角形的底角為15°,那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半.已知：如圖1-11,在△ABC中，AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高.求證：證明：在△ABC中，∵AB=AC,∠B=15°,∴∠ACB=∠B=15°(等邊對(duì)等角).∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°.∴(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).∴考點(diǎn)一：用反證法證明的步驟辨析例1．用反證法證明命題“鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)三角形中（

）A．有一個(gè)內(nèi)角小于 B．每一個(gè)內(nèi)角都大于等于C．有一個(gè)內(nèi)角大于等于 D．每一個(gè)內(nèi)角都小于【變式1-1】．用反證法證明“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角不大于”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A．有一個(gè)內(nèi)角小于 B．每一個(gè)內(nèi)角都小于C．有一個(gè)內(nèi)角大于 D．每一個(gè)內(nèi)角都大于【變式1-2】．我們可以用反證法來(lái)證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”．下面寫出了證明該問(wèn)題過(guò)程中的四個(gè)步驟：①這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．②所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．③假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．④則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于．這四個(gè)步驟正確的順序是.【變式1-3】．小明在解答“已知中，，求證”這道題時(shí)，寫出了下面用反證法證明這個(gè)命題過(guò)程中的四個(gè)推理步驟：（1）所以，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．（2）所以．（3）假設(shè)．（4）那么，由，得，即，即．請(qǐng)你寫出這四個(gè)步驟正確的順序．考點(diǎn)二：用反證法證明例2．如圖，在同一平面內(nèi)，已知直線于點(diǎn)與直線相交（且不垂直）于點(diǎn)．求證：與必相交．證明：假設(shè)與不相交，則______________________．這與與直線不垂直相矛盾．假設(shè)與不相交___________．與___________．【變式2-1】．用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角.已知：在△ABC中，AB=AC．求證：∠B，∠C必為銳角.【變式2-2】．閱讀下列材料：“為什么不是有理數(shù)”．假是有理數(shù)，那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，，使得，于是有．∵是偶數(shù)，∴也是偶數(shù)，∴是偶數(shù)．設(shè)（是正整數(shù)），則，∴，∴，都是偶數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾．∴假設(shè)錯(cuò)誤∵不是有理數(shù)有類似的方法，請(qǐng)證明不是有理數(shù)．【變式2-3】．已知：如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．求證：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是銳角三角形．（用反證法證明）考點(diǎn)三：直角三角形中30°角的性質(zhì)例3．在中，，斜邊的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式3-1】．如圖，直角中，，，且，，則（

）A．6 B． C． D．【變式3-2】．如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【變式3-3】．如圖，在中，，于點(diǎn)，若，，則AB的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四：直角三角形中30°角性質(zhì)的有關(guān)解答證明例4．如圖所示，在中，于點(diǎn)D，，求的長(zhǎng)．【變式4-1】．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【變式4-2】．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)求證：．【變式4-3】．如圖，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且，與相交于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．考點(diǎn)五：直角三角形中30°角性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用題例5．如圖，在蓮花山滑雪場(chǎng)滑雪時(shí)，需從山腳處乘纜車上山，纜車索道與水平線所成的角為，纜車速度為每分鐘40米，纜車從山腳處A到達(dá)山頂B需要15分鐘，則山的高度為（

）A．米 B．米 C．300米 D．1200米【變式5-1】．生活中的衣架可以近似看成一個(gè)等腰，如圖所示，其中，，，則高的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【變式5-2】．某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)：測(cè)量了學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿垂直于地面，李明在處測(cè)得．他沿方向走了，到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得．請(qǐng)你幫助興趣小組的同學(xué)計(jì)算出旗桿的高度為m．【變式5-3】．某游樂(lè)場(chǎng)部分平面圖如圖所示，在同一直線上，、E、B在同一直線上，測(cè)得處與處的距離為米，處與處的距離為36米，（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）(1)求入口處到出口處的距離；(2)求海洋球處到出口處的距離．考點(diǎn)六：直角三角形中30°角性質(zhì)的幾何綜合應(yīng)用例6．如圖所示，在中，D為上一點(diǎn)，連接，已知，，于點(diǎn)E，，則的長(zhǎng)是．【變式6-1】．題目：“如圖，，，在射線BM上取一點(diǎn)A，設(shè)，若對(duì)于d的一個(gè)數(shù)值，只能作出唯一一個(gè)，求d的取值范圍．”對(duì)于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）A．只有甲答的對(duì) B．乙、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【變式6-2】．如圖，在中，，和是內(nèi)的兩點(diǎn)，平分，，若，，則的長(zhǎng)為．【變式6-3】．如圖，兩塊完全相同的含：30°角的直角三角板疊放在一起，且，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)O為的中點(diǎn)，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③ C．②③ D．①③考點(diǎn)七：等腰三角形與方程（動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）例7．如圖，在中，，，，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，連接．當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，則t的值為．【變式7-1】．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在，邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為，，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)______，______（用含t的式子表示），______；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，為等邊三角形？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形？請(qǐng)直接寫出t的值．【變式7-2】．如圖：是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，是邊上一動(dòng)點(diǎn)．由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)不重合），點(diǎn)同時(shí)以點(diǎn)相同的速度，由點(diǎn)向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)若設(shè)的長(zhǎng)為，則，．(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段的長(zhǎng)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式7-3】．如圖，在中，，，，點(diǎn)D為邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)當(dāng)時(shí)，的面積為_(kāi)_____（請(qǐng)直接寫出答案）；(2)當(dāng)______時(shí)，是直角三角形（請(qǐng)直接寫出答案）；(3)求當(dāng)t為何值時(shí)，是等腰三角形？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)八：等腰三角形與平面直角坐標(biāo)系例8．如圖，在等腰中，，若點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【變式8-1】．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，…都是等邊三角形，其邊長(zhǎng)依次為2，4，6，…其中點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，…，按此規(guī)律排下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式8-2】．如圖，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)分別為線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為．【變式8-3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，若直線與軸相交于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位的速度向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)求和的值；(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)是否存在的值，使△為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)九：等腰三角形難點(diǎn)分析例9．在等腰中，，D為上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，若，求證：(2)如圖2，若，．求的長(zhǎng)．(3)如圖3，若，，點(diǎn)Q為外一點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)．【變式9-1】．如圖，在等邊中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：；(2)若等邊的邊長(zhǎng)為6，求的長(zhǎng)；(3)求證：；(4)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，（3）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式9-2】．如圖，和都是等腰三角形，，，，三點(diǎn)在同一直線上，連接．(1)求證：；(2)寫出線段，，之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若，，①求線段的長(zhǎng)；②求點(diǎn)到的距離．【變式9-3】．在中，，，D點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，，，直接寫出的長(zhǎng)；(2)如圖2，，，，連接交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)至P，使得，連接，①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，點(diǎn)E為定點(diǎn)，，連接，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，當(dāng)取得最小值時(shí)，直接寫出的值（用和表示）．一、單選題1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，則(

)A．AB=2AC B．AC=2AB C．AB=AC D．AB=3AC2．“求證：的兩個(gè)銳角，中至少有一個(gè)不大于．”用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（

）A．， B．， C．， D．，3．已知直角三角形一個(gè)銳角60°，斜邊長(zhǎng)為2，那么此直角三角形的周長(zhǎng)是（

）A． B．3 C． D．4．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)度是（

）A． B．1 C．2 D．45．如圖，在三角形紙片中，，，將沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則折痕的長(zhǎng)為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．36．如下圖左，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸的夾角為，且點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B在x軸上方，設(shè)，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．將一副直角三角板和一把寬度為的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．8．如圖，中，，，于點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接EF．若，，則線段的長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．13 D．149．圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形；若，且，則的長(zhǎng)度為（

）A．3 B．2 C． D．10．如圖，是等邊的中線，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，連接，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最大值是2C．的最小值是4 D．的最大值是4二、填空題11．如圖，AB＝AC＝6，，BD⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則BD＝．12．如圖，在中，，CD是高，若，，則．13．如圖，在等邊中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，那么的長(zhǎng)是．14．如圖，在等邊中，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為．15．如圖，一艘輪船向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在A的北偏東方向，航行50海里到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在B的北偏東方向上．則；輪船到燈塔P的距離海里．（結(jié)果保留根號(hào)）16．如圖，在中，，，．點(diǎn)D為外一點(diǎn)，滿足，，則的面積是．17．如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為．18．如圖，在中，，，，且，，，，，，，則的值為．三、解答題19．如圖，在中，，，，求的面積．

20．用反證法求證：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．已知：如圖，∠1是△ABC的一個(gè)外角．求證：∠1＝∠A+∠B．

21．如圖，已知在中，，為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，．

(1)求證：；(2)若，，請(qǐng)直接寫出的周長(zhǎng)．22．如圖所示，在等邊中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，．(1)求證：是等邊三角形；(2)求的周長(zhǎng)．23．如圖，等腰中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，連接，且．

(1)求證：；(2)若，且，求的長(zhǎng)．24．如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)分別從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿折線運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____（cm），的長(zhǎng)為_(kāi)_____（cm）（用含的式子表示）．(2)當(dāng)與的一條邊垂直時(shí)，求的值．(3)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，連接，直接寫出中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．25．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限，為等邊三角形，點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)，以為邊在下方作等邊，連接，．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系：__________；(3)根據(jù)上述探究，請(qǐng)判斷的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求長(zhǎng)的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．已知：如圖，在等邊中，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，連接DB，使得．(1)如圖1：求證：；(2)如圖2，取BD的中點(diǎn)F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，求證：．

第03講等腰三角形（第3課時(shí)）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．掌握反證法的概念，學(xué)會(huì)用反證法證明；2．知道直角三角形30°角的性質(zhì)；3.學(xué)會(huì)等腰三角形的綜合應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)1反證法引入：小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為小明這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?小明是這樣想的：如圖1-9,在△ABC中，已知∠B≠∠C,此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等.假設(shè)AB=AC,那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C=∠B,這與已知條件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.小明在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.要點(diǎn)：一般證明步驟如下：（1）假定命題的結(jié)論不成立；（2）從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出與學(xué)過(guò)的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果；（3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說(shuō)明命題的結(jié)論是正確的.例用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC.求證：∠A,∠B,∠C中不能有兩個(gè)角是直角.證明：假設(shè)∠A,∠B,∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°,∠B=90°于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.知識(shí)點(diǎn)2含有30°角的直角三角形思考：用兩個(gè)含30°角的全等的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?說(shuō)說(shuō)你的理由.定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.已知：如圖1-10(1),△ABC是直角三角形，∠C=90°,∠A=30°.求證：證明：如圖1-10(2),延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD.∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴∠ACD=90°,∠B=60°.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).∴△ABD是等邊三角形(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形).∴例求證：如果等腰三角形的底角為15°,那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半.已知：如圖1-11,在△ABC中，AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高.求證：證明：在△ABC中，∵AB=AC,∠B=15°,∴∠ACB=∠B=15°(等邊對(duì)等角).∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°.∴(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).∴考點(diǎn)一：用反證法證明的步驟辨析例1．用反證法證明命題“鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)三角形中（

）A．有一個(gè)內(nèi)角小于 B．每一個(gè)內(nèi)角都大于等于C．有一個(gè)內(nèi)角大于等于 D．每一個(gè)內(nèi)角都小于【答案】B【分析】此題考查了反證法，反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立．解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．【解析】解：用反證法證明“鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中每一個(gè)內(nèi)角都不小于，即每一個(gè)內(nèi)角都大于或等于．故選：．【變式1-1】．用反證法證明“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角不大于”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A．有一個(gè)內(nèi)角小于 B．每一個(gè)內(nèi)角都小于C．有一個(gè)內(nèi)角大于 D．每一個(gè)內(nèi)角都大于【答案】D【分析】本題考查的是反證法的應(yīng)用，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．【解析】解：第一步應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，即每一個(gè)內(nèi)角都大于．故選：D．【變式1-2】．我們可以用反證法來(lái)證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”．下面寫出了證明該問(wèn)題過(guò)程中的四個(gè)步驟：①這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．②所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．③假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．④則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于．這四個(gè)步驟正確的順序是.【答案】③④①②【分析】此題主要考查了反證法的步驟，三角形的內(nèi)角和定理．解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．【解析】解：求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．證明：假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于，則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾，所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．則四個(gè)步驟正確的順序是③④①②，故答案為：③④①②．【變式1-3】．小明在解答“已知中，，求證”這道題時(shí)，寫出了下面用反證法證明這個(gè)命題過(guò)程中的四個(gè)推理步驟：（1）所以，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．（2）所以．（3）假設(shè)．（4）那么，由，得，即，即．請(qǐng)你寫出這四個(gè)步驟正確的順序．【答案】（3）（4）（1）（2）【分析】本題考查的是反證法，解題的關(guān)鍵是掌握反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．根據(jù)反證法的一般步驟解答即可．【解析】證明：假設(shè)，那么，由，得，即，所以，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，所以，所以這四個(gè)步驟正確的順序是（3）（4）（1）（2），故答案為：（3）（4）（1）（2）．考點(diǎn)二：用反證法證明例2．如圖，在同一平面內(nèi)，已知直線于點(diǎn)與直線相交（且不垂直）于點(diǎn)．求證：與必相交．證明：假設(shè)與不相交，則______________________．這與與直線不垂直相矛盾．假設(shè)與不相交___________．與___________．【答案】，，不成立，必相交【分析】本題考查反證法，根據(jù)反正法假設(shè)結(jié)論成立，推出與已知矛盾，進(jìn)行作答即可．【解析】證明假設(shè)與不相交，則．這與與直線不垂直相矛盾．假設(shè)與不相交不成立．與必相交．【變式2-1】．用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角.已知：在△ABC中，AB=AC．求證：∠B，∠C必為銳角.【答案】見(jiàn)解析.【分析】假設(shè)結(jié)論不成立，則∠B，∠C為直角或鈍角，再分別得出與三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°相矛盾的結(jié)論，則假設(shè)不成立，故得證.【解析】假設(shè)結(jié)論不成立，則∠B，∠C為直角或鈍角，∵AB=AC，∴∠B=∠C，當(dāng)∠B=∠C為直角時(shí)，∠B+∠C=180°，這與三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°相矛盾；當(dāng)∠B=∠C為鈍角時(shí)，∠B+∠C＞180°，這與三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°相矛盾.綜上所述，假設(shè)不成立，∴∠B，∠C必為銳角.【點(diǎn)睛】本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．【變式2-2】．閱讀下列材料：“為什么不是有理數(shù)”．假是有理數(shù)，那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，，使得，于是有．∵是偶數(shù)，∴也是偶數(shù)，∴是偶數(shù)．設(shè)（是正整數(shù)），則，∴，∴，都是偶數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾．∴假設(shè)錯(cuò)誤∵不是有理數(shù)有類似的方法，請(qǐng)證明不是有理數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用類比的思想,仿照證“為什么不是有理數(shù)”來(lái)證明.【解析】解：假設(shè)是有理數(shù)，則存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，，使得，于是有，∵是的倍數(shù)，∴也是的倍數(shù)，∴是的倍數(shù)，設(shè)（是正整數(shù)），則，即，∴，∴也是的倍數(shù)，∴，都是的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾，∴假設(shè)錯(cuò)誤，∴不是有理數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，從而得到所求.【變式2-3】．已知：如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．求證：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是銳角三角形．（用反證法證明）【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先假設(shè)△ABD，△BDC，△ADC都是銳角三角形，則∠ADB，∠BDC，∠ADC都是銳角，得∠ADB+∠BDC+∠ADC<360°，與已知矛盾，故可得證．【解析】假設(shè)△ABD，△BDC，△ADC都是銳角三角形，則∠ADB，∠BDC，∠ADC都是銳角，∴∠ADB+∠BDC+∠ADC<，這與∠ADB+∠BDC+∠ADC=矛盾．∴假設(shè)不成立．∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是銳角三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，只要否定其一即可．考點(diǎn)三：直角三角形中30°角的性質(zhì)例3．在中，，斜邊的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查含30度角的直角三角形，根據(jù)30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵在中，，斜邊的長(zhǎng)為，∴；故選B．【變式3-1】．如圖，直角中，，，且，，則（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，是解題關(guān)鍵．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵，，，∴，故選：D．【變式3-2】．如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)．掌握含角的直角三角形中，角所對(duì)的邊等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可求出，即推出．在中，利用含角的直角三角形的性質(zhì)即可求出CD長(zhǎng)．【解析】解：∵，，∴．∵，，∴，∴，∴，在中，，，．∴．故選：B．【變式3-3】．如圖，在中，，于點(diǎn)，若，，則AB的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，由，，則，，又得，故，然后根據(jù)30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵，，∴，，∵于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，故選：．考點(diǎn)四：直角三角形中30°角性質(zhì)的有關(guān)解答證明例4．如圖所示，在中，于點(diǎn)D，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．由，，，得，得出，即可得到的長(zhǎng)．【解析】解：∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴．【變式4-1】．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】．【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三線合一和含的特殊直角三角形的性質(zhì)．連接，利用等邊對(duì)等角得，在中，得，在中，得，即可求出的長(zhǎng)，熟練運(yùn)用三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：連接，∵，，為的中點(diǎn)，∴，平分，，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴．【變式4-2】．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，因?yàn)?，所以可得到，即可證明．【解析】證明：∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【變式4-3】．如圖，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且，與相交于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）首先得到是等邊三角形，得到，，然后結(jié)合即可證明；（2）求出，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求解即可．【解析】（1）證明：∵，，∴是等邊三角形∴，又∵∴；（2）解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則∴在中，∴∴∴．考點(diǎn)五：直角三角形中30°角性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用題例5．如圖，在蓮花山滑雪場(chǎng)滑雪時(shí)，需從山腳處乘纜車上山，纜車索道與水平線所成的角為，纜車速度為每分鐘40米，纜車從山腳處A到達(dá)山頂B需要15分鐘，則山的高度為（

）A．米 B．米 C．300米 D．1200米【答案】C【分析】本題考查含直角三角形的性質(zhì)，由題意可知，米，再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】解：由題意可知，米，∵，∴米，故選：C．【變式5-1】．生活中的衣架可以近似看成一個(gè)等腰，如圖所示，其中，，，則高的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一．先利用等腰三角形三線合一性質(zhì)求出，在中，利用勾股定理求解即可．【解析】解：∵，，∴，∵，，∵，，，∴，∴，，故選C．【變式5-2】．某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)：測(cè)量了學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿垂直于地面，李明在處測(cè)得．他沿方向走了，到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得．請(qǐng)你幫助興趣小組的同學(xué)計(jì)算出旗桿的高度為m．【答案】14【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用、等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)．先利用三角形的外角性質(zhì)可得：，從而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：是的一個(gè)外角，，，，，，旗桿的高度為，故答案為：14．【變式5-3】．某游樂(lè)場(chǎng)部分平面圖如圖所示，在同一直線上，、E、B在同一直線上，測(cè)得處與處的距離為米，處與處的距離為36米，（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）(1)求入口處到出口處的距離；(2)求海洋球處到出口處的距離．【答案】(1)入口處到出口處的距離為48米(2)海洋球處到出口處的距離為69米【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）由題意結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得出，，，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）由題意結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【解析】（1）解：由題意可知，，∵，∴，∴，答：入口處到出口處的距離為48米；（2）解：∵，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，答：海洋球處到出口處的距離為69米．考點(diǎn)六：直角三角形中30°角性質(zhì)的幾何綜合應(yīng)用例6．如圖所示，在中，D為上一點(diǎn)，連接，已知，，于點(diǎn)E，，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，等邊對(duì)等角等等，先由等邊對(duì)等角和已知條件得到，再導(dǎo)角證明，則可求出的度數(shù)，再求出，即可求出的長(zhǎng)．【解析】解：∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【變式6-1】．題目：“如圖，，，在射線BM上取一點(diǎn)A，設(shè)，若對(duì)于d的一個(gè)數(shù)值，只能作出唯一一個(gè)，求d的取值范圍．”對(duì)于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）A．只有甲答的對(duì) B．乙、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】C【分析】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系及等腰三角形以及直角三角形的知識(shí)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由題意知，當(dāng)或時(shí)，能作出唯一一個(gè)，分這兩種情況求解即可．【解析】由題意知，當(dāng)或時(shí)，能作出唯一一個(gè)，分這兩種情況求解即可．①當(dāng)時(shí)，∵，，∴，此時(shí)時(shí)，能作出唯一一個(gè)；②當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)能作出唯一一個(gè)；綜上，當(dāng)或時(shí)能作出唯一一個(gè)，故選：C．【變式6-2】．如圖，在中，，和是內(nèi)的兩點(diǎn)，平分，，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得，，證明是等邊三角形，則，，再根據(jù)角所對(duì)直角邊是斜邊的一半得即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵在中，，平分，∴，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵在中，，∴，∴，∴，故答案為：．【變式6-3】．如圖，兩塊完全相同的含：30°角的直角三角板疊放在一起，且，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)O為的中點(diǎn)，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合利用30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．①根據(jù)已知得出，進(jìn)而得出；②在四邊形中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為可得出的度數(shù)，繼而得出的度數(shù)；③利用，得出，進(jìn)而得出，即O為的中點(diǎn)．【解析】解：∵兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起，且．∴，∴，①正確；由①可得，∵，∴，∵，∴，即②錯(cuò)誤；連接，∵兩塊完全相同的含的直角三角板疊放在一起，且，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即可得③O為中點(diǎn)正確；綜上可知，①③正確，故選：D考點(diǎn)七：等腰三角形與方程（動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）例7．如圖，在中，，，，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，連接．當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，則t的值為．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同位置形成不同的等腰三角形．根據(jù)條件求出：，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；分別求解即可．【解析】解：由題意得：，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，若，如圖，∵，∴，∴，即，解得：；若，如圖，則在中，，解得：；故答案為：或．【變式7-1】．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在，邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為，，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)______，______（用含t的式子表示），______；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，為等邊三角形？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形？請(qǐng)直接寫出t的值．【答案】(1)，t，20(2)(3)10或16【分析】（1）先利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，再表示，即可；（2）求解，可得時(shí)，為等邊三角形，可得，再解方程即可；（3）當(dāng)為直角三角形，①當(dāng)時(shí)，則，②當(dāng)時(shí)，則，再建立方程求解即可．【解析】（1）解：在中，，，，∴，∵動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在，邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為，，∴，，∴．（2）解：在中，，，．當(dāng)時(shí)，為等邊三角形．∴．∴．當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；（3）解：當(dāng)為直角三角形，①當(dāng)時(shí)，則，∴，即．②當(dāng)時(shí)，則，∴，即，．即當(dāng)或時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題，掌握等邊三角形，直角三角形的基礎(chǔ)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】．如圖：是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，是邊上一動(dòng)點(diǎn)．由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)不重合），點(diǎn)同時(shí)以點(diǎn)相同的速度，由點(diǎn)向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)若設(shè)的長(zhǎng)為，則，．(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段的長(zhǎng)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)線段的長(zhǎng)不發(fā)生變化，【分析】（1）設(shè)的長(zhǎng)為，由等邊三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系表示即可得到答案；（2）易得，由含角的直角三角形的性質(zhì)可得，解答即可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，證得，得到，進(jìn)而求得．【解析】（1）解：∵是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴，由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)不重合），點(diǎn)同時(shí)以點(diǎn)相同的速度，由點(diǎn)向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），設(shè)的長(zhǎng)為，∴，∴，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意可知：，∵是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴，∵，∴，∴是直角三角形，，∴，∴，∴，解得，∴；（3）解：點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)不發(fā)生變化，，理由如下：過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，如圖所示：∵是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)不發(fā)生變化，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂線的性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，合理添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】．如圖，在中，，，，點(diǎn)D為邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)當(dāng)時(shí)，的面積為_(kāi)_____（請(qǐng)直接寫出答案）；(2)當(dāng)______時(shí)，是直角三角形（請(qǐng)直接寫出答案）；(3)求當(dāng)t為何值時(shí)，是等腰三角形？并說(shuō)明理由．【答案】(1)126(2)或(3)或7.5或9秒時(shí)，是等腰三角形，見(jiàn)解析【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)速度×?xí)r間列式計(jì)算即可得解，利用勾股定理列式求出，再根據(jù)代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（）分時(shí)，利用的面積列式計(jì)算即可求出，然后利用勾股定理列式求解得到，再根據(jù)“時(shí)間路程速度”計(jì)算；時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，然后根據(jù)“時(shí)間路程速度”計(jì)算即可得解；（）分時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，從而得到；時(shí)，；時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，再由（）的結(jié)論解答，【解析】（1）解：時(shí)，，∴，，，∴由勾股定理得：，∴，∴；（2）解：時(shí)，，即，解得，∴在中，由勾股定理得：，∴（秒）；時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，∴（秒），綜上所述，或秒；故答案為：或秒；（3）解：時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則，∵，∴，∴，∴（秒）；時(shí)，，∴（秒）；時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則同（2）得：，則，∴，∴（秒），綜上所述，或或秒時(shí)，是等腰三角形．考點(diǎn)八：等腰三角形與平面直角坐標(biāo)系例8．如圖，在等腰中，，若點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的表示方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意證明．先根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出、的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)C作軸交x軸于點(diǎn)D，根據(jù)題意利用證明，求得，，再根據(jù)點(diǎn)C在第二象限寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解析】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D， ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和 ∴ ∴，， ∴， ∵點(diǎn)C在第二象限， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是． 故答案為：．【變式8-1】．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，…都是等邊三角形，其邊長(zhǎng)依次為2，4，6，…其中點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，…，按此規(guī)律排下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律型問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)x軸上方的點(diǎn)A右下角序號(hào)是4的倍數(shù)，確定點(diǎn)在x軸上方，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，……，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求解．能夠通過(guò)所給圖形，找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【解析】觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)x軸上方的點(diǎn)A右下角序號(hào)是4的倍數(shù)，，點(diǎn)在x軸上方，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【變式8-2】．如圖，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)分別為線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)，求出，，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，得出當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即周長(zhǎng)有最小值為的長(zhǎng)，此時(shí)與和軸的交點(diǎn)為、，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，再根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半和勾股定理求解即可．【解析】解：直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得：，，，，，，，如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，則，，，，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即周長(zhǎng)有最小值為的長(zhǎng)，此時(shí)與和軸的交點(diǎn)為、，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，，，在中，，，，，在中，，，，，，在中，，周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱求最短路徑，含30度的直角三角形，勾股定理等知識(shí)，將周長(zhǎng)的最小值轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．【變式8-3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，若直線與軸相交于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位的速度向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)求和的值；(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)是否存在的值，使△為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或或或【分析】（1）在中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即可得出答案；求出點(diǎn)，代入直線即可得出答案；（2）求出，則，；過(guò)作于，分點(diǎn)P在AD上和點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上兩種情況討論，由三角形面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）過(guò)作于，則，，由勾股定理求出；分三種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；分別求出的值即可．【解析】（1）解在中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，；點(diǎn)在直線上，，又點(diǎn)也在直線上，，解得：；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，∵，則，過(guò)作于，如圖1所示：則，∴；當(dāng)點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，則，過(guò)作于，如圖1所示：則，∴；綜上，；（3）解：存在，理由如下：過(guò)作于，如圖1所示：則，，，；當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，如圖2所示：則，，，，或；當(dāng)時(shí)，如圖3所示：設(shè)，則，，，解得：，與重合，，，；綜上所述，存在的值，使為等腰三角形，的值為4或或或8．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形面積、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九：等腰三角形難點(diǎn)分析例9．在等腰中，，D為上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，若，求證：(2)如圖2，若，．求的長(zhǎng)．(3)如圖3，若，，點(diǎn)Q為外一點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2(3)【分析】（1）作，交的延長(zhǎng)線于，證明，得到，即可得證；（2）在上取點(diǎn)，使，作于，同（1）法可得，，得到，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（3）以為邊作等腰三角形，使，，連接，證明，得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得解．【解析】（1）證明：作，交的延長(zhǎng)線于，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∴；（2）在上取點(diǎn)，使，作于，則，同（1）法可得，，∴，設(shè)，∵，∴，，在中，由勾股定理得：，解得：（負(fù)值舍去），∴；（3）解：以為邊作等腰三角形，使，，連接，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴∵∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形，勾股定理．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．【變式9-1】．如圖，在等邊中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：；(2)若等邊的邊長(zhǎng)為6，求的長(zhǎng)；(3)求證：；(4)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，（3）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析(4)（3）中的結(jié)論仍然成立，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形的外角，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)作于，利用等邊三角形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，以及三線合一，進(jìn)行求解即可；（3）過(guò)作交于點(diǎn)，易得是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結(jié)論；（4）過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，證明是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，；（2）如圖，過(guò)作于，，．等邊的邊長(zhǎng)為6，，，，，，．．；（3）證明：如圖2，過(guò)作交于點(diǎn)．，又，是等邊三角形．，，，又，，．由（1）得，，又．．．，；（4）（3）中的結(jié)論仍然成立．證明如下：如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則，，是等邊三角形．，．，，，∴，，∴，．又，，，．．．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三線合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】．如圖，和都是等腰三角形，，，，三點(diǎn)在同一直線上，連接．(1)求證：；(2)寫出線段，，之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若，，①求線段的長(zhǎng)；②求點(diǎn)到的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)①；②【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）作于，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，結(jié)合等腰三角形三線合一性質(zhì)得到，再根據(jù)含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理于是得到，數(shù)形結(jié)合得到；（3）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，，結(jié)合（2）中結(jié)論求出相應(yīng)線段長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理可求的長(zhǎng)，在含等腰三角形中，過(guò)點(diǎn)作，如圖所示，利用含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可求的長(zhǎng)；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，由勾股定理可求的長(zhǎng)，由三角形的面積公式即可求解．【解析】（1）證明：和都是等腰三角形，，，，，在和中，，；（2）解：，理由如下：過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：，，是等腰三角形，，由等腰三角形三線合一可知，，，在中，設(shè)，則，由勾股定理可得，，；（3）解：①，，，，，，由（2）知，，，，，在中，，，則由勾股定理可得，過(guò)點(diǎn)作于M，如圖所示：，，，，在中，，則，由勾股定理可得，；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：，，，，，，，，點(diǎn)到的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式9-3】．在中，，，D點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，，，直接寫出的長(zhǎng)；(2)如圖2，，，，連接交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)至P，使得，連接，①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，點(diǎn)E為定點(diǎn)，，連接，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，當(dāng)取得最小值時(shí)，直接寫出的值（用和表示）．【答案】(1)6(2)①圖見(jiàn)詳解；②，證明見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，計(jì)算，再由含角的直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得的長(zhǎng)；（2）①依題意補(bǔ)全圖形即可；②先證，再證即可得到；（3）看見(jiàn)，考慮構(gòu)造逆等線全等模型，過(guò)點(diǎn)A作，使，先證得到，從而將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)N、D、C三點(diǎn)一線時(shí)，取得最小值，再利用角得和差求解即可．【解析】（1）解：，，∴是等邊三角形，∵D為中點(diǎn)，∴，，，∴，；（2）解：①補(bǔ)全圖形如圖所示．②解：，證明如下：連接，，，∴是等邊三角形，，，，，，，，在和中，，∴，，，，，，∴是等邊三角形，，．，，，，在和中，，∴，，；（3）解：過(guò)點(diǎn)A作，使，連接，∵，，在和中，，∴，，，∴當(dāng)N、D、C三點(diǎn)一線時(shí)，取得最小值，如圖所示，，，，，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，則(

)A．AB=2AC B．AC=2AB C．AB=AC D．AB=3AC【答案】A【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答即可．【解析】如圖所示．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，則AB=2AC．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．“求證：的兩個(gè)銳角，中至少有一個(gè)不大于．”用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，，中至少有一個(gè)不大于的反面是，．【解析】解：求證：的兩個(gè)銳角，中至少有一個(gè)不大于，用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．3．已知直角三角形一個(gè)銳角60°，斜邊長(zhǎng)為2，那么此直角三角形的周長(zhǎng)是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求得30°所對(duì)的直角邊，然后利用勾股定理求得另一條直角邊，即可解答．【解析】解：如圖所示，Rt△ABC中，∠B＝60°，∠C=90°，AB＝2，∴∠A=30°，∴BCAB2＝1，AC，故此三角形的周長(zhǎng)是3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和含30°角的直角三角形，熟悉直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．熟練運(yùn)用勾股定理是關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)度是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．先求出，再根據(jù)點(diǎn)D是的中點(diǎn)，求出，即可得到答案．【解析】解：在中，，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，，故選B．5．如圖，在三角形紙片中，，，將沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則折痕的長(zhǎng)為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】D【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，先由折疊的性質(zhì)求出，然后根據(jù)30度角的所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求解．【解析】解：由折疊的性質(zhì)得，，∵，∴．∵，∴．故選D．6．如下圖左，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸的夾角為，且點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B在x軸上方，設(shè)，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，先求出，過(guò)點(diǎn)B作軸于C，則，進(jìn)而可得，求出，據(jù)此可得答案．【解析】解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作軸于C，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，故選：D．7．將一副直角三角板和一把寬度為的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故選：A．8．如圖，中，，，于點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接EF．若，，則線段的長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．取的中點(diǎn)，連接，證明是等邊三角形，推出，即可求得．【解析】證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖，∵中，，，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，故選：A．9．圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形；若，且，則的長(zhǎng)度為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案．【解析】解：在中，，，，在中，由勾股定理得：，故選：C．10．如圖，是等邊的中線，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，連接，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最大值是2C．的最小值是4 D．的最大值是4【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．如圖：取中點(diǎn)K，連接，證明，得出，當(dāng)時(shí)，最小，故，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可解答．【解析】解：如圖，取中點(diǎn)K，連接，則，∵是等邊的中線，，∴，，∵為邊作等邊三角形，∴，∴，即，，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)時(shí)，最小，∴，，，∴．故選：A．二、填空題11．如圖，AB＝AC＝6，，BD⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則BD＝．【答案】3【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得：利用含的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【解析】解：AB＝AC＝6，，BD⊥AC，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形與含的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握這三個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，，CD是高，若，，則．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是得出和，難度適中．根據(jù)同角的余角相等得出，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得答案．【解析】解：∵，CD是高，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：13．如圖，在等邊中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，那么的長(zhǎng)是．【答案】2【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．由在等邊三角形中，，可求得，則可求得，又由，由三線合一的知識(shí)，得出，即可求得答案．【解析】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，是等邊三角形，∴，∴．故答案為：2．14．如圖，在等邊中，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為．【答案】9【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)．由在等邊三角形中，平分交于點(diǎn)，由三線合一的性質(zhì)，可求得的長(zhǎng)，又由，可求得，則可求得的長(zhǎng)，即可求得答案．【解析】∵是等邊三角形，，，平分交于點(diǎn)，，，，，．故答案為：9．15．如圖，一艘輪船向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在A的北偏東方向，航行50海里到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在B的北偏東方向上．則；輪船到燈塔P的距離海里．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】/45度【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和勾股定理，直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出；過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，則，可得，在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【解析】解：根據(jù)題意得：，，∴；如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，則，∴，∴，∴，∵，海里，∴海里，∴海里，故答案為：；．16．如圖，在中，，，．點(diǎn)D為外一點(diǎn)，滿足，，則的面積是．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，從而可得，在中，利用含的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得，然后利用證明，從而可得，，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，最后利用線段的和差關(guān)系可得，從而利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴．∵，，，∴，∴．∵，，，∴，∴，．∵是的一個(gè)外角，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，先根據(jù)，可得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出可得答案．【解析】∵，，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴∵．∴即在中，，，根據(jù)勾股定理，得．在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴．故答案為：．18．如圖，在中，，，，且，，，，，，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意，由30°直角三角形的性質(zhì)得到，，……，然后找出題目的規(guī)律，得到，即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；同理可得：；……∴；當(dāng)時(shí)，有；故答案為：．三、解答題19．如圖，在中，，，，求的面積．

【答案】的面積為．【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式．作交直線于點(diǎn)，求得，利用直角三角形的性質(zhì)求得，再利用三角形面積公式求解即可．【解析】解：過(guò)點(diǎn)B作交直線于點(diǎn)，∵，∴，則，∵，∴，，∴的面積．20．用反證法求證：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．已知：如圖，∠1是△ABC的一個(gè)外角．求證：∠1＝∠A+∠B．

【答案】見(jiàn)解析【分析】首先假設(shè)三角形的一個(gè)外角不等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，得到矛盾，所以假設(shè)不成立，進(jìn)而證明三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【解析】已知：如圖，∠1是△ABC的一個(gè)外角，求證：∠1＝∠A+∠B，證明：假設(shè)∠