高中數(shù)學(xué)：函數(shù)的極值與最值講義教材

第五節(jié)函數(shù)的極值與最值一、函數(shù)的極值1.定義如果存在的一個去心鄰域,對于該去心鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)都有成立,則稱是函數(shù)的極大值,稱為函數(shù)的極大值點(diǎn).(極小值)(極小值點(diǎn))的極小值點(diǎn):的極大值點(diǎn):定義若,則稱是函數(shù)的駐點(diǎn).注:由定理1得:若是函數(shù)的極值點(diǎn),則或不存在.反之不然.反例:但不是的極值點(diǎn).但不是的極值點(diǎn).3.極值的判別法定理2(第一判別法)設(shè)在的一個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且在處連續(xù).(1)若當(dāng)由小到大經(jīng)過時,的符號由正變負(fù)則是極大值.(2)若當(dāng)由小到大經(jīng)過時,的符號由負(fù)變正則是極小值.(3)若當(dāng)由小到大經(jīng)過時,的符號不改變則不是極值.()+-是極大值()-+是極小值()++不是極值()--不是極值例1求的極值.解(1)定義域:(2)令解得時,不存在(3)討論單調(diào)性-不存在+0-不存在-極小值極大值非極值(4)極小值:極大值:說明如果由的表達(dá)式不易確定它在駐點(diǎn)附近的符號,那么,用極值的第一判別法就不好求極值了.但是,這時若函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零,則可用下面的定理來求極值.定理3(第二判別法)設(shè)在處二階可導(dǎo),且則(1)當(dāng)時,是極大值(2)當(dāng)時,是極小值證(1)按定義由函數(shù)極限的局部保號性得:就有.于是,從而從而(第一判別法)(2)類似可證.例2求函數(shù)的極值.解是周期函數(shù)，只需考慮在區(qū)間上的情況.令解得極大值極小值二、函數(shù)的最大值和最小值在實(shí)際中，經(jīng)常遇到這樣的問題：怎樣使產(chǎn)品的用料最??？成本最低？生產(chǎn)時間最短？怎樣使生產(chǎn)的效益最高？利潤最大？這類問題稱為“最優(yōu)化問題”在數(shù)學(xué)上，這類問題可歸結(jié)為：求某個函數(shù)的最大值或最小值的問題（簡稱最值問題）這里，我們只研究一些較簡單的最值問題。1.設(shè)函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且在內(nèi)只有有限個導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn).求在閉區(qū)間上的最值.求法:(1)記為:(2)(3)例3求函數(shù)在上的最大值和最小值。解記令解得計(jì)算2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn)又是的極值點(diǎn)，則當(dāng)是極大值時，就是區(qū)間上的最大值。當(dāng)是極小值時，就是區(qū)間上的最小值。（）（）3.在實(shí)際問題中,往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)確有最大值(或最小值),而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取到.這時,如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點(diǎn),那么,可以斷定就是最大值(或最小值).(不必討論是否為極值)例4設(shè)有一塊邊長為的正方形鐵皮,從其各角截去同樣的小正方形,作成一個無蓋的方盒,問:截去多少才能使得作成的盒子容積最大?解設(shè)截去的小正方形的邊長為則作成盒子的容積()令解得在內(nèi)可導(dǎo),且只有一個駐點(diǎn)又由實(shí)際問題知:在內(nèi)必有最