概率與數(shù)理統(tǒng)計總復(fù)習(xí)1

第一章小結(jié)一、基本要求

1.理解隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間和隨機(jī)事件的概念,掌握隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算.

2.理解概率的定義,掌握概率的基本性質(zhì),能計算古典概型,能用概率基本性質(zhì)計算隨機(jī)事件的概率.

3.理解條件概率的概念,掌握概率的乘法公式.

4.掌握全概率公式和貝葉斯公式,能計算較復(fù)雜隨機(jī)事件的概率.

5.理解隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念,能應(yīng)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計算.二、隨機(jī)事件的概率計算1.隨機(jī)事件的概率計算公式隨機(jī)事件的概率計算直接計算古典概型間接計算加法公式差事件公式乘法公式對立事件公式全概率公式貝葉斯公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=…P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥)P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A-B)=P(A)-P(B)(A

B)P(AB)=P(A)P(B?A)=P(B)P(A?B)P(AB)=P(A)P(B)(A,B獨(dú)立)為完備事件組2.解決概率問題時,不僅要記住并熟練應(yīng)用公式,更重要的是學(xué)會新的思考方法.(1)解決古典概型時,可按下列步驟進(jìn)行:1)構(gòu)造樣本空間,分析樣本點(diǎn)的特征,利用排列、組合公式求出樣本點(diǎn)總數(shù)n;2)分析所求事件A中所包含的樣本點(diǎn),并計算所有的樣本點(diǎn)總數(shù).(2)解決復(fù)雜事件的概率計算的主要思路:把一個復(fù)雜事件分解成一些簡單事件的和、差、積的形式,然后利用概率的性質(zhì)或事件運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率計算.3.在計算時要充分注意有關(guān)條件,選擇恰當(dāng)?shù)挠嬎愎?例如,在選擇加法公式時應(yīng)注意事件之間是在互不相容關(guān)系;而在作乘法計算時,則應(yīng)注意事件之間的獨(dú)立關(guān)系,不能混淆.周P23(1.24)5.經(jīng)過普查,了解到人群患有某種癌癥的概率為0.5%,某人因患類似病癥前去求醫(yī),醫(yī)生讓他做某項(xiàng)生化試驗(yàn).經(jīng)臨床多次試驗(yàn),患有該病的患者試驗(yàn)陽性率為95%,而非該病患者的試驗(yàn)的陽性率僅為10%.現(xiàn)該人化驗(yàn)結(jié)果呈陽性,問該人患癌癥的概率.解:完備事件：患有癌癥、不患有癌癥設(shè)C=“患有癌癥”,A=“試驗(yàn)為陽性”,則甲乙丙三人同時射擊一個也沒有擊中：P(A0)只有一個人擊中：P(A1)

有二個人擊中：P(A2)

有三個人擊中：P(A3)飛機(jī)墜毀的情形飛機(jī)墜毀（B）

分析

擊中飛機(jī)的所有可能情形

1）根據(jù)分布函數(shù)的定義，將FY(y)用FX(x)表示；2）根據(jù)分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，求出Y的概率密度.分布函數(shù)法

例1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求X的概率分布.解:由F(x)形式知,F(x)在x=-1,1,3處有跳躍,即X在這些點(diǎn)處有大于0的概率.因此,X的概率分布為:

X-113

P0.40.40.2例2.汽車沿街道行駛,需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號顯示的時間相等,以X表示汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個數(shù).求X的概率分布.解:X的所有可能取值為0,1,2,3.用Ai(i=1,2,3)表示事件“汽車在第I個路口首次遇到紅燈”,A1,A2,A3相互獨(dú)立,且X的概率分布為:

X0123

P1/21/41/81/8說明:要正確寫出離散型隨機(jī)變量X的概率分布須注意:(1)正確寫出X的值域;(2)一一算出它們?nèi)≈档母怕?并驗(yàn)證例3.已知隨機(jī)變量X的密度為解:由例4.某人家住市區(qū)西郊,工作單位在東郊,上班有兩條路線可選擇,一條是橫穿市區(qū),路程近,花費(fèi)時間少,但堵塞嚴(yán)重,所需時間服從N(30,100).另一條路線沿環(huán)城公路,路程遠(yuǎn),花費(fèi)時間多,但堵塞較少,所需時間服從N(40,16).問:(1)如果上班前50分鐘出發(fā),應(yīng)選哪一路線?(2)若上班前45分鐘出發(fā),又應(yīng)選哪一路線?解:選擇路線的標(biāo)準(zhǔn)是使準(zhǔn)時上班的概率越大越好.(1)有50分鐘可用,準(zhǔn)時上班的概率分別為:按第一條路線N(30,100)按第二條路線N(40,16)故應(yīng)選第二條路線.(2)只有45分鐘可用,準(zhǔn)時上班的概率分別為:按第一條路線N(30,100)按第二條路線N(40,16)故應(yīng)選第一條路線.

例5.已知一年中某種保險人群的死亡率為0.0005,現(xiàn)該人群有10000個人參加人壽保險,每人交保險費(fèi)5元,若未來一年中死亡,則賠償5000元,試求:(1)未來一年中保險公司從該項(xiàng)保險中至少獲利10000元的概率;(2)未來一年中保險公司從該項(xiàng)保險中虧本的概率.解:作為初步近似,可認(rèn)為參加該項(xiàng)保險的人群中未來一年死亡人數(shù)X~B(10000,0.0005),記事件A=“保險公司至少獲利10000元”,事件B=“保險公司虧本”,則A相當(dāng)于“死亡人數(shù)8”,B相當(dāng)于“死亡人數(shù)>10”.利用泊松分布計算其概率.(查附表二P313)說明:當(dāng)X~B(n,p)時,P(a<Xb)可用泊松分布近似計算,但要注意n一定要很大,p很小,使得np10,否則誤差較大.例6.在電源電壓不超過200伏,在200~240伏和超過240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252),試求:(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時,電源電壓在200~240伏的概率.解:設(shè)A1=“電壓不超過200伏”,A2=“電壓在200~240伏”