福建省南平市建甌東峰中學(xué)2020年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

福建省南平市建甌東峰中學(xué)2020年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，若f（a）=2，則a的取值為（）A．2 B．﹣1或2 C．±1或2 D．1或2參考答案：B【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】利用分段函數(shù)通過x的范圍，分別列出方程求出a即可．【解答】解：，若f（a）=2，當(dāng)a≥0時(shí)，2a﹣2=2，解得a=2．當(dāng)a＜0時(shí)，﹣a2+3=2，解得a=﹣1．綜上a的取值為：﹣1或2．故選：B．2.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A. B. C.[－1,1] D.參考答案：A【分析】由題可得：在R上恒成立，令，轉(zhuǎn)化成在恒成立，利用一元二次不等式在區(qū)間上恒成立列不等式組即可求解．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，令，設(shè)，則在上恒成立，所以且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，還考查了一元二次不等式在區(qū)間上恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力，屬于中檔題．3.設(shè)為全集，是的三個(gè)非空子集，且，則下面論斷正確的是

（

）A

BC

D.參考答案：C由文氏圖可得結(jié)論（C）4.等比數(shù)列{an}中，a1+a2=1，a4+a5=﹣8，則=（）A．﹣8 B．﹣4 C．2 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】可設(shè){an}的公比為q，利用a1+a2=1，a4+a5=﹣8，可求得q，從而可求得a5+a6與a7+a8．【解答】解：設(shè){an}的公比為q，∵a1+a2=1，a4+a5=q3（a1+a2）=﹣8，∴q=﹣2，∴a5+a6=q（a4+a5）=﹣16，a7+a8=q3（a4+a5）=64，∴==﹣4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)是考查學(xué)生對(duì)等比數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用的能力，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，則下述對(duì)應(yīng)法則f中，不能構(gòu)成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2 B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2參考答案：D考點(diǎn)： 映射．專題： 應(yīng)用題．分析： 按照映射的定義，一個(gè)對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射的條件是，A中的每個(gè)元素在集合B中都有唯一的確定的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．判斷題中各個(gè)對(duì)應(yīng)是否滿足映射的定義，從而得到結(jié)論．解答： 解：對(duì)于對(duì)應(yīng)f：x→y=x2，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一個(gè)值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，故A中的對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射．對(duì)于對(duì)應(yīng)f：x→y=3x﹣2，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一個(gè)值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，故B中的對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射．對(duì)于對(duì)應(yīng)f：x→y=﹣x+4，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一個(gè)值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，故B中的對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射．對(duì)于對(duì)應(yīng)f：x→y=4﹣x2，當(dāng)x=2時(shí)，y=0，顯然y=0不在集合B中，不滿足映射的定義，故D中的對(duì)應(yīng)不能構(gòu)成A到B的映射．故選D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查映射的定義，一個(gè)對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射時(shí)，必須使A中的每個(gè)元素在集合B中都有唯一的確定的一個(gè)元素6.如圖，將一張邊長為1的正方形紙ABCD折疊，使得點(diǎn)B始終落在邊AD上，則折起部分面積的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【專題】選作題；推理和證明．【分析】先證明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性質(zhì)得出C'N的長，再表示出求出梯形MNC′B′面積，進(jìn)而求出最小值．【解答】解：如圖，過N作NR⊥AB與R，則RN=BC=1，連BB′，交MN于Q．則由折疊知，△MBQ與△MB′Q關(guān)于直線MN對(duì)稱，即△MBQ≌△MB′Q，有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，∴△MQB∽△B′AB，∴．設(shè)AB′=x，則BB′=，BQ=，代入上式得：BM=B'M=（1+x2）．∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，∴∠MNR=∠ABB′，在Rt△MRN和Rt△B′AB中，∵，∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），∴MR=AB′=x．故C'N=CN=BR=MB﹣MR=（1+x2）﹣x=（x﹣1）2．∴S梯形MNC′B′=[（x﹣1）2+（x2+1）]×1=（x2﹣x+1）=（x﹣）2+，得當(dāng)x=時(shí)，梯形面積最小，其最小值．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、全等三角形的判定和性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)變換，是一道綜合題，有一定的難度，這要求學(xué)生要熟練掌握各部分知識(shí)，才能順利解答這類題目．7.如圖是一個(gè)算法的程序框圖，如果輸入i=0，S=0，那么輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，根據(jù)流程圖所示的順序知：該程序是利用循環(huán)計(jì)算S=+++的值，用裂項(xiàng)法求值即可．【解答】解：模擬程序框圖運(yùn)行過程，如下；當(dāng)i=1時(shí)，S=，滿足循環(huán)條件，此時(shí)i=2；當(dāng)i=2時(shí)，S=+，滿足循環(huán)條件，此時(shí)i=3；當(dāng)i=3時(shí)，S=++，滿足循環(huán)條件，此時(shí)i=4；當(dāng)i=4時(shí)，S=+++，不滿足循環(huán)條件，此時(shí)S═+++=1﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．故選：C．8.今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：6.12u1.54.047.51218.01則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是 ()A．u＝log2t

B．u＝2t－2C． D．u＝2t－2x參考答案：C9.已知函數(shù)（），正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則

A．99

B．

C．

D．參考答案：C10.定義運(yùn)算則函數(shù)的圖象是

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在（的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為

．

參考答案：-40略12.命題“存在，使得”的否定是

；參考答案：13.圓上的點(diǎn)P到直線的距離的最小值是______.參考答案：【分析】求圓心到直線的距離，用距離減去半徑即可最小值.【詳解】圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線的距離為：，所以最小值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值，若圓心距為d，圓的半徑為r且圓與直線相離，則圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為d+r，最小值為d-r.14.已知等比數(shù)列中，若，則=

.參考答案：915.已知在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，若a=1，sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC，則R的值為．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可化sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC為b2+c2﹣a2=bcsinA，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，化為：2（sinA﹣2cosA）=+，再利用基本不等式的性質(zhì)得出sinA，即可求出R．【解答】解：由正弦定理可化sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC為b2+c2﹣a2=bcsinA，再由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，代入上式可得：2（sinA﹣2cosA）=+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)．即2sin（A﹣θ）≥2，其中tanθ=2．即sin（A﹣θ）≥1，又sin（A﹣θ）≤1，∴sin（A﹣θ）=1．∴A﹣θ=+2kπ，即A=θ++2kπ，k∈N*．∴tanA=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==，∴A∈（0，π），sinA=，∵a=1，∴2R==，∴R=．故答案為：．16.在如圖的表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使得每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則的值為________________． 參考答案：略17.．從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）如圖，已知四邊形是正方形，平面，，，,,分別為,,的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn),使平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案：（Ⅰ）證明：因?yàn)?分別為，的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

……………4分（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋云矫?由已知,分別為線段,的中點(diǎn)，所以.則平面.而平面，所以平面平面.

…………………9分（Ⅲ）在線段上存在一點(diǎn)，使平面.證明如下：

在直角三角形中，因?yàn)?,所以.在直角梯形中，因?yàn)椋?所以，所以.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.要使平面，只需使.因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)椋?所以平面，而平面，所以.若，則∽,可得.由已知可求得，，，所以.……14分19.（本題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60o，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．參考答案：（I）證明：取AB中點(diǎn)M，連FM，GM．∵G為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴GM∥AD，且GM=AD，又∵FE∥AD，∴GM∥FE且GM=FE．∴四邊形GMFE為平行四邊形，即EG∥FM．又∵平面ABF，平面ABF，∴EG∥平面ABF．……………4分（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足為N，由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60o，∴△AEF是正三角形．∴∠AEF=60o，由EF//AD知∠EAD=60o，∴EN=AE?sin60o=．∴三棱錐B-AEG的體積為．……8分（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．證明如下：∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE．∵四邊形AFED為梯形，F(xiàn)E∥AD，且，∴．又在△AED中，EA=2，AD=4，，由余弦定理，得ED=．∴EA2+ED2=AD2，∴ED⊥AE．又∵ED∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，又面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．

…………………12分20.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是B1C1、BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）先證AE⊥平面A1BC，再證A1D∥AE即可‘’（2）所求值即為平面A1BD的法向量與平面B1BD的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值的相反數(shù)，計(jì)算即可．【解答】證明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是B1C1、BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如圖，以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B、OA、OA1所在直線分別為x、y、z軸建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），設(shè)平面A1BD的法向量為=（x，y，z），由，可取．設(shè)平面B1BD的法向量為=（x，y，z），由，可?。甤os＜＞=又∵該二面角為鈍角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值為﹣．21.（本小題滿分12分）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，公比，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值.

參考答案：（1）;（2）【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：(1)，，是正項(xiàng)等比數(shù)列，，，..（2），且為遞減數(shù)列當(dāng)當(dāng)取最大值時(shí)，【思路點(diǎn)撥】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

22.在三棱錐S﹣ABC中，三條棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是邊BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線SM與AC所成的角的大小；（2）設(shè)SA與平面ABC所成的角為α，二面角S﹣BC﹣A的大小為β，分別求cosα，cosβ的值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LM：異面直線及其所成的角．【分析】（1）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)SD，MD，說明三角形SDM是等邊三角形，推出異面直線