高中數學第三章直線與方程3.1.1傾斜角與斜率課件新人教A版必修

第三章直線與方程本章概覽一、地位作用解析幾何是幾何學的一個分支,是通過坐標法,運用代數工具研究幾何問題的一門學科,坐標法是在坐標系的基礎上,把幾何問題轉化成代數問題,通過代數運算研究幾何圖形性質的方法.它是解析幾何中最基本的研究方法.通過學習本章內容,學生不斷地體會“數形結合”的思想方法.在通過代數方法研究幾何對象的位置關系以后,還可以畫出其圖形,驗證代數結果;同時,通過觀察幾何圖形得到的數學結論,對結論進行代數證明,即用解析方法解決某些代數問題.二、內容標準直線與方程(1)在平面直角坐標系中,結合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念,經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.(3)能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.(4)根據確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),體會斜截式與一次函數的關系.(5)能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標.(6)探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.三、核心素養(yǎng)通過本章學習學生經歷如下的過程:首先將幾何問題代數化,用代數的語言描述幾何要素及其關系,進而將幾何問題轉化為代數問題;處理代數問題;分析代數結果的幾何含義,最終解決幾何問題.幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法.3.1直線的傾斜角與斜率3.1.1傾斜角與斜率目標導航課標要求1.理解直線的傾斜角與斜率的概念.2.掌握傾斜角與斜率的對應關系.3.掌握過兩點的直線的斜率公式.素養(yǎng)達成通過直線的傾斜角與斜率的概念的學習,鍛煉了學生的數形結合思想的養(yǎng)成,促進數學抽象、數學運算等核心素養(yǎng)的達成.新知探求課堂探究新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成點擊進入情境導學知識探究1.直線的傾斜角(1)直線l的傾斜角的定義當直線l與x軸相交時,我們取x軸作為基準,

正向與直線l

方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.x軸向上(2)傾斜角的范圍當直線l與x軸

時,我們規(guī)定它的傾斜角為0°.因此,直線的傾斜角α的取值范圍為

.探究1:若直線l與x軸垂直,其傾斜角是多少度?答案:90°.平行或重合0°≤α<180°2.斜率的概念及斜率公式定義傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的

叫做這條直線的斜率,記為k,即k=

.過兩點的直線的斜率公式直線經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=

.

正切值tanα探究2:若直線l與x軸平行,其斜率是多少?答案:0.自我檢測1.(直線傾斜角的概念)下列說法正確的是(

)(A)一條直線和x軸的正方向所成的正角,叫做這條直線的傾斜角(B)直線的傾斜角α的取值范圍是銳角或鈍角(C)與x軸平行的直線的傾斜角為180°(D)每一條直線都存在傾斜角,但并非每一條直線都存在斜率D2.(斜率公式的應用)已知點A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一條直線上,則y的值為(

)C3.(由兩點計算斜率)過兩點A(1,

),B(4,2)的直線的傾斜角為(

)(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°A4.(傾斜角與斜率)已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),則直線MN的傾斜角

.

答案:90°5.(斜率公式)若A(2,-3),B(4,3),C(5,)在同一條直線上,則k=

.答案:12題型一直線的傾斜角、斜率的定義【例1】(1)若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為(

)(A)30°(B)60°(C)30°或150°(D)60°或120°課堂探究·素養(yǎng)提升答案:(1)D(2)直線l的傾斜角為α,斜率為k,則當k=

時,α=60°;當k=

時,α=135°;當k>0時,α的范圍是

;當k<0時,α的范圍是

.

方法技巧(1)根據定義求直線的傾斜角的關鍵是根據題意畫出草圖,則直線向上的方向與x軸的正方向所成的角,即為直線的傾斜角.(2)直線的斜率k隨傾斜角α增大時的變化情況:①當0°≤α<90°時,隨α的增大,k在[0,+∞)范圍內增大;②當90°<α<180°時,隨α的增大,k在(-∞,0)范圍內增大.即時訓練1-1:(1)已知一條直線過點(4,-2)與點(1,-2),則這條直線的傾斜角為(

)(A)0° (B)45° (C)60° (D)90°(2)已知直線l過點O(0,0),A(1,1),將l繞點O逆時針方向旋轉75°,得到直線l′,則直線l′的傾斜角為

,斜率為

.

【備用例1】

(1)設直線l過原點,其傾斜角為α,將直線l繞坐標原點沿逆時針方向旋轉45°,得到直線l1,則直線l1的傾斜角為()(A)α+45°(B)α-135°(C)135°-α(D)當0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°,當135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°解析:(1)由傾斜角的取值范圍知只有當45°≤α+45°<180°,即0°≤α<135°時,l1的傾斜角才是α+45°;又0°≤α<180°,所以當135°≤α<180°時,l1的傾斜角為α-135°(如圖所示),故選D.答案:(1)D解析:(2)設直線l2的傾斜角為α,由圖可知,α=15°+75°=90°,所以直線l2的傾斜角為90°.答案:(2)90°(2)設直線l1過原點,其傾斜角α=15°,直線l1與l2的交點為A,且l1與l2向上的方向之間所成的角為75°,則直線l2的傾斜角為

.

題型二斜率公式的應用【例2】已知點M,N的坐標分別是(2,-3),(-3,-2),直線l經過點P(1,1),且與線段MN相交.(1)求直線PM與PN的斜率;(2)求直線l的斜率k的取值范圍.誤區(qū)警示求斜率的范圍不僅是求出邊界的范圍就可以,更要注意數形結合觀察斜率不存在的情況對于斜率范圍的影響.即時訓練2-1:(1)過兩點A(4,y),B(2,-3)的直線的傾斜角為45°,則y等于(

)(2)經過兩點A(2,1),B(1,m2)的直線l的傾斜角為銳角,則m的取值范圍是(

)(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)(C)(-1,1) (D)(1,+∞)∪(-∞,-1)【備用例2】求經過下列每兩個點的直線的斜率,若對應的傾斜角是特殊角,則求出其傾斜角.(1)C(10,8),D(4,-4);題型三直線的斜率的應用【例3】求證:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三點共線.變式探究:若將例3中的條件變?yōu)锳(1,m),B(-2,-7),C(0,-3)三點共線,求m的值,應如何解決?方法技巧若點A,B,C都在某條斜率存在的直線上,那么由任意兩點的坐標都可以確定這條直線的斜率,即kAB=kBC=kAC;若kAB=kBC或kAB=kAC,則直線AB與BC或AB與AC的斜率相同,且又過同一點B或A,因此直線AB與BC或AB與AC重合.即時訓練3-1:下列三點能構成三角形的三個頂點的為(

)(A)(1,3),(5,7),(10,12)(B)(-1,4),(2,1),(-2,5)(C)(0,2),(2,5),(3,7