2024學(xué)年北師大附屬實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試卷附答案解析

學(xué)年北師大附屬實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試卷一、單選題（本大題共10小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A．B．C． D．3．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在此拋物線上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．2 B．3 C．4 D．64．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．內(nèi)含5．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．60 B．15 C． D．6．某學(xué)校4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．7．已知正四棱錐的高為4，棱的長(zhǎng)為2，點(diǎn)為側(cè)棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則面積的取小值為（

）A． B． C． D．8．已知直線，圓，若直線上存在兩點(diǎn)，圓上存在點(diǎn)，使得，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．已知直線的斜率分別為，傾斜角分別為，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)，兩點(diǎn)間距離的最大值稱(chēng)為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為（

）A． B．3 C． D．4二、填空題（本大題共5小題）11．如圖，直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為．12．圓的圓心到直線的距離為1，則的值為13．設(shè)，則.14．雙曲線的漸近線方程為；若與圓交于四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則．15．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的面積的最大值為；②滿(mǎn)足使的面積為2的點(diǎn)有且只有4個(gè)；③點(diǎn)可以是的中點(diǎn)；④線段的最大值為3．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題）16．某小組共有6名學(xué)生，其中女生2名，男生4名．(1)將6名學(xué)生排成一排，且女生不相鄰的排法有多少種？(2)從6名中選出3人參加某公益活動(dòng)．（i）共有多少種不同的選擇方法？（ii）如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？17．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓為的外接圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.18．如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，直線過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率.20．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn).點(diǎn)在上.再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使點(diǎn)M唯一確定，并解答問(wèn)題.條件①：條件②：；條件③：平面.(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)求直線EM與平面所成角的大小，及點(diǎn)E到平面的距離.21．已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在第三象限），是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線分別交直線于點(diǎn)，記，求證：為定值.

參考答案1．【答案】D【分析】由空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的特征可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)需要把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D2．【答案】D【分析】由直線的方向向量的概念，即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線傾斜角.【詳解】由于直線的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：D.3．【答案】B【詳解】根據(jù)焦半徑公式可得，故，故選：B4．【答案】C【分析】由兩圓圓心距與半徑和差的關(guān)系可得.【詳解】圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；則，則，故兩圓外切.故選：C.5．【答案】A【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求常數(shù)項(xiàng)為.故選：A6．【答案】D【詳解】4名學(xué)生分到3個(gè)小區(qū)，每名同學(xué)只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，∴4名同學(xué)不同的分組方法只能為2，1，1，∴不同的安排方法有(種).故選：D.7．【答案】B【詳解】取中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以平面，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，，在直角三角形中，?dāng)時(shí)，最小，為，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大為4，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的面積最小為.故選：B8．【答案】C【分析】由題意將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為圓心在直線上且半徑為的動(dòng)圓與圓有交點(diǎn)，分直線與圓的位置關(guān)系討論，利用圓心到直線的距離即可得解.【詳解】若直線上存在兩點(diǎn)，圓上存在點(diǎn)，使得，且，則條件等價(jià)于圓心（設(shè)為D）在直線上且半徑為的動(dòng)圓與圓有交點(diǎn)，圓的圓心為到直線的距離，當(dāng)圓與直線相離時(shí)，即時(shí)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離為，此時(shí)只需滿(mǎn)足即可，所以；當(dāng)時(shí)，圓與直線有交點(diǎn)，此時(shí)圓和直線上一定分別存在點(diǎn)，使得，符合題意.綜上，.故選：C.9．【答案】A【詳解】由題意可知，故，若，則，由于，故，則，所以，故充分性成立，若，結(jié)合，取滿(mǎn)足，但，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A10．【答案】B【詳解】的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）由于都滿(mǎn)足方程，所以曲線是關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的圖形，所以曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)距離為直徑長(zhǎng)的一半，由于，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得取大值為，所以，直徑為.故選：B11．【答案】【分析】分別令直線方程中y＝0和x＝0，進(jìn)而求得b和c，進(jìn)而根據(jù)b，c和a的關(guān)系求得a，則橢圓的離心率可得．【詳解】解：在l：x﹣y+2＝0上，令y＝0得F1（﹣2，0），令x＝0得B（0，2），即c＝2，b＝2．∴a＝2，e．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)用．12．【答案】【解析】由已知圓的方程求出圓心坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線距離公式，即可求得值．【詳解】解：圓的圓心坐標(biāo)為：，故圓心到直線的距離，解得：，故答案為：．13．【答案】0【詳解】取，得，取，得，所以.故答案為：014．【答案】【詳解】由，故其漸近線方程為；令，由題意可得，即有，解得，故，即.故答案為：；.

15．【答案】①④【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，，所以，所以，又，所以，所以，又平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，所以的軌跡為線段，對(duì)于①，由圖可知，當(dāng)在上時(shí)，此時(shí)三角形面積最大，因?yàn)?，所以面積的最大值為，故①正確；對(duì)于②，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，的面積為2，所以滿(mǎn)足使的面積為2的點(diǎn)有且只有2個(gè)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由圖易知，點(diǎn)不可能在線段上，所以點(diǎn)不可能是的中點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④,由圖易知，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)長(zhǎng)度最大，最大值為，故④正確.故答案為：①④.16．【答案】(1)480(2)20，16【詳解】（1）男生先排有種，女生插空有種，所以共有種不同排法．（2）（i）6名中選出3人共有種方法；（ii）6名中選出3名男生有種方法，所以至少有1位女生入選，共有種不同的選擇方法．17．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的一般方程，帶入已知點(diǎn)，建立方程組，可得答案；（2）由（1）可得圓心與半徑，利用圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合分類(lèi)討論，可得答案.【詳解】（1）設(shè)的外接圓的方程為.均在圓上，解得，所以圓的方程為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知圓心，半徑為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，兩邊同時(shí)平方得，解得或.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足條件.所以直線的方程為或.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由于,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,故，故，因此

（2）由于平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,故，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，故19．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，，，∵，∴，，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，Ax1,y聯(lián)立，消去y得，，則，若四邊形為平行四邊形，則，設(shè)∴，，∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，解得，即，∴當(dāng)四邊形OAPB為平行四邊形時(shí)，直線l的斜率為.20．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；【分析】（1）分別選條件①②③，結(jié)合線面平行位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，即可得證；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）選條件①：由，根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，所以不成立；選條件②：，連接，在正方體中，由平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．選擇條件③：平面，連接，因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．（2）在正方體中，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，，設(shè)平面的