函數(shù)的極值與最大值

函數(shù)的極值與最大值一、函數(shù)的極值及其求法定義1

定義1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x(x≠x0)，恒有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),則稱f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值（或極小值），而x0稱為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).一、函數(shù)的極值及其求法（1）函數(shù)的極值是局部概念，極值不一定是最值.也就是說(shuō)，如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值（或極小值），那只是就x0鄰近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō)，對(duì)函數(shù)f(x)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)就不一定是最大（或最?。┑牧?（2）極值不唯一，極大值不一定比極小值大.如圖3-8所示，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極大值f(x1)和f(x3)，兩個(gè)極小值f(x2)和f(x4)，其中極大值f(x1)比極小值f(x4)還小.注意定理1

必要條件）如果f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么f′(x0)=0.證明不妨設(shè)x0是f(x)的極小值點(diǎn)，由極小值的定義可知，f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義，且對(duì)于x0+Δx∈U(x0)，恒有Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≥0,于是因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，所以f′(x0)=f′-(x0)=f′+(x0),從而f′(x0)=0.一、函數(shù)的極值及其求法根據(jù)定理1，可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).例如，y=x3在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零，但顯然x=0不是y=x3的極值點(diǎn).此外，函數(shù)在它的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能取得極值.例如，函數(shù)f(x)=x在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，但函數(shù)在該點(diǎn)取得極小值.一、函數(shù)的極值及其求法當(dāng)求出函數(shù)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)后，還要從這些點(diǎn)中判斷哪些是極值點(diǎn)，以及進(jìn)一步判斷極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).由函數(shù)極值的定義和函數(shù)單調(diào)性的判定法易知，函數(shù)在其極值點(diǎn)的鄰近兩側(cè)單調(diào)性改變（即函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變），由此可導(dǎo)出關(guān)于函數(shù)極值點(diǎn)判定的一個(gè)充分條件.一、函數(shù)的極值及其求法定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且在x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo).（1）若在點(diǎn)x0的左鄰域內(nèi)，f′(x)>0；在點(diǎn)x0的右鄰域內(nèi)，f′(x)<0，則f(x)在x0處取得極大值f(x0).（2）若在點(diǎn)x0的左鄰域內(nèi)，f′(x)<0；在點(diǎn)x0的右鄰域內(nèi)，f′(x)>0，則f(x)在x0處取得極小值f(x0).（3）若在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)，f′(x0)不變號(hào)，則f(x)在x0處沒(méi)有極值.一、函數(shù)的極值及其求法

（1）由題設(shè)條件，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左鄰域內(nèi)單調(diào)增加，在點(diǎn)x0的右鄰域內(nèi)單調(diào)減少，又f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故在點(diǎn)x0的去心鄰域內(nèi)任取一點(diǎn)x，有f(x)<f(x0).所以f(x)在x0處取得極大值f(x0).同理可證(2),(3).根據(jù)定理1和定理2，若函數(shù)f(x)在所討論的區(qū)間內(nèi)連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)，則可按下列步驟來(lái)求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值:（1）確定函數(shù)f(x)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)f′(x).（2）求出f(x)的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn).（3）討論f′(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左、右兩側(cè)鄰近范圍內(nèi)符號(hào)變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn).（4）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得到函數(shù)f(x)的全部極值證明一、函數(shù)的極值及其求法

求函數(shù)f(x)=(x+2)2(x－1)3的極值.解(1)函數(shù)定義域是(－∞,+∞)，且f′(x)=2(x+2)(x－1)3+3(x+2)2(x－1)2=(x+2)(x－1)2(5x+4).【例1】一、函數(shù)的極值及其求法

求函數(shù)f(x)=2－x5－1的極值.(2)駐點(diǎn)x=0，函數(shù)不存在點(diǎn)x=1.(3)在(－∞,0)內(nèi)，f′(x)>0，在(0,1)內(nèi)，f′(x)>0，故x=0不是極值點(diǎn)；在(1,+∞)內(nèi)，f′(x)<0，所以x=1是極大值點(diǎn).(4)極大值是f(1)=2.對(duì)于函數(shù)fx,如果知道f′(x0)=0而f″(x0)≠0,則可借助f″(x0)的符號(hào)來(lái)判斷f(x0)是否為函數(shù)的極值.這就是下面給出的函數(shù)極值存在的另一判別法.【例2】一、函數(shù)的極值及其求法定理3

（第二充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù),且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,則

(1)當(dāng)f″(x0)<0時(shí),函數(shù)fx在點(diǎn)x0處取得極大值.

(2)當(dāng)f″(x0)>0時(shí),函數(shù)fx在點(diǎn)x0處取得極小值.

證明對(duì)情形（1），由于f″(x0)<0，按二階導(dǎo)數(shù)的定義一、函數(shù)的極值及其求法

根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性，當(dāng)x在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí)，有即f′(x)－f′(x0)與x－x0異號(hào)，故當(dāng)x<x0時(shí)，有f′(x)>f′(x0)=0,當(dāng)x>x0時(shí)，有f′(x)<f′(x0)=0,所以由定理2知，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值.同理可證(2).一、函數(shù)的極值及其求法

求函數(shù)f(x)=x3－3x的極值.

解

f′(x)=3x2－3,f″(x)=6x.令f′(x)=0,求得駐點(diǎn)x1=－1,x2=1.因f″(1)=6>0,故極小值是f(1)=－2.由于f″(－1)=－6<0,故極大值是f(－1)=2.如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零，則定理3失效，這種情況必須使用定理2判斷.【例3】一、函數(shù)的極值及其求法

求函數(shù)f(x)=(x2－1)3+1的極值.解函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,+∞).由f′(x)=6x(x2－1)2，得函數(shù)的駐點(diǎn)為x1=－1,x2=0,x3=1.由f″(x)=6(x2－1)(5x2－1)，得f″(0)=6>0，由定理3知，x=0為函數(shù)的極小值點(diǎn)，但f″(－1)=f″(1)=0，定理3對(duì)x=±1失效，因此改用定理2.因?yàn)閒′(x)在區(qū)間（－∞,－1）,(－1,0)內(nèi)同號(hào)（均為負(fù)），在區(qū)間（0,1）,(1,+∞)內(nèi)也同號(hào)（均為正），所以x=±1均不是函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)只有極小值f(0)=0.【例4】一、函數(shù)的極值及其求法二、函數(shù)的最值及其求法假定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上必取得最大值和最小值.函數(shù)的最大(?。┲蹬c函數(shù)的極大(?。┲凳怯袇^(qū)別的，前者是指在整個(gè)閉區(qū)間［a,b］上的所有函數(shù)值中最大(小)的，因而最大(小)值是全局性的概念.但是，如果函數(shù)的最大(小)值在(a,b)內(nèi)達(dá)到，則最大(小)值同時(shí)也是極大(小)值.此外，函數(shù)的最大(小)值也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處達(dá)到.綜上所述，求函數(shù)在［a,b］的最大(小)值的步驟如下：（1）求出函數(shù)在a,b內(nèi)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).（2）求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)的函數(shù)值.（3）比較上述函數(shù)值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值.二、函數(shù)的最值及其求法

求函數(shù)f(x)=(x－3)13(x－6)23在區(qū)間0,6上的最大值和最小值.解由于故函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6內(nèi)有導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)x1=3,x2=6.令f′(x)=0，得駐點(diǎn)x3=4.【例5】二、函數(shù)的最值及其求法特殊地，如果函數(shù)f(x)在一個(gè)區(qū)間（有限或無(wú)限，開(kāi)或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0，并且這個(gè)駐點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，那么當(dāng)f(x0)是極大（?。┲禃r(shí)，f(x0)也是f(x)在該區(qū)間上的最大（小）值.二、函數(shù)的最值及其求法

在拋物線y=x2上求一點(diǎn),使拋物線在該點(diǎn)處的切線與直線y=0,x=8圍成的三角形面積最大.解設(shè)切點(diǎn)為x0,y0,拋物線y=x2過(guò)點(diǎn)x0,y0的切線的方程是y－y0=2x0(x－x0).【例6】二、函數(shù)的最值及其求法

二、函數(shù)的最值及其求法還要指出，在實(shí)際問(wèn)題中，往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可斷定可導(dǎo)函數(shù)f(x)確有最大值或最小值，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得.此時(shí),如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)x0,那么不必討論f(x0)是否為極值,就可斷定f(x0)一定是所求的最大值或最小值．二、函數(shù)的最值及其求法

工廠C到鐵路的距離CA為40km，它需要從距離A站200km的B站運(yùn)來(lái)原料.現(xiàn)要在鐵路上某處D修一條公路與工廠C連接.已知鐵路每千米運(yùn)費(fèi)與公路每千米運(yùn)費(fèi)之比為3∶5.為了使原料從B站運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處(見(jiàn)圖3-9)?【例7】二、函數(shù)的最值及其求法解設(shè)D點(diǎn)選在距離A站xkm處.鐵路每千米運(yùn)費(fèi)是3k，公路每千米運(yùn)費(fèi)是5k，于是從B經(jīng)D轉(zhuǎn)到C的總運(yùn)費(fèi)是依題意,問(wèn)題歸結(jié)為求此函數(shù)在0,200上的最小值.為此，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得令f′(x)=0，解得x=30.由于x=30是函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且總運(yùn)費(fèi)必存在最小值，從而x=30就是函數(shù)f(x)的最小值點(diǎn)，即當(dāng)D選在距A站30km處時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省.二、函數(shù)的最值及其求法三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用最優(yōu)問(wèn)題1.

經(jīng)濟(jì)管理中的諸如最低成本、最大利潤(rùn)、最高收益、最小費(fèi)用等問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.在實(shí)際問(wèn)題中，若根據(jù)實(shí)際意義分析知，函數(shù)f(x)確實(shí)存在最大值或最小值，而且在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)x0，則f(x0)就是所求的最大值或最小值.

設(shè)某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的總成本為C(q)=10000+50q+q2（元），問(wèn)產(chǎn)量為多少件時(shí)，每件產(chǎn)品的平均成本最低？

解

平均成本函數(shù)為于是有唯一的駐點(diǎn)q=100，而問(wèn)題存在最小值，所以產(chǎn)量為100件時(shí)，每件產(chǎn)品的平均成本最低.【例8】三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

某廠每批生產(chǎn)q臺(tái)某商品的成本為C(q)=5q+200（萬(wàn)元），得到的收益為R(q)=10q－0.01q2（萬(wàn)元），問(wèn)每批生產(chǎn)多少臺(tái)該商品才能使利潤(rùn)最大？

解

利潤(rùn)函數(shù)L(q)=R(q)－C(q)=5q－0.01q2－200(q>0),因?yàn)長(zhǎng)′(q)=5－0.02q，令L′(q)=0，得唯一駐點(diǎn)q=250，而問(wèn)題存在最大值，所以只要每批生產(chǎn)250臺(tái)該商品，就可以獲得最大利潤(rùn).【例9】三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道是橢圓，太陽(yáng)在此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，求地球的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)．解如圖3-10建立坐標(biāo)系，則地球軌道的方程為焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(－c,0)，其中c2=a2－b2，按距離公式，有【例10】三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

對(duì)于一般二次函數(shù)，上面結(jié)論是正確的，但對(duì)于本題，，唯一駐點(diǎn)超出了軌道所在范圍［－a,a］，又可見(jiàn)遠(yuǎn)日點(diǎn)也是存在的，故上述結(jié)論是不對(duì)的.究其原因，在于本題根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，該二次函數(shù)在［－a,a］內(nèi)沒(méi)有駐點(diǎn)，故其最值點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間端點(diǎn)處取得：f(－a)=(a－c)2<(a+c)2=f(a)，

即由圖3-10可見(jiàn)，近日點(diǎn)是B點(diǎn)，此時(shí)BF1=a－c；遠(yuǎn)日點(diǎn)是A點(diǎn)，此時(shí)AF1=a+c．三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)自變量，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，并注意自變量的實(shí)際意義和取值范圍．注意三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用邊際分析2.在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)使用變化率的概念，變化率分為平均變化率和瞬時(shí)變化率.平均變化率就是函數(shù)改變量與自變量改變量之比；瞬時(shí)變化率（簡(jiǎn)稱變化率）就是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)自變量改變量趨于零時(shí)平均變化率的極限.邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要概念，通常指經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率（即導(dǎo)數(shù)），它近似地表示：自變量增加一個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化.邊際的概念就是導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義.三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用1）邊際成本設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)C=C(q)（q為產(chǎn)量）可導(dǎo)，如果產(chǎn)量由q0增至q0+Δq，則比值就是產(chǎn)量由q0增至q0+Δq這一生產(chǎn)過(guò)程中總成本的平均變化率.令Δq→0，那么極限就是產(chǎn)量為q0個(gè)單位時(shí)總成本的變化率，稱為產(chǎn)量為q0時(shí)的邊際成本.三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用對(duì)任意產(chǎn)量q，若總成本函數(shù)C(q)可導(dǎo)，則對(duì)產(chǎn)量q的導(dǎo)數(shù)C′(q)稱為邊際成本函數(shù)，記為MC，即其經(jīng)濟(jì)意義為：在產(chǎn)量為q的基礎(chǔ)上，再增加生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品（Δq=1）所增加的總成本.這是因?yàn)棣(q)=C(q+1)－C(q)≈C′(q).三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品q噸的總成本為（元），試求：

（1）產(chǎn)量從100噸增加到225噸時(shí)，總成本的平均變化率；

（2）產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.

解（1）產(chǎn)量從100噸增加到225噸時(shí)，總成本的平均變化率為【例11】三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

（2）邊際成本函數(shù)為，因此，產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本為它表示當(dāng)產(chǎn)量為100噸時(shí)，再多生產(chǎn)1噸產(chǎn)品，總成本將增加9.5元.三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用2）邊際收益類似地，設(shè)收益函數(shù)為R(q)（q為銷售量），于是，當(dāng)R(q)可導(dǎo)時(shí)，邊際收益函數(shù)（記為MR）為其經(jīng)濟(jì)意義為：在銷售量為q的基礎(chǔ)上，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的收益.三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

設(shè)產(chǎn)品的需求函數(shù)為q=100－5p（q為需求量，p為價(jià)格），求邊際收益函數(shù)及需求量為50時(shí)的邊際收益，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義.

解

根據(jù)q=100－5p，得

,所以收益函數(shù)為

其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷售量為50個(gè)單位時(shí)，多銷售1個(gè)單位增加的收益為0.【例12】三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用3）邊際利潤(rùn)設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)（q為產(chǎn)量），于是，當(dāng)L(q)可導(dǎo)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)L′(q)稱為邊際利潤(rùn)函數(shù)，記為ML，即其經(jīng)濟(jì)意義為：在產(chǎn)量為q的基礎(chǔ)上，再增加生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤(rùn).由于L(q)=R(q)－C(q)，兩邊求導(dǎo)，得L′(q)=R′(q)－C′(q)，即邊際利潤(rùn)等于邊際收益與邊際成本之差.三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品的固定成本為2000元，每增產(chǎn)1噸產(chǎn)品成本增加50元，設(shè)該產(chǎn)品的市場(chǎng)需求函數(shù)為q=1100－10p（q為需求量，p為價(jià)格），產(chǎn)銷平衡，試求產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際利潤(rùn)，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.【例13】三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用彈性分析3.前面所討論的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率是絕對(duì)改變量與絕對(duì)變化率.在一些經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中，有時(shí)僅知道函數(shù)y=f(x)的改變量Δy及絕對(duì)改變率f′(x)是不夠的.例如，設(shè)有甲、乙兩種商品，其單價(jià)分別為10元和100元.同時(shí)提價(jià)1元，顯然改變量相同，但提價(jià)的百分?jǐn)?shù)大不相同，分別為10%和1%.前者是后者的10倍，因此有必要研究函數(shù)的相對(duì)改變量以及相對(duì)變化率，這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為彈性.三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用1）彈性的概念定義2

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)增量與自變量的相對(duì)增量之比稱為函數(shù)f(x)從x0到x0+Δx的相對(duì)變化率.當(dāng)Δx→0時(shí)，若的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的彈性，記為對(duì)一般的函數(shù)y=f(x)，若f(x)可導(dǎo)，則有稱為y=f(x)的彈性函數(shù).三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

函數(shù)y=f(x)的彈性反映了隨x的變化f(x)變化幅度的大小，也就是f(x)對(duì)x變化反映的強(qiáng)烈程度或靈敏度.表示在點(diǎn)x=x0處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時(shí)，f(x)近似地改變彈性研究的是相對(duì)變化率.因此，彈性沒(méi)有單位.注意三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

已知函數(shù)y=50e4x，求.解因?yàn)樗?4×3=12,表明在點(diǎn)x=3處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時(shí)，函數(shù)y會(huì)變化12%.【例14】三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用2）需求彈性經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用到的需求彈性，是指需求對(duì)價(jià)格的彈性.

設(shè)商品的市場(chǎng)需求量為Q，價(jià)格為p，需求函數(shù)Q=Q(p)可導(dǎo)，則需求函數(shù)的彈性為，稱為該商品的需求價(jià)格彈性，簡(jiǎn)稱需求彈性.

因?yàn)樾枨蠛瘮?shù)是價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù)，一般為負(fù)值，所以需