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搶分練12025121.(17分)(2024·江蘇蘇州三模)已知函數(shù)f(x)=cosx,g(x)=a(2-x2).(1)當(dāng)a=1時,求F(x)=f(x)-g(x)的零點個數(shù);(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的最大值;12(1)解
當(dāng)a=1時,g(x)=2-x2,則F(x)=f(x)-g(x)=cos
x-2+x2,所以F'(x)=-sin
x+2x.令h(x)=-sin
x+2x,則h'(x)=-cos
x+2>0,所以h(x)=-sin
x+2x在R上單調(diào)遞增,即F'(x)=-sin
x+2x在R上單調(diào)遞增,且F'(0)=0+0=0.當(dāng)x>0時,F'(x)>0,所以F(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)x<0時,F'(x)<0,所以F(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減.又F(0)=-1,F(2)=F(-2)=cos
2+2>0,則存在x1∈(-2,0),x2∈(0,2),使得F(x1)=0,F(x2)=0,所以F(x)有兩個零點.12所以H'(x)=-sin
x+x.令φ(x)=-sin
x+x,可得φ'(x)=-cos
x+1≥0,所以φ(x)=-sin
x+x在R上單調(diào)遞增.當(dāng)x=0時,φ(0)=sin
0+0=0.當(dāng)x>0時,φ(x)=-sin
x+x>sin
0+0=0.當(dāng)x<0時,φ(x)=-sin
x+x<sin
0+0=0,所以H(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,在x=0處取到極小值,所以H(x)≥H(0)=所以f(x)≥g(x)恒成立,所以實數(shù)a的最大值是12122.(17分)(2024福建漳州三模)某汽車廠商生產(chǎn)某型號具有自動駕駛功能的汽車,該型號汽車配備兩個相互獨立的自動駕駛系統(tǒng)(記為系統(tǒng)A和系統(tǒng)B),該型號汽車啟動自動駕駛功能后,先啟動這兩個自動駕駛系統(tǒng)中的一個,若一個系統(tǒng)出現(xiàn)故障,則自動切換到另一個.為了確定先啟動哪一個系統(tǒng),進行如下試驗:每一輪對系統(tǒng)A和系統(tǒng)B分別進行測試,得出一輪的測試結(jié)果后,再安排下一輪試驗.當(dāng)一個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個系統(tǒng)少2次時,就停止試驗,并認(rèn)為出現(xiàn)故障少的系統(tǒng)比另一個系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問題,約定:對于每一輪試驗,若系統(tǒng)A不出現(xiàn)故障且系統(tǒng)B出現(xiàn)故障,則系統(tǒng)A得1分,系統(tǒng)B得-1分;若系統(tǒng)A出現(xiàn)故障且系統(tǒng)B不出現(xiàn)故障,則系統(tǒng)A得-1分,系統(tǒng)B得1分;若兩個系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障,則兩個系統(tǒng)均得0分.設(shè)系統(tǒng)A、系統(tǒng)B出現(xiàn)故障的概率分別記為α,β,一輪試驗中系統(tǒng)A的得分為X.12(1)求X的分布列;(2)若系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在試驗開始時都賦予2分,pi(i=0,1,2,3,4)表示“系統(tǒng)A的累計得分為i時,最終認(rèn)為系統(tǒng)A比系統(tǒng)B更穩(wěn)定”的概率,則p0=0,p4=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,3),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).現(xiàn)根據(jù)p2的值來決定該型號汽車啟動自動駕駛功能后先啟動哪個系統(tǒng),若p2≤0.1,則先啟動系統(tǒng)B;若p2≥0.9,則先啟動系統(tǒng)A;若0.1<p2<0.9,則隨機啟動兩個系統(tǒng)中的一個,且先啟動系統(tǒng)A的概率為p2.(ⅱ)若α=0.001,β=0.002,由(ⅰ)可求得p2≈0.8,求該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自動切換到另一個自動駕駛系統(tǒng)的概率.12(1)解
X的可能取值為-1,0,1.P(X=-1)=α(1-β),P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)=1-α-β+2αβ,P(X=1)=(1-α)β,所以X的分布列為X-101Pα(1-β)1-α-β+2αβ(1-α)β12(2)(ⅰ)證明
由題意,得pi=α(1-β)pi-1+[1-α(1-β)-(1-α)β]pi+(1-α)βpi+1,所以[α(1-β)+(1-α)β]pi=α(1-β)pi-1+(1-α)βpi+1,1212
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