2025高考數學二輪復習-專題1 函數與導數 第2講 基本初等函數、函數的應用【課件】

第2講基本初等函數、函數的應用2025基礎回扣?考教銜接以題梳點?核心突破目錄索引

基礎回扣?考教銜接1.(人A必一4.3節(jié)習題)若xlog34=1,則4x+4-x=

.若f(x)=3x,則f(log32)=

.

22.(人A必一4.5節(jié)習題改編)函數f(x)=24ax2+4x-1在區(qū)間(-1,1)內恰有一個零點,則實數a的取值范圍是

.

解析

函數f(x)=24ax2+4x-1在區(qū)間(-1,1)內恰有一個零點,即該函數圖象在(-1,1)內與x軸只有一個公共點,包括函數為一次函數(a=0)和二次函數(a≠0)兩種情況.(1)當a=0時,由f(x)=4x-1=0,得x=∈(-1,1),故a=0滿足題意.(2)當a≠0時,包括函數f(x)的圖象在x軸兩側和在x軸同側兩種情況:①當函數f(x)的圖象在x軸兩側時,則由f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0,解得3.(人A必一第四章習題改編)已知函數

若f(x)=k有3個實數解,則實數k的取值范圍是

.

(-4,3]解析

f(x)的圖象如圖所示,由圖可知,k的取值范圍是(-4,3].4.(人A必一第四章習題改編)某工廠產生的廢氣經過濾后排放,過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位:mg/L)與時間t(單位:h)間的關系為P=P0e-kt,其中P0,k是正的常數.如果在前5h消除了10%的污染物,那么10h后所剩污染物與原有污染物P0的比值為

.

0.81解析

當t=5時,P=P0e-5k=0.9P0,所以e-5k=0.9,當t=10時,P=P0e-10k,所以

=e-10k=(e-5k)2=0.81.真題體驗642.(2020·全國Ⅲ,文4)Logistic模型是常用數學模型之一,可應用于流行病學領域.有學者根據公布數據建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K為最大確診病例數.當I(t*)=0.95K時,標志著已初步遏制疫情,則t*約為(ln19≈3)(

)A.60 B.63 C.66 D.69CA.1 B.2 C.3 D.4C4.(2024·新高考Ⅱ,6)設函數f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax(a為常數),當x∈(-1,1)時,曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個交點,則a=(

)A.-1 B. C.1 D.2D(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos

x.又x∈(-1,1),h(x)為偶函數,唯一零點只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故選D.以題梳點?核心突破考點一基本初等函數的圖象與性質例1(1)(2024·天津,5)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,則a,b,c的大小關系為(

)A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>aB解析

∵函數y=4.2x在R上單調遞增,且-0.3<0<0.3,∴0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b.∵函數y=log4.2x在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,且0<0.2<1,∴l(xiāng)og4.20.2<log4.21=0,即c<0.∴b>a>c.故選B.(2)(2024·湖北武漢二模)已知函數f(x)=log2(4x+2x+1+1)-x,若f(2a-1)<f(a+3),則實數a的取值范圍為

.

A.-1 B.lg7 C.1

D.log710C解析∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,ABCDB(3)(2024·廣東佛山二模)已知0<a<1且a≠,若函數f(x)=2logax-log2ax在(0,+∞)上單調遞減,則實數a的取值范圍為(

)D考點二函數的零點考向1求零點所在區(qū)間例2(2024·廣東梅州二模)三個函數f(x)=x3+x-3,g(x)=lnx+x-3,h(x)=ex+x-3的零點分別為a,b,c,則a,b,c之間的大小關系為(

)A.a<b<c B.c<a<bC.a<c<b D.b<c<aB解析

f(x)=x3+x-3,g(x)=ln

x+x-3,h(x)=ex+x-3均為增函數,因為f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以函數f(x)的零點在(1,2)內,即a∈(1,2).因為g(2)=ln

2-1<0,g(3)=ln

3>0,所以函數g(x)的零點在(2,3)內,即b∈(2,3),因為h(0)=-2<0,h(1)=e-2>0,所以函數h(x)的零點在(0,1)內,即c∈(0,1).綜上,c<a<b.故選B.考向2求函數零點的個數7解析

令y=0,則f(f(x))=-1,設f(x)=t,則f(f(x))=-1等價于f(t)=-1,則函數y=f(f(x))+1的零點個數問題即為f(f(x))=-1解的個數問題.二次函數y=x2+4x+1,其圖象開口向上,過點(0,1),對稱軸為直線x=-2,最小值為-3,[對點訓練2](1)(2024·山東濰坊二模)已知函數

則f(x)圖象上關于原點對稱的點有(

)A.1對 B.2對 C.3對 D.4對C(2)(2024·貴州貴陽模擬)設方程3x·|log3x|=1的兩根分別為x1,x2(x1<x2),則(

)A.0<x1<1,x2>3 B.x1>C.0<x1x2<1 D.x1+x2>4C(3)已知函數

若方程2[f(x)]2-(a+2)·f(x)+a=0有7個不同的實數根,則實數a的取值范圍是

.

(0,2)解析

作出函數f(x)的圖象,如圖所示.考點三函數模型及其應用例4(多選題)(2023·新高考Ⅰ,10)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級Lp=20×lg,其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則(

)A.p1≥p2

B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2ACD知識提煉幾種常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)反比例型函數f(x)=+b(k,b為常數,k≠0)二次函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)指數型函數f(x)=bax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)對數型函數f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)冪型函數f(x)=axn+b(a,b,n為常數,a≠0)[對點訓練3](2024·四川德陽三模)如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展,極大地促進了社會經濟發(fā)展和資源整合.已知某