2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高一上冊期末數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，那么集合（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B．C． D．3．為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，某環(huán)保部門對轄區(qū)內(nèi)一工廠產(chǎn)生的廢氣進(jìn)行了監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)該廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為．如果在前5個小時消除了的污染物，那么污染物減少總共需要花的時間為（

）A．8小時 B．9小時 C．10小時 D．11小時4．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)y得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)，在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取范圍是（

）A． B． C． D．7．平面直角坐標(biāo)系xOy中，點在單位圓O上，設(shè)，若，且，則的值為A． B． C． D．8．函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．可是奇函數(shù)二、多選題（本大題共4小題）9．已知函數(shù)則下列選項中正確的是（

）A．的最小正周期是B．在上單調(diào)遞減C．滿足D．的圖象可以由的圖象向右平移個單位得到10．下列說法正確的有（

）A．函數(shù)關(guān)于點對稱B．函數(shù)的圖象過定點C．方程在區(qū)間上有且只有1個實數(shù)解D．若，則的最小值為11．已知函數(shù)，且，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．在上單調(diào)遞減C． D．12．已知正數(shù)x，y，z滿足，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共4小題）13．.14．已知函數(shù)，，則．15．若，則.16．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則關(guān)于x的不等式的解集為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知．(1)求的值；(2)求的值．18．設(shè)函數(shù)．(1)若對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程在有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．19．設(shè)函數(shù)．(1)在給定的平面直角坐標(biāo)系中，用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖（請先列表，再描點連線）；(2)若，求的值．20．為了預(yù)防甲型流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．己知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示．據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)藥物釋放完畢后，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學(xué)生才能回到教室？21．函數(shù)（且）是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求a的值，并判斷的單調(diào)性，并證明；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．22．已知函數(shù)．(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若關(guān)于x的方程有三個實根．（i）求；（ii）求的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】求出集合，利用并集運算即可.【詳解】因為，所以，解得，由，所以.故選：B.2．【正確答案】C【分析】分子分母同除以，再代入求值即可.【詳解】根據(jù)題意得：故選：C.3．【正確答案】C【分析】根據(jù)前5個小時消除了的污染物，由，求得k，再設(shè)污染物減少所用的時間為t，由求解.【詳解】因為在前5個小時消除了的污染物，所以，解得，所以，設(shè)污染物減少所用的時間為t，所以，所以，解得.故選：C.4．【正確答案】C【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得出結(jié)論.【詳解】把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，可得到函數(shù)的圖象，再把所得圖象向右平移個單位長度，可得到.故選：C.5．【正確答案】A【分析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因為，所以.故選：A.6．【正確答案】B【分析】要求分段函數(shù)的兩段均遞增，且左側(cè)函數(shù)值不大于右側(cè)函數(shù)值．【詳解】由題意，得，故選：B7．【正確答案】C【分析】利用兩角和差的余弦公式以及三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】，，，，則，故選C．本題主要考查兩角和差的三角公式的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．8．【正確答案】D【分析】由題意可得關(guān)于和對稱，即可得到，即可判斷.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，因為是奇函數(shù)，所以，即關(guān)于和對稱，所以，，得，得，令，，，，滿足條件，而，，滿足條件，但是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故AB都錯；且，故C錯；因為，所以，即，所以可是奇函數(shù).故D對故選：D9．【正確答案】AB【分析】結(jié)合余弦函數(shù)的圖象變換、周期、對稱性以及單調(diào)性一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】由周期公式得，故A對；因為在單調(diào)遞減，所以令，得，取時，，而是的子集，故B對；，，故，故C錯；由的圖象向右平移個單位得到，故D錯故選：AB10．【正確答案】ACD【分析】對于A選項：分離常數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)即可判斷；對于B選項：由對數(shù)型函數(shù)的定點知識即可判斷；對于C選項：結(jié)合零點存在定理即可判斷；對于D選項：利用基本不等式計算即可.【詳解】對于A選項：，該函數(shù)可由反比例函數(shù)先向左平移1個單位，再向上平移1個單位，故的圖象關(guān)于對稱，故選項A正確；對于B選項：由，令，即，則，故函數(shù)的圖象過定點，故選項B錯誤；對于C選項：由，得，令，易知在上單調(diào)遞增且圖象連續(xù)不斷，因為，，所以，所以方程在區(qū)間上有且只有1個實數(shù)解，故選項C正確；對于D選項：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，有最小值為.故選項D正確；故選：ACD.11．【正確答案】ABC【分析】根據(jù)對稱性判斷A選項，令，所以，根據(jù)單調(diào)性即可判斷單調(diào)性即B選項，根據(jù)單調(diào)性即可判斷C和D選項.【詳解】因為，所以，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A選項正確；令，所以，如圖，對勾函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B選項正確；因為，所以，，所以，故C選項正確，D選項錯誤.故選：ABC.12．【正確答案】ACD【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為對數(shù)的形式，利用對數(shù)運算、商比較法、基本不等式等指數(shù)對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】正數(shù)x，y，z滿足，設(shè)，則，，．對于A，，故A正確；對于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B錯誤；對于C，由（），兩邊平方，可得，故C正確；對于D，由，可得（），故D正確．故選：ACD13．【正確答案】【分析】利用二倍角余弦公式直接化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值可得答案.【詳解】故本題考查二倍角余弦公式，是基礎(chǔ)題14．【正確答案】【分析】發(fā)現(xiàn)，計算可得結(jié)果.【詳解】因為，，且，則.故答案為-2本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)解析式，計算發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵，屬于中檔題.15．【正確答案】根據(jù)兩角和差的正弦、余弦公式化簡為，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.【詳解】,,即，故本題主要考查了兩角和差的正余弦公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，屬于中檔題.16．【正確答案】【分析】求出分段函數(shù)的解析式，對分類討論并構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可算出.【詳解】結(jié)合題意：若，則，所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，當(dāng)時，，而，此時不滿足；當(dāng)時，，而，此時不滿足；當(dāng)時，要使，只需，即，令，則在上單調(diào)遞增，且,而，解得.即的解集為.故答案為.17．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，借助平方差，平方和公式計算即可;（2）由（1）問，將的分母展開代入即可.【詳解】（1），解得：，，解得：，，，，．（2）由（1）知，，,.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得，轉(zhuǎn)化為任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值和最小值，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有實數(shù)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值與最小值，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，令，可得，因為對一切實數(shù)恒成立，即對任意的，恒成立，又由函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍.（2）解：由，令，要使得方程關(guān)于x的方程在有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，令，由，可當(dāng)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.19．【正確答案】(1)圖象見解析；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡求出，利用“五點”作圖法列表作圖即可；（2）通過得到，并借助誘導(dǎo)公式化簡計算即可.【詳解】（1）結(jié)合題意可得：，列表如下：1001區(qū)間內(nèi)的圖象如圖所示：（2）由（1）問可得：，，即，，即.20．【正確答案】(1);(2).【分析】（1）確定函數(shù)模型，利用待定系數(shù)法求解即可;（2）要使空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下，只需,計算即可.【詳解】（1）結(jié)合圖象，當(dāng)時，由藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比，故可設(shè)直線為，因為在在上，所以，解得，所以當(dāng)時，此時的函數(shù)關(guān)系為；當(dāng)時，y與t的函數(shù)關(guān)系式為，由圖可知經(jīng)過，所以，解得，所以當(dāng)時，y與t的函數(shù)關(guān)系式為.所以從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為.（2）藥物釋放完畢后，要使空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下，只需，解得.所以從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過小時,學(xué)生才能回到教室.21．【正確答案】(1)，單調(diào)遞增，證明見詳解；(2)【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值，再利用函數(shù)奇偶性的定義驗證即可，判斷出函數(shù)在R上為增函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，得，問題轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值得解.【詳解】（1）由題意，得，解得，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，合題意，故.函數(shù)為R上的增函數(shù).證明如下：任取，且，則，，，即，，，所以，即，所以函數(shù)為R上的增函數(shù).（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，，存在，使得成立，即，令，易知在上單調(diào)遞增，所以.即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，所以實數(shù)的取值范圍為.思路點睛：第二問，由在上單調(diào)遞增，得，將原問題轉(zhuǎn)化為，只需即可，換元令，在上單調(diào)遞增，求出最大值可得的取值范圍.22．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，結(jié)合不等式的解法，即可求解；（2）（i）由（1）得到，轉(zhuǎn)化為有三個實根，分別求得，；（