2024-2025學(xué)年山東省威海市高一上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．命題“，是無(wú)理數(shù)”的否定是（

）A．，不是無(wú)理數(shù) B．，是無(wú)理數(shù)C．，不是無(wú)理數(shù) D．，是無(wú)理數(shù)3．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．5．甲、乙兩校各有名教師報(bào)名支教，若從報(bào)名的名教師中任選名，則選出的名教師來(lái)自不同學(xué)校的概率為（

）A． B． C． D．6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．?dāng)S紅藍(lán)兩個(gè)均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，記事件：紅骰子的點(diǎn)數(shù)為，：紅骰子的點(diǎn)數(shù)為，：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為，：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為，則（

）A．與對(duì)立 B．與不互斥C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立8．已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B． C． D．10．已知甲、乙兩組數(shù)的莖葉圖如圖所示，則（

）A．甲組數(shù)的極差小于乙組數(shù)的極差B．甲組數(shù)的中位數(shù)小于乙組數(shù)的中位數(shù)C．甲組數(shù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)的平均數(shù)D．甲組數(shù)的方差大于乙組數(shù)的方差11．已知，，，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為12．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C． D．在上的實(shí)數(shù)根之和為三、填空題（本大題共4小題）13．?dāng)?shù)據(jù)的第分位數(shù)是.14．已知，，則.15．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為.16．已知函數(shù)若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共6小題）17．已知集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求在上的解析式；(2)解方程.19．為宣傳第屆杭州亞運(yùn)會(huì)，弘揚(yáng)體育拼搏精神，某學(xué)校組織全體學(xué)生參加了一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽滿分為分.從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將這名學(xué)生的成績(jī)按照，，，，分成組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值，并估計(jì)該學(xué)校這次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)已知落在的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)，方差，落在的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)，方差，求落在的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和方差；(3)用樣本頻率估計(jì)總體，如果將頻率視為概率，從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，求這名學(xué)生中恰有人成績(jī)不低于分的概率.20．某科研團(tuán)隊(duì)在某地區(qū)種植一定面積的藤蔓植物進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來(lái)越快.已知經(jīng)過(guò)個(gè)月其覆蓋面積為，經(jīng)過(guò)個(gè)月其覆蓋面積為.現(xiàn)該植物覆蓋面積（單位：）與經(jīng)過(guò)時(shí)間個(gè)月的關(guān)系有函數(shù)模型與可供選擇.（參考數(shù)據(jù)：，，，.）(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)月該藤蔓植物的覆蓋面積能超過(guò)原先種植面積的倍.21．已知函數(shù)，.記為的最小值.(1)求；(2)設(shè)，若關(guān)于的方程在上有且只有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(2)若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)是否存在正實(shí)數(shù)，使得在上的取值范圍是？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的概念求出答案.【詳解】，故.故選：C2．【正確答案】A【分析】利用全稱量詞命題的否定形式判定選項(xiàng)即可.【詳解】命題“，是無(wú)理數(shù)”為全稱量詞命題，該命題的否定為“，不是無(wú)理數(shù)”.故選：A.3．【正確答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次根式的意義可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，可得，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.4．【正確答案】D【分析】由冪函數(shù)的定義即可得解.【詳解】由題意得冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得或（舍）.故選：D.5．【正確答案】C【分析】由古典概型概率計(jì)算公式即可得解.【詳解】設(shè)甲校報(bào)名支教的兩名教師為，乙校報(bào)名支教的兩名教師為，從這報(bào)名的名教師中任選名，共有這6種情況，選出的名教師來(lái)自不同學(xué)校共有這4種情況，所以所求概率為.故選：C.6．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意利用換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，可得，所?故選：B.7．【正確答案】C【分析】根據(jù)事件的對(duì)立與互斥的概念判斷AB；利用是否成立來(lái)判斷CD.【詳解】對(duì)于A：事件：紅骰子的點(diǎn)數(shù)為，：紅骰子的點(diǎn)數(shù)為，與互斥但不對(duì)立，因?yàn)榧t骰子的點(diǎn)數(shù)還有其他情況，比如，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為，：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為，與不可能同時(shí)發(fā)生，故與互斥，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為的情況有，則，所以，所以與相互獨(dú)立，C正確；對(duì)于D：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為的情況有，所以，D錯(cuò)誤.故選：C.8．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意得，作出圖像分析時(shí)，有，化簡(jiǎn)，從而得到答案.【詳解】由題可得：，作出的圖像如下：由，且，則，，即，解得：，所以由，則，所以，故當(dāng)，即時(shí)，取最小值為.故選：B9．【正確答案】AB【分析】由已知結(jié)合充分必要條件與集合包含關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，則.故選：AB10．【正確答案】AC【分析】根據(jù)莖葉圖分別計(jì)算選項(xiàng)A、B、C中的涉及到的極差，中位數(shù)以及平均數(shù)，即可判斷；根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的分布的集中和分散程度，可比較二者方差，判斷D.【詳解】由莖葉圖可知甲組數(shù)的極差為，乙組數(shù)的極差為，則，即甲組數(shù)的極差小于乙組數(shù)的極差，A正確；甲組數(shù)的中位數(shù)為36，乙組數(shù)的中位數(shù)為26，甲組數(shù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)的中位數(shù)，B錯(cuò)誤；甲組數(shù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)的平均數(shù)為，故甲組數(shù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)的平均數(shù)，C正確；根據(jù)莖葉圖可知甲組數(shù)的分布更為集中，乙組數(shù)的分布更為分散一些，因此甲組數(shù)的方差小于乙組數(shù)的方差，D錯(cuò)誤，故選：AC11．【正確答案】BCD【分析】利用基本不等式逐一計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故B正確；對(duì)于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故C正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知條件可用賦值法求得，判斷A；結(jié)合題意推出函數(shù)的周期以及對(duì)稱軸，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，可作出函數(shù)的圖象，即可判斷B；利用函數(shù)的奇偶性可判斷C；將在上的實(shí)數(shù)根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故，由，令，則，則，A正確；對(duì)于B，由，得，即，故，即8為函數(shù)的一個(gè)周期，由，可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，故可作出函數(shù)的圖象如圖：由圖象可知在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，故，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足，故的根即的根，也即函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出的圖象如圖：由于均為奇函數(shù)，因此結(jié)合圖象可知，二者在上圖象的交點(diǎn)也兩兩關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于0，即在上的實(shí)數(shù)根之和為0，D正確，故選：ACD關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵在于要根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知條件，推出函數(shù)的周期性以及對(duì)稱性，從而可作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解決問(wèn)題.13．【正確答案】93【分析】直接由百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意，所以數(shù)據(jù)的第分位數(shù)是93.故93.14．【正確答案】3【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)得到，結(jié)合換底公式和指數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，?故315．【正確答案】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，又在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知.故16．【正確答案】【分析】分和兩種情況，參變分離，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，故，其中，所以，綜上，.故17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)并集概念求出答案；（2）根據(jù)交集的結(jié)果得到包含關(guān)系，進(jìn)而得到不等式，求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.（2）若，則，因?yàn)?，所以，由可得解?故實(shí)數(shù)的取值范圍是18．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.（2）由題意首先有，進(jìn)一步通過(guò)換元法以及指對(duì)互換解方程即可.【詳解】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.（2）由題意知，，得，令，則，即，解得或，即或，解得或.19．【正確答案】(1)0.030，75(2)70，12(3)0.288【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，所有矩形面積之和為1可得，結(jié)合眾數(shù)定義即可得解.（2）先算落在與的人數(shù)比，結(jié)合平均數(shù)性質(zhì)，方差性質(zhì)即可得解.（3）由概率加法公式即可得解.【詳解】（1）由題意知，，估計(jì)該學(xué)校這次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為.（2）因?yàn)槁湓谂c的人數(shù)比為，所以，.（3）由題意知，每名學(xué)生成績(jī)不低于分的概率為，則名學(xué)生中恰有人成績(jī)不低于分的概率.20．【正確答案】(1)更合適，，(2)至少經(jīng)過(guò)個(gè)月【分析】（1）根據(jù)增長(zhǎng)速度變換情況選擇解析式，待定系數(shù)即可得解.（2）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算解不等式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)速度越來(lái)越快，，的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，所以依題意應(yīng)選擇，由題意知，所以，所以，.（2）當(dāng)時(shí)，，所以藤蔓植物原先種植面積為，設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)月藤蔓植物的覆蓋面積能超過(guò)原先種植面積的倍.所以，可得，所以，所以至少經(jīng)過(guò)個(gè)月該藤蔓植物的覆蓋面積能超過(guò)原先種植面積的倍.21．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)區(qū)間和對(duì)稱軸的關(guān)系即可結(jié)合分類討論即可求解，（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即可結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解，或者根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解在上單調(diào)遞減，進(jìn)而利用零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】（1）由題意知，對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為.綜上可知，.（2）法一：由第（1）問(wèn)知，，即，所以關(guān)于的方程在上有且只有一解，等價(jià)于與的圖象在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋缘膱D象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，解得.法二:由第（1）問(wèn)知，，即在上有且只有一解，令，因?yàn)?，所以的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則，即，解得.方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．22．【正確答案】(1)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，且【分析】（1）直接由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，單調(diào)性的定義證明即可.（2）將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為不等式對(duì)恒成立.通過(guò)換元法以及對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.（3）由函數(shù)單調(diào)性以及換元法轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問(wèn)題即